1. Równanie toru ruchu dla rzutu ukośnego

g – przyspieszenie ziemskie v_ox – prędkość w poziomie v_oy – prędkość w pionie

$$\left\{ \begin{matrix} v_{\text{ox}} = v_{0}\text{cosθ} \\ v_{\text{oy}} = v_{0}\text{sinθ} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} x = \ v_{\text{ox}}t \\ y = v_{\text{oy}}t - g\frac{t^{2}}{2} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$t = \frac{x}{v_{\text{ox}}}$$

$$y = v_{\text{oy}}\frac{x}{v_{\text{ox}}} = v_{\text{oy}}*\frac{x}{v_{\text{ox}}} - g\frac{\left( \frac{x}{v_{0x}} \right)^{2}}{2} = xtg\theta - \frac{g}{2v_{0}^{2}\operatorname{}\theta}x^{2}$$

2. Zasada zachowania pędu dla układu dwóch ciał w układzie izolowanym

Z III zasady dynamiki

$$\overrightarrow{F_{12}} = \overrightarrow{F_{21}}$$

F_wyp = 0   F = am  = >a = 0

$$a = 0\ \ \ \ a = \frac{v}{t}\ \ = > \ v = 0$$

v = 0 = >mv = 0

p = mv = 0 – pęd układu nie zmienia się

3. Wzór na pracę siły sprężystości (F=-kx)

$${dW = Fdx\backslash n}{dW = - kxdx\backslash n}{W = \int_{}^{}{- kxdx}\backslash n}{W = - k\int_{}^{}\text{xdx}\backslash n}{W = - \frac{kx^{2}}{2}}$$

4. Energia kinetyczna bryły sztywnej obracającej się wokół sztywno zamocowanej osi

m_i− masa i-tego elementu ciała

r_i – odległość i-tego elementu od osi obrotu

ω−prędkość kątowa

$$E_{k} = \sum_{i = 1}^{n}\frac{m_{i}V_{i}^{2}}{2} = \sum_{i = 1}^{n}\frac{m_{i}\omega^{2}r_{i}^{2}}{2} = \frac{\omega^{2}}{2}\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}r_{i}^{2}}$$

$${\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}r_{i}^{2}} - moment\ bezwladnosci\ \left( I \right)\backslash n}{E_{k} = \frac{I\omega^{2}}{2}}$$

5. Wartość prędkości z jaką musi poruszać się sztuczny satelita Ziemi okrążający ją o promieniu R

M – masa ziemi

m – masa satelity

R – promień Ziemi

$${\frac{mv^{2}}{R} = \frac{\text{GMm}}{R^{2}}\backslash n}{v^{2} = \frac{\text{GM}}{R}\backslash n}{v = \sqrt{\frac{\text{GM}}{R}}}$$

6. Druga prędkość kosmiczna

M – masa ziemi

m – masa satelity

R – promień Ziemi

v – prędkość początkowa

$${\frac{1}{2}mv_{i}^{2} - \frac{\text{GMm}}{R} = 0\ z\ zasady\ zachowania\ energii\ mechanicznej\backslash n}{v_{i}^{2} = \frac{2GM}{R}\backslash n}{v_{i} = \ \sqrt{\frac{2gM}{R}}}$$

7. W ruchu Ziemi wokół słońca moment pędu Ziemi jest stała

$${\overrightarrow{F} = \theta(r)*\frac{\overrightarrow{r}}{r}\backslash n}{\overrightarrow{M} = \overrightarrow{r}x\overrightarrow{F} = \frac{\theta\left( r \right)}{r}\overrightarrow{r}x\overrightarrow{r} = 0\backslash n}{\overrightarrow{L} = 0 \rightarrow \ \overrightarrow{L} = const}$$

8. Równanie dla fali sprężystej poprzecznej

−wychylenie ∖ n

t` - czas w którym fala przebywa drogę x=$\overrightarrow{\text{AB}}$

Wykorzystujemy równanie ruchu drgającego na opisanie położenia punktów A i B

Dla A - =Asinωt

Dla B - =Asinω(t − t)

$$t = \frac{x}{v}$$

$${= Asi\text{nω}\left( t - \frac{x}{v} \right)\backslash n}{= Asin\frac{2\pi}{t}\left( t - \frac{x}{v} \right)}$$

$${= Asin2\pi\left( \frac{t}{T} - \frac{x}{V*T} \right)\backslash n}{= Asin2\pi\left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right)}$$

$$k = \frac{2\pi}{\lambda}$$

$${= Asin\left( 2\pi\frac{t}{T} - 2\pi\frac{x}{\lambda} \right)\backslash n}{= Asin(\omega t - kx)\ }$$

 

9. Równanie różniczkowe ruchu harmonicznego

$${\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = - \frac{k}{m}x\backslash n}{niech\ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\backslash n}{\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \omega^{2}x = 0}$$

10. Okres drgań wahadła matematycznego

$${\text{mg}\frac{x}{l} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}x\ \ |:xm\backslash n}{\frac{g}{l} = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}}\backslash n}{T^{2} = \frac{4\pi^{2}l}{g}\backslash n}{T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}}$$

11. Ruch harmoniczny tłumiony

$${Fwyp = - kx - bv\backslash n}{ma = - kx - bv\backslash n}{m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + b\frac{\text{dx}}{\text{dt}} + kx = 0\backslash n}{\beta = \frac{b}{2m}\text{\ \ }\ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\backslash n}{\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 2b\frac{\text{dx}}{\text{dt}} + \omega x = 0}$$

12. Logarytmiczny dekrement tłumienia

$${A\left( t \right) = A_{0}e^{- \beta t}\backslash n}{A\left( t + T \right) = A_{0}e^{- \beta\left( t + T \right)} = A_{0}e^{- \beta t}e^{- \beta T}\backslash n}{\ln\left( \frac{A\left( t \right)}{A\left( t + T \right)} \right) = \ln\left( \frac{A_{0}e^{- \beta t}}{A_{0}e^{- \beta t}e^{- \beta T}} \right) = \beta T\backslash n}{\lambda = \beta T}$$