Podstawy elektromagnetyzmu

Zaliczenie

Warunkiem zaliczenia przedmiotu jest zaliczenie ćwiczeń i laboratorium oraz pozytywna ocena z testu sprawdzającego.

Warunkiem zaliczenia ćwiczeń jest pozytywna ocena z prac kontrolnych

Warunkiem zaliczenia laboratorium jest zaliczenie części teoretycznej i pozytywna ocena z wykonanych sprawozdań

­­­­

Literatura:

T. morawski, W. Gwarek Pola i fale elektromagnetyzmu, WNT, 1985 lub później

D. J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, PWN, Warszawa 2001+

Uzupełniająca: R. Litwin, Teoria pola elektromagnetyzmu WNT, 1968

Tematyka zajęć …

Repetytorium z analizy wektorowej 26.03.2013

Podstawowe pojęcia z analizy wektorowej

Skalar (wielkość skalarna) – nazywamy wielkość fizyczną, która jest jednoznacznie określoną przez jedną liczbę. Przykładami skalarów są: objętość, masa, ładunek elektryczny itp.

Wektor – (wielkość wektorowa) nazywamy wielkość fizyczną, która oprócz wartości ma kierunek i zwrot. Kierunek wektora określa prosta w przestrzeni, a jego zwrot jedna z 2 możliwości poruszają się po tej prostej. Przykładami wektorów są: prędkość, siła. Wektory oznaczone będą za pomocą tłustej czcionki. W przestrzeni trójwymiarowej wektor określony jest przez trzy składowe. Wobec tego mówi się, że wektor jest uporządkowanym zbiorem trzech liczb, przedstawiających składowe. Składowe wektora zależą od zastosowanego układu współrzędnych.

Wektorem jednostkowym nazywamy wektor o wartości liczbowej równej jedności. Wektory jednostkowe mające kierunek styczny do linii współrzędnych zwrot zgodny ze wzrostem odpowiedniej współrzędnej nazywamy wersorami.

W fizyce używa się układu prawoskrętnego to znaczy ze jeżeli ustawimy palce prawej ręki w kierunku dodatnim osi x2, a następnie zamykając dłoń ustawimy je w kierunku dodatnim osi x2, odstawiony kciuk powinien wskazywać dodatni kierunek osi x3. Istnieje wiele innych ortonormalnych układów współrzędnych które mogą uprościć rozwiązywanie problemów o określonej symetrii. (w literaturze można spotkać inne oznaczenie wersorów !!!)

Istnieje wiele układów które będziemy wykorzystywać, nie tylko kartezjański

Metoda prawej dłoni

Jeżeli 4 wyprostowane palce prawej dłoni (lub wyprostowany palec wskazujący) wskazują zwrot linii pola magnetycznego, a kciuk wskazuje umowny zwrot linii pola elektrycznego (od plusa do minusa), wówczas przewodnik poruszy się w tym samym kierunku, w którym otwarta dłoń wykonuje ruch popychający (lub w kierunku zgiętego palca środkowego, p. rysunek).

W podstawowym kursie fizyki szczególny nacisk kładzie się na geometryczną postać wektorów. Wektor x jest przedstawiony jako kierunkowy odcinek linii prostej lub jako wielkość z określoną długością i kierunkiem. Wektorami są np. prędkość, przyspieszeni, siła i pęd. Wielkość którym nie możemy przypisać żadnego kierunku lecz jedynie wartość nazywamy skalarami. Skalarami są np.: masa, ładunek elektryczny, gęstość, temperatura.

Wektory w literaturze oznaczamy najczęściej prostą nad pogrubioną litera. Niekiedy używa się strzałek nad literą lub podkreślenia. Algebraiczna postać wektora wodzącego (wychodzącego ze środka układu współrzędnych) reprezentującego klasę. Trzy równoważne wektory w postaci trójwymiarowej mają takie same zwroty i kierunki, mogą mieć inne punkty przyłożenia.

Rozkład wektora na składowe

W przestrzeni trójwymiarowej każdy wektor x może być wyrażony w postaci kombinacji liniowej dowolnych trzech niejedno wyrazowych wektorów

X = aV₁ + bV₂ + cV₃

Gdzie a,b,c są skalarami

Trzy wektory V₁,V₂,V₃ tworzące bazy nie muszą być prostopadłe do siebie

Baza i układ współrzędnych możemy traktować tożsamo.

Umowną bazą kartezjańską to zbiór (e₁,e₂,e₃), a dowolny wektor może być wyrażony w postaci

x : x₁e₁ + x₂e₂ + x₃e₃

Gdzie x_i(i=1, 2, 3) jest z tą składową wektora x w tej bazie.

Najpopularniejszą bazą wektorów jest ortonormalna baza kartezjańska, której wektory są do siebie ortogonalne i znormalizowane (mają jednakową długość)

Operacje na wektorach

Można zdefiniować cztery operacje na wektorach:

Dodawanie, i 3 mnożenia

Dodawanie: z=x+y (jak na fizie)

Mnożenie wektora przez skalar: (macierz razy stała) z=a*x

Iloczyn skalarny: z=x*y (mnożenie 2 macierzy, liczba x przez x, y przez y, itp.

Iloczyn wektorowy (i,j,k) z=x (x) y (jak na fizie)

Często stosujemy noracje einsteina z=(xi + y_i), z=(ax_i)

Rodzaj operacji	Def. geometryczna	Def. algebraiczna
Dodawanie, wynik jest wektorowy z=x+y		Zi=xi+yi, i=1,2,3… albo z=(xi+yi)ei
Mnożenie przez skalar, wynik jest wektorem z=ax		Zi=axi i=1,2,3… z=axiei
z = x • y	z = x • y = |x| • |y|cosα	z = x • y = xiei • yjej = xiyjδij
z = x × y	z = x × y = |x| • |y|sinα ∖ nn − wektor prostopadly do  ∖ nplaszcz. zawierajacej x, y	z = xxy = xiejxykek

Własności iloczynu skalarnego

z = x • y

x • y = y • x = |x| • |y|cos(x,y)

x • y = 0         x⊥y

x • y = |x||y| gdy x ∥ y

x • x = x² bo x||x

a • b = (a_xe₁+a_ye₂+a_ze₃) • (b_xe₁+b_ye₂+b_ze₃) = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z

Własności iloczynu wektorowego

z = x × y

e₁ × e₂ = e₃,         e₂ × e₃ = e₁,           e₃ × e₁ = e₂

a × b = −b × a

c = a × b = (a_xe₁+a_ye₂+a_ze₃) ×  (b_xe₁+b_ye₂+b_ze₃) = ∖n(a_yb_z−a_zb_y)e₁ + (a_zb_x−a_xb_z)e₂ + (a_xb_y−a_yb_x)e₃ = c_xe₁ + c_ye₂ + c_ze₃

$$\overset{\rightarrow}{A} = 3e_{1} + e_{2} + 2e_{3}$$

$$\overset{\rightarrow}{C} = 2e_{1}$$

$$\overset{\rightarrow}{A} \bullet {\overset{\rightarrow}{C} = \left( 3e_{1} + e_{2} + 2e_{3} \right) \bullet 2e_{1} = 6}$$

$$A \times C = \left| \begin{matrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right| = 4e_{2} - 2e_{3}$$

27.03.2013

Operacje na wektorach, przykłady (to samo co na fizie)

Iloczyn wektorowy nie podlega prawu przemienności

Jeżeli wzór ma więcej niż 2 cm to nie trzeba znać na pamięć, jedynie wiedzieć co znaczą poszczególne wartości,

Wzory po 1cm trzeba znać na pamięć,

Należy rozumieć co się pisze a nie wszystko umieć na pamięć !!

