Temat 25 : Pomiar przyśpieszenia ziemskiego metodą Bessela

1. Wprowadzenie teoretyczne

Przyspieszenie ziemskie (g), jest to przyspieszenie, z jakim w próżni, w okolicy powierzchni
Ziemi, poruszają się wszystkie ciała (spadają, obiegają Ziemię po orbicie itp.).
Jako standardowe przyspieszenie ziemskie jest przyjęta wartość: g = 9,80665 m/s².

Długość wahadła czyli odległość od punktu zawieszenia do środka kuli jest obarczona dużym błędem. Można ten błąd zmniejszyć stosując metodę Bessela. Metoda Bessela polega na wyznaczeniu okresu drgań wahadła dla dwu różnych długości różniących się o d.

Zastosowany wzór:

$$g = \frac{4\pi^{2}d}{\left| T_{1}^{2} - T_{2}^{2} \right|}$$

A zatem żeby wyznaczyć g należy zmierzyć okres drgań oraz różnicę długości nici d. Ta metoda pozwala uniknąć dużego błędu związanego z pomiarem długości wahadła.

1. Przebieg pomiaru

1. Odczytaliśmy położenie końca nici d.

2. Zmierzyliśmy czas 20 drgań dla danej długości d i obliczyliśmy okres drgań T₁ z zależności: $T = \frac{t}{n}$

3. Po wydłużeniu wahadła o d zmierzyliśmy położenie końca nici po dokonaniu pomiaru czasu 20 drgań na danej długości obliczyliśmy okres T₂

4. Pomiary powtórzyliśmy 10 razy.

Schemat użytego wahadła:

1. Wyniki pomiarów przedstawiają tabele :

Tab. 1

Lp.	L1 [ cm ]	∆L1 [mm]	L2 [ cm ]	∆L2 [ cm ]	t20 [ s ]	∆t20 [ s ]	T1 [ s ]	∆T1 [ s ]	T2 [ s ]	∆T2 [ s ]
1	49	0,5	85	0,5	28	0,1	1,4	0,1	1,8	0,1
2	39	0,5	51	0,5	26,39	0,1	1,32	0,1	1,47	0,1
3	51	0,5	68	0,5	33,4	0,1	1,67	0,1	1,47	0,1
4	28	0,5	49	0,5	22,12	0,1	1,11	0,1	1,418	0,1
5	36	0,5	51	0,5	25,16	0,1	1,26	0,1	1,47	0,1
6	25	0,5	45	0,5	21,02	0,1	1,05	0,1	1,38	0,1
7	39	0,5	51	0,5	26,39	0,1	1,32	0,1	1,47	0,1
8	15	0,5	44	0,5	16,95	0,1	0,85	0,1	1,37	0,1
9	50	0,5	82	0,5	28,79	0,1	1,44	0,1	1,83	0,1
10	12,5	0,5	36	0,5	15,61	0,1	0,78	0,1	1,26	0,1

Obliczenia :

$$g = \frac{4\pi^{2}d}{\left| T_{1} - T_{2} \right|}$$

1. $g = \frac{4\pi^{2}0,36}{\left| {1,4}_{1}^{2} - {1,8}_{2}^{2} \right|} = 11.10$

2. $g = \frac{4\pi^{2}0,12}{\left| 1,32 - {1,47}_{2}^{2} \right|} = 11.31$

3. $g = \frac{4\pi^{2}0,17}{\left| {1,67}_{1}^{2} - {1,47}_{2}^{2} \right|} = 10.68$

4. $g = \frac{4\pi^{2}0,21}{\left| {1,11}_{1}^{2} - {1,418}_{2}^{2} \right|} = 10.64$

5. $g = \frac{4\pi^{2}0,15}{\left| {1,26}_{1}^{2} - {1,47}_{2}^{2} \right|} = 10.32$

6. $g = \frac{4\pi^{2}0,2}{\left| {1,05}_{1}^{2} - {1,38}_{2}^{2} \right|} = 9,846$

7. $g = \frac{4\pi^{2}0,12}{\left| {1.32}_{1}^{2} - {1,47}_{2}^{2} \right|} = 11.31$

8. $g = \frac{4\pi^{2}0,29}{\left| {0,85}_{1}^{2} - {1,37}_{2}^{2} \right|} = 9,917$

9. $g = \frac{4\pi^{2}0,32}{\left| {1,44}_{1}^{2} - {1,83}_{2}^{2} \right|} = 9,90$

10. $g = \frac{4\pi^{2}0,235}{\left| {0,78}_{1}^{2} - {1,26}_{2}^{2} \right|} = 9,47$