Iloczyn 3 wektorów

Przypadek 1:

a • [b•c] − ktorego kierunek pokrywa sie z kierunkiem wektora a o dlugosci a • b • c • cosα

Wtedy powstaje wektor !

Przypadek 2:

a • [b×c] [b×c] = wektor d. 

d • a               wektor ktory jest pomnozony przez skalar daje nam skalar!

Przypadek 3:

C = A − B             odejmowanie wetorow to dodawanie wektorow przeciwnie skierowanych

C • C = (A − B)•(A − B)

A • A − A • B − B • A + B • B = C² = A + B − 2|A||B|cosθ

Wzór cosinusów

Funkcja wektorowa. Pole wektorowe.

Przypuśćmy, że w każdym punkcie obszaru V określony jest wektor A, wobec tego jest on funkcją trzech zmiennych przestrzennych x,y,z czyli A(x,y,z). W ogólnym przypadku wektor A może zależeć jeszcze od czasu t. Otrzymuje się w ten sposób funkcję wektorową A(x,y,z,t) która jest równoważna trzem funkcjom skalarnym Ax(x,y,z), Ay(x,y,z) oraz Az(x,y,z,) przedstawiającym poszczególne składowe wektora. Funkcja wektorowa określona w pewny obszarze przedstawia pole wektorowe w tym obszarze. Funkcję wektorową A(z, y,z,t) będziemy często oznaczać A(P,t) gdzie P jest punktem o współrzędnych x, y,z. Linią pola wektorowego lub krótko linią pola nazywamy krzywą, której styczna ma kierunek wektora pola w tym punkcie

Różniczkowanie pól skalarnych i wektorowych.

Jeżeli każdemu punktowi xi, i=(1,2,3) w pewnym obszarze przestrzeni przyporządkowany jest skalar T(xi) lub wektor y(x) to mamy pole skalarne lub wektorowe. Typowymi polami skalarnymi są rozkłady temperatur lub gęstość w pewnej objętości oraz potencjał elektrostatyczny. Typowymi polami wektorowymi są siły grawitacyjne prędkości w każdym punkcie poruszające się cieczy lub natężenia pola magnetycznego

Gradient

Mamy daną funkcję trzech zmiennych T(xi) na przykład rozkład temperatury. Zadajemy putanie „ Jak szybko zmienia się T kiedy nieco zmieniamy położenie” Pytanie to ma nieskończoną liczbę odpowiedzi odpowiadających nieskończonej liczby kierunków w których możemy się przemieszczać. Korzystając z twierdzenia o pochodnej zupełnej: tu pochodna

$$dT = \left( \frac{\text{dT}}{dx_{i}} \right)dv_{i} = \left( \frac{\text{dt}}{dx_{1}} \right)dv_{1} + \left( \frac{\text{dt}}{dx_{2}} \right)dv_{2} + (\frac{\text{dt}}{dx_{3}})dv_{3}$$

Zapisujemy je w sposób przypominający iloczyn skalarny otrzymujemy:

$$dT = (e_{i}\frac{\text{dt}}{dx_{i}} + e_{2}\frac{\text{dT}}{dx_{2}} + e_{3}\frac{\text{dT}}{dx_{2}})$$

To określenia szybkości zmian T wystarczą nam zatem trzy pochodne względne trzech współrzędnych zapisywanych za pomocą operatora różniczkowego VT zwanego gradientem funkcji T

$$VT = (v_{1}\frac{\text{dT}}{dv_{1}} + v_{2}\frac{\text{dT}}{dv_{2}} + v_{3}\frac{\text{dT}}{dv_{3}})$$

Właściwości gradient VT skierowany jest zgodnie z wektorem przesunięcia dla którego wzrost wektora funkcji T jest największy wynika to ze wzrostu który można zapisać za pomocą kąta alfa między VT a dl:

$$\nabla T = (e_{1}\frac{\partial T}{\partial x_{1}} + e_{2}\frac{\partial T}{\partial x_{2}} + e_{3}\frac{\partial T}{\partial x_{3}})$$

Inaczej mówiąc wartość }VT| określa szybkość zmian funkcji przy przesunięciu wzdłuż linii najszybszego wzrostu

dT = (∇T)(dl) = |∇T|dlcosα ∖ ndl = e₁dx₁ = e₁dx₁ + e₂d₂ + e₃dx₃

Proszę zwrócić uwagę na wprowadzony w równaniu wektor infintezymentalmnego (nieskończenie małego) przesunięcia dl wyrażonego równością:

Który będzie wielokrotnie wykorzystywany w dalszych rozważaniach

Operator ∇

Wprowadza się operator wektorowy nazywany operatorem Nabla (albo del) w postaci wyrażenia:

$$\nabla = e_{1}\frac{\partial}{\partial x_{1}} + e_{2}\frac{\partial}{\partial x_{2}} + e_{3}\frac{\partial}{\partial x_{3}}$$

Operator Nabla nie ma konkretnego znaczenia dopóki nie zostanie określona funkcja na którą działa tym niemniej zachowuje się jak zwykły wektor jeśli wyraz „mnoży” zastąpiony działa na dywergencja

Dywergencja

Działając operatorem V na funkcję wektorową v, na wzór iloczynu skalarnego V, v otrzymujemy dywergencję (funkcję skalarną):

Wzór: $\nabla \bullet v = (e_{1}\frac{\partial}{\partial x_{1}} + e_{2}\frac{\partial}{\partial x_{2}} + e_{3}\frac{\partial}{\partial x_{3}}$

Dywergencja geometryczna: dywergencja jest miarą rozbieżności pola wektorowego: rotacja

Rotacja

Działając operatorem V na funkcję wektorową v, na wzór iloczynu wektorowego V  × v otrzymujemy rotację (funkcję wektorową) która w zapisie za pomocą wyznaczników ma postać:

$$\nabla \bullet v = \left| \begin{matrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ \frac{\partial}{\partial x_{1}} & \frac{\partial}{\partial x_{2}} & \frac{\partial}{\partial x_{3}} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ \end{matrix} \right| = e_{1}\left( \frac{\partial x_{3}}{\partial x_{2}} - \frac{\partial x_{2}}{\partial x_{3}} \right) + e_{2}(\ldots$$

Najważniejsze reguły obliczania pierwszych pochodnych:

∇(f+g) = ∇f + ∇g ∇(v+y) = (∇•v) + (∇•y)

$$\frac{d}{dx_{1}}\left( f + g \right) = \frac{\text{df}}{dx_{1}} + \frac{\text{dy}}{dx_{1}}$$

∇x(v+y) = (∇×v) + (∇×y)

Opierając się na regułach obliczania pochodnych zwyczajnych można wprowadzić odpowiednie reguły dla operatora Nabla

Pochodna sumy funkcji:

∇(f+y) = ∇f + ∇y

∇ • (v+y) = (∇•v) + (∇•y)

∇ × (v+y) = (∇×v) + (∇×y)

Pochodna funkcji pomnożona przez skalar

∇(af) = a∇f

∇ • (av) = a(∇•v)

∇ × (av) = a(∇ × v)

Operatory różniczkowe w układzie kartezjańskim podsumowanie

Konwencja notacyjna za pomocą operatora różniczkowego nabla (del) V

$$\nabla = (e_{i}\frac{d}{dx_{i}} + e_{2}\frac{d}{dx_{2}} + e_{3}\frac{d}{dx_{3}})$$

Służy do zapisu gradientu pola skalarnego f(x,y,z)

$$\nabla f = e_{1}\frac{\partial f}{\partial x} + e_{2}\frac{\partial f}{\partial y} + e_{3}\frac{\partial f}{\partial z}$$

Dywergencja pola wektorowego

F(x,y,z)=e₁g₁(x,y,z)+e₂g₂(x,y,z)+e₃g₃(x,y,z)/

δ(x,y,z) = e₁δ_x(x,y,z) + e₂δ_y(x,y,z) + e₃δ_z(x,y,z)

$$\nabla \bullet g = \frac{\partial gx}{\partial x} + \frac{\partial gy}{\partial y} + \frac{\partial gz}{\partial z}$$

Lub rotacji pola wektorowego g(x,y,z)

$$\nabla \times g = \left| \begin{matrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial x} \\ g_{1} & g_{2} & g_{3} \\ \end{matrix} \right|$$

2. Równania Maxwella

Począwszy od czasów Michaela Faradaya prawa elektryczności i magnetyzmu wyraża za pomocą pól elektrycznych i magnetycznych E i B James Clark Maxwell sprowadził całą teorię do czterech równań określających odpowiednio dywergencję i notację pól wektorowych E i B.

Równania Maxwella są podstawą zjawisk elektromagnetycznych podobnie jak zasady dynamiki Newtona są podstawą w mechanice. Korzystając z tych równań można obliczyć pola E i B w dowolnym pkt w przestrzeni i w dowolnej chwili czasu

Makroskopowe pole elektromagnetyczne w ciągłych nieruchomych można opisać za pomocą równań Maxwella w postaci różniczkowej

Tabela

Postać wektorowa (makroskopowa)	Postać mikroskopowa (próżnia)	Prawo
$$\mathbf{\nabla}\mathbf{\times H =}\mathbf{j}^{\mathbf{0}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\partial D}}{\mathbf{\partial t}}$$	$$\nabla \times B = \mu_{0}j + \mu_{0}\gamma\frac{\partial E}{\partial t}$$	p. Ampera z poprawką Maxwella
$$\mathbf{\nabla}\mathbf{\times E = -}\frac{\mathbf{\partial B}}{\mathbf{\partial t}}$$	$$\nabla \times E = \frac{\partial B}{\partial t}$$	p. Faradaya
∇•D=j^0	$$\nabla \bullet E = \frac{1}{\varepsilon_{0}}\rho$$	p. Gaussa
∇•B = 0	∇ • B = 0	Bez nazwy

Równania Maxwella mówią nam jak ładunki wyznaczają pola. Wraz z wyrażeniem na siłę Lorentza które określa jak pola wpływają na ruch ładunków

F = q(E − v × B)

Zawierają one całą klasyczną elektrodynamikę. Nawet równanie ciągłości

$$\nabla \bullet j = \frac{\partial p}{\partial t}$$

Które wyważa zasadę zachowania ładunku, można wyprowadzić z równania Maxwella działając na pierwsze z nich operacją dywergencji.

Dywergencja rotacji jest zawsze równa 0, w związku z tym jeżeli podziałamy operatorem dywergencji na równanie Faradaya to otrzymamy:

$$\nabla \bullet \left( \nabla \times E \right) = x \bullet \left( - \frac{\partial B}{\partial t} \right) = - \frac{\partial}{\partial t}(\nabla \bullet B)$$

Z prawa Ampera:

∇ • (∇×B) = μ₀(∇ • j)

Prawa strona nie jest równa 0 w naszym przypadku. Dla prądów stałych j znika (tzn. jest 0). Jeżeli wyjdziemy poza elektrostatykę prawo przestaje być prawdziwe.

W jaki sposób można poprawić to prawo Ampera aby było ogólne dla wszystkich prądów: zmiennych i stałych. Należy wykorzystać równanie ciągłości:

$$\nabla \bullet j = - \frac{\partial\delta}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial t}\left( \varepsilon_{0}\nabla \bullet \mathbf{E} \right) = - \nabla\left( \varepsilon_{0} \bullet \frac{\partial E}{\partial t} \right)$$

$$\nabla \times B = \mu_{o}j + \mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial E}{\partial t}$$

$$J_{p} = \varepsilon_{0} \bullet \frac{\partial E}{\partial t}$$

Kiedy E jest stałe to pochodna natężenia elektrycznego jest równa 0, magnetostatyka jest zabezpieczona przez prawo Ampera. Prawa Maxwella są najbardziej ogólne i obejmują wszystkie przypadki.

Podstawowe twierdzenie dla dywergencji (twierdzenie Gaussa)

Schemat twierdzenia podstawowego: całka z pochodnej w tym przypadku dywergencji po obszarze całkowania (objętość) wyraża się przez wartość funkcji na brzegu tego obszaru całkowania (powierzchni, ograniczające obszar całkowania)

∫_V(V•v)dV = ∮_Sv • ds

Podstawowe twierdzenie dla rotacji

∫_S(V×v)ds = ∮v • dl

Schemat: całka (powierzchniowa) z pochodnej(rotacji) po obszarze całkowania (powierzchni) wyważa się przez wartość funkcji na brzegu tego obszaru całkowania. Podobnie jak dla dywergencji należy zauważyć że człon brzegowy także jest całka a konkretnie całką krzywoliniową po krzywej zamkniętej.

Wniosek 1:∫(∇×v)•ds nie zależy od kształtu powierzchni a jedynie od krzywej będącej jej brzegiem

Wniosek 2: dla Dowolnej powierzchni zamkniętej ponieważ brzeg powierzchni zostaje zredukowany do punktu

Dla uzyskania pełnego układu równań Maxwella należy dodać związki konstytutywne między wektorami elektrycznymi i magnetycznymi:

D = ε₀ε_tE

B = μ₀μ_t • H

Elektryczne i magnetyczne własności ośrodka są opisane poprzez przenikalność elektryczną e0e0 oraz przenikalność magnetyczną utu0 oraz przewodność delta.