Obliczamy wartość średnią przyśpieszenia ziemskiego ze wzoru

$$g = \frac{\sum_{i = 1}^{m}g_{i}}{m} = 10.45\frac{m}{s^{2}}$$

1. Błędy pomiarowe

Niepewność systematyczna g oblicza się metodą różniczki zupełnej, obliczając pochodne występujące we wzorze

$$g = \ \pm \left\{ \left\lbrack \frac{\partial}{\partial d}\left( \frac{4\pi^{2}}{T_{1}^{2} - T_{2}^{2}} \right)d \right\rbrack + \left\{ \left\lbrack \frac{\partial}{\partial T_{1}}\left( \frac{4\pi^{2}}{T_{1}^{2} - T_{2}^{2}} \right)T_{1} \right\rbrack \right\} + \left\{ \left\lbrack \frac{\partial}{\partial T_{2}}\left( \frac{4\pi^{2}}{T_{1}^{2} - T_{2}^{2}} \right)T_{2} \right\rbrack \right\} \right\}$$

Po obliczeniu pochodnych otrzymujemy wzór pozwalający obliczyć niepewność maksymalną, systematyczną przyśpieszenia ziemskiego.

$$g = \ \pm \left\{ \left\lbrack \left( \frac{4\pi^{2}}{T_{1}^{2} - T_{2}^{2}} \right)d \right\rbrack + \left\{ \left\lbrack \left( \frac{- 8\pi^{2}T_{1}d}{T_{1}^{2} - T_{2}^{2}} \right)T_{1} \right\rbrack \right\} + \left\{ \left\lbrack \left( \frac{8\pi^{2}T_{2}d}{T_{1}^{2} - T_{2}^{2}} \right)T_{2} \right\rbrack \right\} \right\}$$

Tab. 2

Lp.	d [ m ]	∆d [ m ]	g [m/s^2]	∆g	Sgśr
1	0,36	1	9,1	0,830345	0, 876297133
2	0,12	1	9,32	0,842021	0, 876297133
3	0,17	1	9,68	0,849329	0, 876297133
4	0,21	1	9,57	0,830345	0, 876297133
5	0,15	1	9,32	0,862021	0, 876297133
6	0,2	1	9,846	0,849329	0, 876297133
7	0,12	1	9,31	0,849329	0, 876297133
8	0,29	1	9,917	0,856345	0, 876297133
9	0,32	1	9,9	0,855721	0, 876297133
10	0,235	1	9,83	0,853329	0, 876297133

Podstawiając otrzymane dane obliczamy g obliczenia wykonane przy użyciu MS exel i MathCAD

$$g = \ \pm \left\{ \left\lbrack \left( \frac{4\pi^{2}}{{1.4}_{1}^{2} - {1.8}_{2}^{2}} \right)*1 \right\rbrack + \left\{ \left\lbrack \left( \frac{- 8\pi^{2}*1.4*0.36}{{1.4}_{1}^{2} - {1.8}_{2}^{2}} \right)*0.1 \right\rbrack \right\} + \left\{ \left\lbrack \left( \frac{8\pi^{2}*1.8*0.36}{{1.4}_{1}^{2} - {1.8}_{2}^{2}} \right)*0.1 \right\rbrack \right\} \right\} = 0,830345\frac{m}{s^{2}}$$

- średni błąd kwadratowy wartości średniej

$$g = 0,830345*0,876297133 \approx 0,72762\ \frac{m}{s^{2}}$$

Wynik końcowy:

$$\mathbf{g = (10,45 \pm 0,72762)}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\ }$$

1. Wnioski

Wartość tablicowa g dla naszej szerokości geograficznej wynosi 9,8145 $\frac{m}{s^{2}}$. Otrzymana doświadczalna wartość mieści się w granicach błędu, różnica w procentach wynosi 7,41%.

Wyznaczona przez nas wartość przyspieszenia ziemskiego różni się niewiele od wartości rzeczywistej. Jednak jest ona obarczona pewnym błędem. Wynika on przede wszystkim z pomiaru czasu wahnięć, a także spowodowany jest drganiami kulki, które uzyskiwała ona podczas pomiaru. Błędy można częściowo wyeliminować poprzez zastosowanie dokładnych urządzeń pomiarowych np. elektronicznego czujnika pomiarowego z licznikiem, który zliczałby liczbę wahnięć oraz mierzył ich czas, czy dokładniejszej miary długości linki na której zawieszona była kula. Nie wykluczone, że do błędu pomiaru przyczynił się, także czynnik ludzki: błąd paralaksy czy złe obliczenia wyników.