Podobnie jak każde równanie różniczkowe równanie Maxwella muszą być uzupełnione odpowiednimi warunkami brzegowymi

Równania Maxwella w postaci całkowej

$$\oint_{C}^{}{H \bullet dl = \int_{S}^{}{\left( j^{0} + \frac{\partial D}{\partial t} \right) \bullet ds}}\ \ (2.3a)$$

$$\int_{C}^{}{E \bullet dl = - \int_{S}^{}\frac{\partial B}{\partial t} \bullet ds}\ \ \ \ \ (2.3b)$$

∮_SD • ds = 0     (2.3c)

∮_SB • ds = 0         (2.3d)

W odniesieniu do skończonych obszarów wygodniej jest niekiedy korzystać z całkowej postaci równań Maxwella. Wypiszemy je w kolejności odpowiadającej równaniom różniczkowym

Równania (2.3) wynikają z odpowiednich równań Maxwella stosując dla dwóch pierwszych twierdzeń Stokesa (rotacji) a dla pozostałych twierdzenie Gaussa (dywergencja).

Interpretacja:

(2.3a) uogólnione prawo Ampera

Prąd elektryczny, lub zmienne pole elektryczne wytwarzają wirowe pole magnetyczne.

(2.3b) Uogólnione prawo Faraday’a

Zmienne pole magnetyczne wytwarza wirowe pole elektryczne, które może wywołać prąd elektryczny.

(2.3c) prawo Gaussa dla pola elektrycznego

Ładunek elektryczny wytwarza pole elektryczne

(2.3d) Prawo Gaussa dla pola magnetycznego

Nie istnieje w przyrodzie ładunek magnetyczny. Pole magnetyczne jest bezźródłowe.

Dla pól stacjonarnych (niezależnych od czasu) równania Maxwella mają postać:

∮_CH • dl = ∫_Sj⁰ • ds

∮_CE • dl = 0

∮_SD • ds = Q = ∫p • dv

∮_VB • ds = 0

Dotychczas rozpatrywane równania Maxwella dotyczyły dowolnych zmian w czasie pola elektromagnetycznego. W systemach radioelektronicznych interesujące są pola dla których zależność od czasu opisywana jest przez funkcję harmoniczną. Dlatego dalej będziemy rozpatrywać pola elektromagnetyczne zmieniające się sinusoidalnie w czasie. W tym przypadku wygodnie jest posługiwać się wielkościami zespolonymi.

Uproszczenie metody zespolonej polega na tym że:

$$\frac{d}{\text{dt}}e^{\text{jωt}} = j\omega e^{\text{jωt}}$$

e^jωt = cosωt + jsinωt

∇ × H = j⁰ + jωD

∇ × E = −jωB

Postać końcowa równań Maxwella z wykorzystaniem związków konstruktywnych dla pól E i H.

∇ × H = σE + jωε₀ε_tE

Równania Maxwella w postaci zespolonej – podsumowanie

Dla fal monochromatycznych (o jednej częstotliwości) wygodnym jest wykorzystanie zapisu zespolonego

Przykładowo natężenie pola elektrycznego e(r,t) zapisujemy w postaci

E(r,t) = E(r, ω)e^jωt

Wtedy pochodna czasowa:

$$\frac{\partial E(r,t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}E\left( r,\omega \right)e^{\text{jωt}} = j\omega E\left( r,w \right)e^{\text{jωt}}$$

W analogiczny sposób wyrażamy pozostałe pola. Równania Maxwella przyjmują postać:

Postać makroskopowa (materia)	Postać dla pól harmonicznie zmiennych (zespolona)
$$\mathbf{\nabla}\mathbf{\times H}\left( \mathbf{r,t} \right)\mathbf{= (J}\left( \mathbf{r,t} \right)\mathbf{+}\frac{\mathbf{\partial D(r,t)}}{\mathbf{\partial t}}$$	∇ × H(r,ω) = J(r,ω) + jωD(r, w)
$$\mathbf{\nabla}\mathbf{\times E}\left( \mathbf{r,t} \right)\mathbf{= -}\frac{\mathbf{\partial B(r,t)}}{\mathbf{\partial t}}$$	∇ × E(r,ω) = −jωB(r, ω)

Konsekwencją zastosowania zapisu zespolonego jest to że wszystkie pola mogą zależeć od częstotliwości ω oraz przyjmować wartości zespolone.

Uwaga! W prawej części tabeli, pozostawiono stare oznaczenia pól, zaznaczając (w nawiasach), że są funkcjami położenia i częstotliwości. Gdy nie ma wątpliwości, ze posługujemy się zapisem zespolonym, dla wygody pomija się także wielkości w nawiasach zostawiając tylko symbole.

Przedstawiony sposób opisu problemów za pomocą fal monochromatycznych także przybliżeniem harmonicznym.

Zespolona przenikalność dielektryczna

Dla szerokiej klasy ośrodków zależności między wektorami występującymi w równaniach Maxwella można opisać w postaci tzw. Równań materiałowych (konststytutowych)

D = εE

B = μH

I = σE

Gdzie ε,  μ,  σ są wielkościami charakteryzującymi ośrodek:

ε − przenikalnosc elektryczna

μ − przenikalnosc magnetyczna

σ − konduktywnosc

Wtedy zespolone równania Maxwella przyjmują postać:

∇ × H = σE + jωεE

∇ × E = −jωμH

Pierwsze z tych równań można zapisać w postaci

∇ × H = jωεE

Gdzie ε jest zespoloną przenikalnością dielektryczną ośrodka

$$\overrightarrow{\varepsilon} = \varepsilon(1 - j\frac{\sigma}{\text{ωε}})$$

Wprowadzenie zespolonej przenikalności dielektrycznej pozwala wyrazić zespolone równania Maxwella w postaci analogicznej jak dla ośrodka bezstratnego (czyli gdy σ=0) i skorzystać ze znanego rozwiązania.

Próżnia w ujęciu klasycznej teorii pola jest ośrodkiem materialnym której własności opisują w zupełności dwie stałe e0 – przenikalność elektryczna próżni i u0 – przenikalność magnetyczna próżni które w układzie SI są równe:

$$\mu_{o} = 4\pi \bullet 10^{- 7}\frac{H}{m}$$

$$\varepsilon_{0} = \frac{1}{\mu_{0}c^{2}} \approx \frac{10^{- 9}}{36\pi}\frac{F}{m}$$

Rodzaje ośrodków:

W zależności od ważniejszych kryteriów klasyfikacji możemy podzielić ośrodki na:

• jednorodne albo niejednorodne (ε,  μ,  σ sa skalarami i nie zaleza albo zaleza od wspolrzednych)

• liniowe albo nieliniowe

• dyspersyjne i niedyspersyjne (ε,  μ,  σ zaleza albo nie zaleza od czestotliwosci)

• przewodniki i dielektryki $(decyduje\ wartosc\ \sigma,\ np\ do\ dialektrykow\ idealnych\ zbliza\ sie\ powtrze - \sigma = 10^{- 30}\frac{s}{m},\ do\ przewodnikow\ idealnych\ zbliza\ sie\ metak\ \sigma = 10^{7}\frac{s}{m}$

• izotropowe albo anizotropowe

Przykład: W ośrodku o anizotropii dielektrycznej wektory D i E związane są:

$$\begin{bmatrix} \begin{matrix} D_{1} \\ D_{2} \\ \end{matrix} \\ D_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & e_{33} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \begin{matrix} E_{1} \\ E_{2} \\ \end{matrix} \\ E_{3} \\ \end{bmatrix}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ albo\ w\ rotacji\ Einsteina}$$

Zależności energetyczne w polu elektromagnetycznym

Żadna teoria propagacji fal nie może być uważana za kompletną jeśli nie sformułuje się zasady zachowania energii. Powinna ona przedstawiać zależności między mocą dostarczaną przez źródło fal, mocą traconą na skutek dyssypacji, szybkością zmian energii magazynowanej w polu falowym i strumieniem mocy fal. W teorii pola elektromagnetycznego relacja tego rodzaju jest nazwana twierdzeniem Poyntinga.

Twierdzenie Poyntinga w postaci rzeczywistej

Zapiszemy równania Maxwella dla pól rzeczywistych

$$\nabla \times H = j^{0} + \frac{\partial D}{\partial t}$$

Równania Faradaya:

$$\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}$$

Po pomnożeniu pierwszego z nich przez wektor E a drugiego przez wektor H i odjęciu pierwszego od drugiego otrzymamy:

$$H \bullet \nabla \times E - E \bullet \nabla \times H = - H\frac{\partial B}{\partial t} - E\frac{\partial D}{\partial t} - E{\bullet j}^{0}$$

Korzystając z tożsamości wektorowej :

∇ • (E×H) = H • ∇ × E − E • ∇ × H

Otrzymujemy postać różniczkową twierdzenia Poyntinga:

$$V \bullet \left( E \times H \right) + H\frac{\partial B}{\partial t} + E\frac{\partial D}{\partial t} + E \bullet j^{0} = 0$$

Całkując wyrażenie (4.5) po objętości V i stosując twierdzenia o dywergencji (Gaussa):

∫_V(∇•v)dv = ∮_Sv • ds

Uzyskujemy całkową postać twierdzenia Poyntinga:

$$\oint_{S}^{}{\left( E \times H \right) \bullet ds + \int_{S}^{}{\left( H \bullet \frac{\partial B}{\partial t} + E\frac{\partial D}{\partial t} \right) \bullet dv + \int_{V}^{}{\left( E \bullet j^{0} \right) \bullet dv} = 0}}$$

Gdzie S jest zamkniętą powierzchnią obejmującą objętość V.

Interpretacja fizyczna: Pierwsza całka przedstawia moc dostarczaną do układu z zewnątrz. Druga całka wyraża szybkość zmian energii magazynowanej w układzie. Trzecia całka wyraża moc traconą
w układzie.

Tabela 1.2 cd.

Reguły dla operatora nabla	Reguła dla pochodnych zwyczajnych
Pochodna iloczynu funkcji dla gradientu
∇(fg)=f∇g + g∇f ∇•(v • y)=v×(∇×y)+y×(∇×v)+(v•∇)y+(y•∇)v	$$\frac{d}{dx_{1}}\left( \text{fg} \right) = f\frac{\text{dg}}{dx_{1}} + g\frac{\text{df}}{dx_{1}}$$
Pochodna iloczynu funkcji dla dywergencji
∇•(fv)=f(∇•v)+v•(∇f) ∇•(v × y)=y•(∇×v)−v • (∇×y)	$$\frac{d}{dx_{1}}\left( \text{fg} \right) = f\frac{\text{dg}}{dx_{1}} + g\frac{\text{df}}{dx_{1}}$$
Pochodna iloczynu funkcji dla rotacji
∇×(fv)=f(∇×v)=(∇ × v)−v×(∇f) ∇×(v × y)=(y•∇)v−(v•∇)y − v(∇•y)−y(∇•v)	$$\frac{d}{dx_{1}}\left( \text{fg} \right) = f\frac{\text{dg}}{dx_{1}} + g\frac{\text{df}}{dx_{1}}$$
Pochodna ilorazu funkcji
$$\mathbf{\nabla}\left( \frac{\mathbf{f}}{\mathbf{g}} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{g}\mathbf{\nabla}\mathbf{f - f}\mathbf{\nabla}\mathbf{g}}{\mathbf{g}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\bullet}\mathbf{\nabla}\left( \frac{\mathbf{v}}{\mathbf{g}} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{g}\left( \mathbf{\nabla}\mathbf{\times v} \right)\mathbf{- v(}\mathbf{\nabla}\mathbf{\bullet g)}}{\mathbf{g}^{\mathbf{2}}}$$ $$\mathbf{\nabla}\mathbf{\times}\left( \frac{\mathbf{v}}{\mathbf{g}} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{g}\left( \mathbf{\nabla}\mathbf{\times v} \right)\mathbf{+ v \times (}\mathbf{\nabla}\mathbf{g)}}{\mathbf{g}^{\mathbf{2}}}$$	$$\frac{d}{dx_{1}}\left( \frac{f}{g} \right) = \frac{g\frac{\text{df}}{dx_{1}} - f\frac{\text{dg}}{dx_{1}}}{g^{2}}$$

$$\oint_{s}^{}{\left( E \times H \right) \bullet ds + \int_{\nabla}^{}{\left( H \bullet \frac{\partial B}{\partial t} + E\frac{\partial D}{\partial t} \right)d\nabla} + \int_{\nabla}^{}{E \bullet j^{0}d\nabla} = 0}$$

4.2 Straty w polu elektromagnetycznym (dyssypacja energii)

Zinterpretowanie poszczególnych członów wzoru (4.6) zaczniemy od trzeciej całki.

Dla pojedynczego ładunku q dostarczana mu moc P_q (pochodna pracy W po czasie t) przez pole elektromagnetyczne E i B wynosi

$$P_{q} = \frac{\text{dW}}{\text{dt}} = \frac{F \bullet dl}{\text{dt}}$$

Gdzie: dl – infinitezynialne przesunięcie ładunku w czasie dt związane z prędkością jego ruchu zależnością dl=vdt

F- siła Lorentza określana wzorem F=q(E+v×B)

Podstawiając powyższe zależności do wzoru (4.7) otrzymujemy:

$$P_{q} = \frac{(qE + v + B) \bullet vdt}{\text{dt}} = qE \bullet v$$

Pole magnetyczne nie wykonuje pracy gdyż siła magnetyczna jest prostopadła do prędkości

Jeżeli mamy do czynienia z ciągłym rozkładem ładunku swobodnego określonego gęstością p⁰ to we wzorze (4.8) zamiast q podstawiamy dq=p⁰dV i całkujemy po skończonej objętości V, wtedy całkowita moc dostarczona od pola ładunku zawartym w tej objętości wynosi:

P_q = ∫_V(p⁰E • v)•dv = ∫_V(E • j⁰)•dV

W powyższym worze wykorzystywano związek p⁰v=j⁰ który wynika z założenia, że ruch ładunków swobodnych powoduje powstanie odpowiedniej swobodnej gęstości prądu j⁰.

Ta moc odpowiada wielkości energii elektromagnetycznej zamienianej w jednostce czasu na energię mechaniczną lub cieplną. Musi być ona skompensowana przez równe jej w jednostce czasu straty energii pola elektromagnetycznego w objętości V.

Wprowadza się pojęcie objętościowej gęstości mocy strat wynikających ze zjawiska przewodzenia

$$p_{q} = E \bullet j^{0}\text{\ \ \ \ \ \ \ }\left\lbrack \frac{V}{m} \bullet \frac{A}{m^{2}} = \frac{W}{m^{3}} \right\rbrack$$

Która dla ośrodka izotropowego jest równa:

p_q = E • j⁰ = σE²

4.3 Energia magazynowana w polach elektrycznym i magnetycznym

Zarówno w polu elektrycznym jak i magnetycznym magazynowana jest pewna energia. Jest ona zgromadzona w czasie wytwarzania pola i może być potem wydatkowana, np.: na pracę związaną z przesuwaniem ładunków w polu elektrycznym. Podamy bez wyprowadzania wzory służące do obliczania tej energii. Załóżmy, że nasz ośrodek makroskopowy jest liniowy zarówno w odniesieniu do zjawisk elektrycznych jak i magnetycznych

Energia pola elektrycznego gromadzona w elemencie objętości dV jest równa

$$dW_{e} = \frac{1}{2}E \bullet DdV = w_{0}\text{dV}$$

$$w_{e} = \frac{1}{2}E \bullet D\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack \frac{V}{m} \bullet \frac{C}{m^{2}} = \frac{\text{VAs}}{m^{3}} = \frac{J}{m^{3}} \right\rbrack$$

Przy czym w₀ jest nazywana objętościową gęstością energii pola elektrycznego

Dla ośrodka izotropowego

$$w_{e} = \frac{1}{2}\varepsilon E^{2}$$

Podobnie energia pola magnetycznego gromadzona w elemencie objętości dV jest równa:

$$dW_{e} = \frac{1}{2}H \bullet BdV = W_{m}\text{dV}$$

$$w_{m} = \frac{1}{2}H \bullet B\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack \frac{A}{m} \bullet \frac{\text{Wb}}{m^{2}} = \frac{\text{AVs}}{m^{3}} = \frac{J}{m^{3}} \right\rbrack$$

Przy czym w₀ jest nazywana objętościowa gęstością energii pola elektrycznego

Dla ośrodka izotropowego:

$$w_{m} = \frac{1}{2}\mu H^{2}$$

Wykorzystując wyrażenia (4.12) i (4.14) możemy zdefiniować objętościową gęstość energii całkowitej wzorem:

$$u = w_{e} + w_{m} = \frac{1}{2}(E \bullet D + H \bullet B)$$

Zauważając, że dla ośrodka liniowego zachodzą następujące tożsamości

$$E\frac{\partial D}{\partial t} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}\left( E \bullet D \right)\text{\ oraz\ H}\frac{\partial B}{\partial t} = \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}(H \bullet B)$$

Stwierdzamy, że dryga całka we wzorze (4.6) jest pochodną czasową całkowitej energii pola elektromagnetycznego

$$\int_{V}^{}{\left( H \bullet \frac{\partial B}{\partial t} + E\frac{\partial D}{\partial t} \right)dV = \frac{d}{\text{dt}}\int_{V}^{}{\frac{1}{2}\left( E \bullet D + H \bullet B \right)\text{dV}}}$$

$$\oint_{S}^{}{\left( E \times H \right) \bullet ds + \int_{V}^{}{\left( H \bullet \frac{\partial B}{\partial t} + E \bullet \frac{\partial D}{\partial t} \right)dV + \int_{V}^{}{E \bullet j^{0}\text{dV}}} = 0}$$

4.4 Wektor Poyntinga

Aby energia była zachowana pierwsza całka we wzorze (4.6) musi określać moc dostarczoną do układu z zewnątrz. Wynika stąd, że wektorowa wielkość nazywana wektorem Poyntinga

$$S = E \times H\ \ \ \ \ \ \left\lbrack \frac{V}{m} \bullet \frac{A}{m} = \frac{W}{m^{2}} \right\rbrack$$

Stanowi powierzchniową gęstość strumienia mocy przenoszoną przez pola (falę elektromagnetyczną). Inaczej wektorem Poyntinga nazywamy energię przenoszoną przez pola
w jednostce czasu na jednostkę powierzchni.

4.5 Twierdzenie Poyntinga dla pól harmonicznych (w postaci zespolonej)

Będziemy dalej opisywać harmoniczną zależność czasową wszystkich pól źródeł za pomocą czynnika exp(jωt), pisząc na przykład:

$$E\left( x,t \right) = Re\left\lbrack E(x)e^{\text{jωt}} \right\rbrack = \frac{1}{2}\left\lbrack E\left( x \right)e^{\text{jωt}} + E^{*}(x)e^{- j\omega t} \right\rbrack$$

Przy tej konwencji pole E(x) jest w ogólności polem zespolonym, a jego amplitudą i gaza zmieniają się z położeniem. Dla iloczynów skalarnych takich jak p_q=E(x,t)•j⁰(x,t), mamy wtedy

$$p_{q} = E\left( x,t \right) \bullet j^{0}\left( x,t \right) = \frac{1}{4}\left\lbrack E\left( x \right)e^{\text{jωt}} + E^{*}\left( x \right)e^{\text{jωt}} \right\rbrack \bullet \left\lbrack j^{0}\left( x \right)e^{\text{jωt}} + j^{*}\left( x \right)e^{\text{jωt}} \right\rbrack =$$

$$= \frac{1}{4}\left\lbrack E\left( x \right) \bullet j^{0*}\left( x \right) + E^{*}\left( x \right)j^{0}\left( x \right) + E\left( x \right)j^{0}\left( x \right)e^{2j\omega t} + E^{*}(x)j^{0*}(x)e^{- 2j\omega t} \right\rbrack$$

W większości zagadnień interesują nas wartości średnie w czasie

$$p_{q} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}{p_{q}\left( t \right)\text{dt}}$$

Wzór (4.21) zawiera dwa składniki zmienne w czasie, których wartość średnia za okres wynosi zero, a więc

$$p_{q} = \frac{1}{4}\left\lbrack E\left( x \right) \bullet j^{0*}\left( x \right) + E^{*}(x)j^{0}(x) \right\rbrack = \frac{1}{2}\text{Re}\left\lbrack E(x) \bullet j^{0*}(x) \right\rbrack$$

Widzimy stąd, że średnie czasowe dla iloczynów skalarnych równe są połowie części rzeczywistej iloczynu jednej z wielkości zespolonych i sprzężenia zespolonej drugiej

Dla pól harmonicznych równań Maxwella przyjmą postać

∇ × H = j⁰ + jωD

∇ × E = −jωB

∇ • D = ρ⁰

∇ • B = 0

Gdzie zgodnie z prawą stroną zapisu (4.20) wszystkie występujące tu wielkości są zespolonymi funkcjami położenia x.

Pierwsze z tych równań zapisujemy w postaci zespolonej sprzężonej, mnożymy przez E i odejmujemy od drugiego pomnożonego przez H^*. Wykorzystując przytoczoną wyżej tożsamość wektorową uzyskujemy różniczkę twierdzenia Poyntinga w postaci zespolonej”:

∇ • (E×H^*) + jωt(H^*B−E•D^*) + E • j^0* = 0

Całkując wyrażenie (4.28) po objętości V i stosując twierdzenie o dywergencji (Gaussa) uzyskujemy całkowitą postać twierdzenia Poyntinga

∮_S(E×H^*) • ds + jw∫_V(H^*B−E•D^*) • dv + ∫_V(E•j^0*) • dv = 0

Zdefiniujemy teraz zespolony wektor Poyntinga

S = E × H^*

Uśrednienie wektora Poyntinga za okres daje

$$S = S\left( t \right) = \frac{1}{2}Re(E \times H^{*})$$

Ośrodki spolaryzowane

Osobnego potraktowania wymagają substancje, które elektrycznie i magnetycznie polaryzują się. W spolaryzowanej materii istnieją „związane” ładunki i „związane” prądy nad którymi nie mamy bezpośredniej kontroli. Do opisu tych zjawisk wprowadza się wektor polaryzacji elektrycznej P, wektor polaryzacji magnetycznej M, które wyznaczają p_zw i j_zw w następujący sposób:

p_zw = −∇•P

j_zw = ∇ × M

Takie podejście prowadzi do wygodniejszego zapisu równań z postaci podanej przez Maxwella (mikroskopowej) do tzw. Makroskopowej. Prawo Gaussa i prawo Ampera z poprawką Maxwella uzyskując inną postać. Pojawiają się gęstości objętościowa ładunku swobodnego p₀ i gęstość objętościowa prądu swobodnego j₀ oraz dodatkowo D i H które zdefiniowane są jako:

D = ε₀E + P

$$H = \frac{1}{\mu_{0}}B - M$$

Równania (3.10) i (3.11) są właśnie równaniami materiałowymi o które należy uzupełnić równaniami Maxwella w postaci makroskopowej. Zależą one od właściwości substancji, dla ośrodka liniowego:

P = ε₀x₀E           i             M = x_mH

Tak więc

$$D = \varepsilon E\ \ \ \ \ \ \ \ i\ \ \ \ \ \ \ \ \ H = \frac{1}{\mu}B$$

Gdzie ε = ε₀(1+λ_ε) i μ = μ₀(1 + λ_m) Wielkości x_o i x_m nazywają się odpowiednio podatnością elektryczną i magnetyczną ośrodka liniowego.

5. Fale elektromagnetyczne w dielektryku idealnym

5.1 Równanie falowe w dielektryku idealnym

W obszarach ośrodka materialnego, w których nie ma ładunków swobodnych i prądów swobodnych, równania Maxwella mają postać przedstawioną w pierwszej kolumnie tabeli 5.1. Ośrodek ten można nazwać idealnym dielektrykiem (σ = 0)

Tabela 5.1 Równania Maxwella (materia) bez swobodnych ładunków i prądów

Postać ogólna	Ośrodek liniowy i jednorodny
$$\nabla \times H = \frac{\partial D}{\partial t}$$	$$\nabla \times B = \mu\varepsilon\frac{\partial E}{\partial t}$$	Prawo Ampera z poprawką Maxwella
$$\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}$$	$$\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}$$	Prawo Faradaya
∇ • D = 0	∇ • E = 0	Prawo Gaussa
∇ • B = 0	∇ • B = 0	Bez nazwy

$$\nabla \times \left( \nabla \times B \right) = \nabla\left( \nabla \bullet B \right) - B = \nabla \times \left( \text{με}\frac{\partial E}{\partial t} \right) = \mu\varepsilon\frac{\partial}{\partial t}\left( \nabla \times E \right) = - \mu\varepsilon\frac{\partial^{2}B}{\partial t^{2}}$$

Rotacja rotacji

∇ × (∇×v) = ∇(∇•v) − v

Dywergencja funkcji czyli laplasjan funkcji skalarnej

Ponieważ

∇ • B = 0      i      ∇•E = 0                  wiec

$$E - \mu\varepsilon\frac{\partial^{2}E}{\partial^{2}t^{2}} = 0\ \ \ \ i\ \ \ \ \ B - \mu\varepsilon\frac{\partial^{2}B}{\partial^{2}t^{2}} = 0$$

W układzie kartezjańskim każda składowa pól E i B spełnia wtedy trójwymiarowe równanie falowe

$$\frac{\partial^{2}E_{1}}{\partial^{2}x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}E_{1}}{\partial^{2}x_{2}^{2}} + \frac{\partial^{2}E_{1}}{\partial^{2}x_{3}^{2}} - \frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}E_{1}}{\partial^{}t^{2}} = 0$$

$$\frac{\partial^{2}B_{1}}{\partial^{2}x_{1}^{2}} + \frac{\partial^{2}B_{1}}{\partial^{2}x_{2}^{2}} + \frac{\partial^{2}B_{1}}{\partial^{2}x_{3}^{2}} - \frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}B_{1}}{\partial^{}t^{2}} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla\ t = 1,2,3\ldots$$

Prędkość rozchodzenia się fal elektromagnetycznych w liniowym jednorodnym dielektryku idealnym

$$v = \frac{1}{\sqrt{\text{εμ}}} = \frac{1}{\varepsilon_{w}\mu_{w}\varepsilon_{0}\mu_{0}} = \frac{c}{u}$$

Gdzie $c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}}} = 3,0 \bullet 10^{8}\ \frac{m}{s}\ \ \ \ \ \ \ \ \mu = \sqrt{\varepsilon_{w}\mu_{w}}$ Wprowadzona wielkość μ jest współczynnikiem załamania ośrodka materialnego.

Dla większości materiałów μ_w jest bliskie jedności i dlatego $\mu = \sqrt{\varepsilon_{w}}$

Fala poprzeczna – polaryzacja pionowa

$$f_{x}\left( x_{3},t \right) = \overset{\check{}}{A}e^{j(kx_{3} - \omega t)}e_{1}$$

Fala poprzeczna – polaryzacja pozioma

$${\tilde{f}}_{v}\left( x_{3},t \right) = \tilde{A}e^{j\left( kx_{3} - \omega t \right)}e_{2}$$

Fala poprzeczna – polaryzacja ukośna

$${\tilde{f}}_{v}\left( x_{3},t \right) = \tilde{A}e^{j\left( kx_{3} - \omega t \right)}n$$

μ = e₁cosθ + e₂sinθ

$$\overset{\check{}}{f}\left( x_{3},t \right) = e_{1}\overset{\check{}}{A}\text{cosθ}e^{j\left( kx_{3} - \omega t \right)} + e_{2}\tilde{A}\text{sinθ}e^{j\left( kx_{3} - \omega t \right)}$$

Fala płaska

$$\tilde{E}\left( v_{3},t \right) = {\overset{\check{}}{E}}_{0}e^{j\left( kx_{3} - \omega t \right)}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B}\left( x_{3,}t \right) = {\overset{\check{}}{B}}_{0}e^{j\left( kx_{3} - \omega t \right)}$$

$$\nabla \times E = 0,\ \ \nabla \bullet B = 0\ = > \ \ \ ({\tilde{E}}_{0})_{x_{3}} = \left( {\tilde{B}}_{0} \right)x_{3} = 0$$

Fala jest poprzeczna

Fala płaska

Załóżmy, że jedna ze skalarnych składowych pola elektromagnetycznego (np. E₁) nie zmienia się w żadnym kierunku kartezjalnego układu współrzędnych oprócz równoległego do osi x₃ wtedy:

$$\frac{\partial}{\partial x_{1}} = \frac{\partial}{\partial x_{2}} = 0,\ \ \ \frac{\partial}{\partial x_{3}} \neq 0$$

Fale takie są falami płaskimi ponieważ pola są także na każdej płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia się Jak:

$$\frac{\partial^{2}E_{1}}{\partial x_{3}} - \frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}E_{1}}{\partial E_{2}} = 0$$

Jest to klasyczne równanie falowe którego rozwiązaniem mogą być wszystkie postaci:

E₁ = f(x₃−vt)

Czyli wszystkie funkcje zależne od zmiennych x₃ i t poprzez szczególną kombinację u=x₃-vt. Fale takie rozchodzą się w kierunku dodatnim osi x₃ z prędkością v

Inną klasą rozwiązań – są funkcje

E₁ = g(x₃+vt)

Opisujące fal rozchodzące się w kierunku ujemnym osi x₃. W takim razie rozwiązaniem ogólnym jest suma rozwiązań

E₁ = f(x₃−vt) + g(x₃+vt)

$$E - \mu\varepsilon\frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B - \mu\varepsilon\frac{\partial^{2}B}{\partial t^{2}} = 0$$

Właściwości fali płaskiej

Równania falowe zostały wyprowadzone z równań Maxwella. Każde rozwiązanie równań Maxwella musi więc spełniać równanie falowe, ale twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe – równania Maxwella nakładają dodatkowe ograniczenia na E i B.

Rozwiązanie równań falowych wyrażamy w postaci zależnej od kombinacji u=x₃-xt:

(5.11)E(μ) = e₁E₁(μ) + e₂E₂(μ) i B(μ) = e₁B₁(μ) + e₂B₂(μ)

Z prawa Faradaya

$$\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}\ \ \ wynika\ dodatkowo\ zwiazek$$

(5.12) E₂ = −vB₁ E₁ = vB₂

Lub w bardziej zwartej postaci:

$$\left( 5.13 \right)\ \ B = \frac{1}{v}\left( e_{3} \times E \right)$$

Ostatnie z równań Maxwella nie daje nowego ograniczenia gdyż odtwarza równanie (5.12)

Wektor indukcji magnetycznej jest prostopadły

• Przykład: Wyprowadzić zakres (5.12)

Rozwiązanie: Podstawiamy do prawa Faradaya

$$\tilde{E}\left( x_{3},t \right) = {\tilde{E}}_{0}e^{j(kx_{3} - \omega t)}e_{1}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\tilde{B}\left( x_{3},t \right) = \frac{1}{v}{\tilde{B}}_{0}e^{j(kx_{3} - \omega t)}e_{2}$$

E(x₃,t) = E₀cos(kx₃−ωt)e₁

$$B\left( x_{3},t \right) = \frac{1}{v}B_{0}\cos\left( kx_{3} - \omega t \right)e_{2}$$

Kierunek pola elektrycznego określa polaryzację fali elektromagnetycznej.

Impedancja falowa i impedancja właściwa ośrodka

Definicja: Impedancję falową właściwą ośrodka bezstratnego nazywamy wielkością

$$Z = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}$$

Dla próżni

$$Z = \sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon}} \approx 120\pi\Omega \approx 377\Omega\ \ \ \ \ \ \ (5.15)$$

Definicja: Impedancje falową nazywamy stosunek prostopadłych do kierunku rozchodzenia się fali składowych pola elektrycznego i magnetycznego

$$Z_{t} = \frac{E_{1}}{H_{1}}$$

Ze wzoru 5.15 wynika że dla fali TEM impedancja falowa jest równa impedancji właściwej

$$Z_{f} = \frac{\sqrt{E_{1}^{2} + E_{2}^{2}}}{\sqrt{H_{1}^{2} + H_{2}^{2}}} = Z$$

Równanie falowe w ośrodku stratnym

Rozważmy jednorodny ośrodek materialny w których są ładunki swobodne p⁰ o gęstości prądu swobodnego j⁰ jest zgodne z prawem Ohma proporcjonalnie do natężenia pola elektrycznego j⁰=σE. W takim ośrodku

$$D = \varepsilon E\ \ \ \ i\ \ \ \ \ H = \frac{1}{\mu}B$$

I równanie Maxwella przyjmują postać podaną w kolumnie tabeli 6.1.

Można wykazać że w ośrodku o nazwanej konduktywności

Analogicznie jest dla ośrodków bezstratnych stosując rotację otrzymamy

$$\nabla \times \left( \nabla \times B \right) = \nabla\left( \nabla \bullet B \right) - B = \nabla \times \left( \mu\sigma E + \mu\varepsilon\frac{\partial E}{\partial t} \right) = \mu\sigma\left( \nabla \times E \right) + \mu\varepsilon\frac{\partial}{\partial t}\left( \nabla \times E \right) = - \mu\sigma\frac{\partial B}{\partial t} - \mu\varepsilon\frac{\partial^{2}B}{\partial t^{2}}$$

$$\nabla \times \left( \nabla \times E \right) = \nabla\left( \nabla \bullet E \right) - E = \nabla \times \left( - \frac{\partial B}{\partial t} \right) = - \frac{\partial}{\partial t}\left( \nabla \times B \right) = - \frac{\partial}{\partial t}\left( \mu\sigma E + \mu\varepsilon\frac{\partial E}{\partial t} \right) = - \mu\sigma\frac{\partial E}{\partial t} - \mu\varepsilon\frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}}$$