Politechnika Koszalińska

Katedra Konstrukcji Betonowych

Ćwiczenie nr 1

Statystyczne opracowanie wyników pomiarów wytrzymałości betonu na ściskanie.

Sprawdził: Wykonała:

1. Jednym z najbardziej wygodnych sposobów przedstawienie danych obserwowanych wydaje się być wykres słupkowy zwany histogramem .

W celu zapoznania się ze sposobem wykonywania histogramu, poddane badaniom niszczącym zostaje 36 próbek sześciennych o boku 15 cm. Wyniki badania podano w tabeli nr 1, w postaci nieuporządkowanego zbioru wartości wytrzymałości betonu na ściskanie.

Tabela nr 1. Wyniki badań wytrzymałości na ściskanie badanych próbek [MPa]

22,8	29,0	17,2	32,0	25,7	29,9
27,8	19,1	29,3	23,8	25,1	27,8
32,6	26,8	21,6	36,5	23,0	31,5
24,6	23,0	32,9	26,1	34,7	26,2
21,0	23,5	29,2	28,2	22,1	27,9
27,9	19,8	25,9	27,4	28,5	18,3

Dla podanych wyników badań wytrzymałości betonu na ściskanie określimy:

• wytrzymaÅ‚ość Å›redniÄ…
  

• miary rozproszenia wyników
  ,

• wytrzymaÅ‚ość gwarantowanÄ…
  ,

• poziom wytwarzania mieszanki betonowej,

• częściowy współczynnik bezpieczeÅ„stwa
  ,

• wytrzymaÅ‚oÅ›ci charakterystyczne i obliczeniowe.

2. Ustalenie liczby przedziałów.

Histogram jest to wykres słupkowy, w którym na osi odciętych są liczbowe przedziały obserwowanej cechy, natomiast na osi rzędnych liczbę obserwacji w przedziale, bądź częstość obserwacji w danym przedziale.

Przy ustaleniu liczby przedziałów bardzo pomocny jest wzór Sturges

gdzie: n - liczba wyników

k -liczba przedziałów

Przyjęto

3. Określenie szerokości przedziałów.

Przy ustaleniu szerokości przedziałów pomocnicze są skrajne wynikli tj. najwyższy i najniższy wynik pomiaru.

W uzyskanym zbiorze wyników: - najniższa wartość wynosi 17,2 MPa

- najwyższa wartość wynosi 36,5 MPa

Szerokość przedziału:
, przyjęto

4. Ustalenie średniej wartości pomocniczej.

Podział otrzymanych wyników badań na przedziały oraz zestawienie niezbędnych danych potrzebnych do sporządzenia histogramu przedstawiono w Tabeli nr 2.

Tabela nr 2. Zestawienie wyników pomiaru wytrzymałości betonu na ściskanie.

Przedział [MPa]	Wartość średnia w przedziale [MPa]	Liczba wyników m w przedziale [szt.]	Częstość wyników [%]	Kolejne sumy wyników [szt.]	Częstość sumaryczna wyników [%]
16 19	17,5	2	5,56	2	5,56
19,1 22	20,5	4	11,11	6	16,67
22,1 25	23,5	7	19,44	13	36,11
25,1 28	26,5	11	30,56	24	66,67
28,1 31	29,5	6	16,67	30	83,33
31,1 34	32,5	4	11,11	34	94,44
34,1 37	35,5	2	5,56	36	100
Suma:	-	36	100	-	-

5. Histogram wyników badań wytrzymałości betonu na ściskanie sporządzony na podstawie danych zawartych w Tabeli nr 2.

Rys. nr 1. Histogram wyników pomiarów wytrzymałości betonu na ściskanie.

Na podstawie przedstawionego powyżej histogramu można stwierdzić, że najwięcej wartości uzyskanych wyników wytrzymałości betonu na ściskanie zawiera się w przedziale25
28 MPa.

6. Dystrybuanta - rozkład częstości skumulowanej.

Obok histogramu innym sposobem przedstawienia uporządkowanego zbioru wyników obserwacji jest rozkład częstości skumulowanej zwanej dystrybuantą doświadczalną. Dane do sporządzenia wykresu zawarte są w Tabeli nr 2. W celu sporządzenia dystrybuanty konieczne jest obliczanie-dla każdego punktu przedziału-kolejnych sum częściowych wyników, naniesienie tych wartości na wykres i połączeniu wszystkich sąsiednich punktów odcinkami prostymi. Ostatecznie otrzymujemy linię łamana, tj. wykres monotonicznej, niemalejącej funkcji, przyjmującej wartości od zera do jedności.

Rys. nr 2. Rozkład częstości skumulowanej - dystrybuanta doświadczalna.

Z wykresu dystrybuanty można odczytać, że częstość występowania wytrzymałości betonu mniejszych niż 22 MPa wynosi 16,67%. A wartość poszukiwana sredniej statystycznej zbioru (określona położeniem punktu przegięcia wykresu) znajduje sie w przedziale wartości 25
28 MPa.

7. Wyznaczenie średniej, odchylenia standardowego i współczynnika asymetrii (skośności) zbioru.

Tymczasowa zmienna:
, x - średnia wartość w przedziale.

Wytrzymałość średnia:

Odchylenie standardowe:

Wskaźnik zmienności:

Miara asymetrii układu (skośność rozkładu):

Tabela nr 3. Pomocnicze dane do obliczania

Wartość średnia w przedziale x [MPa]	Liczba wyników m w przedziale [szt.]	Zmienna wprowadzona
17,5	2	-3,0	-6,0	18,0	-54,0
20,5	4	-2,0	-8,0	16,0	-32,0
23,5	7	-1,0	-7,0	7,0	-7,0
26,5	11	0	0	0	0
29,5	6	1,0	6,0	6,0	6,0
32,5	4	2,0	8,0	16,0	32,0
35,5	2	3,0	6,0	18,0	54,0
Suma:	36	-	-1,0	81,0	-1,0

Zestawienie uzyskanych wyników:

• Å›rednia z pomiarów wynosi:
  

• odchylenie standardowe:
  

• wskaźnik zmiennoÅ›ci:
  

• 
  oznacza, że zbiór charakteryzuje się prawostronną asymetrią.

8. Wyznaczenie rzędnych krzywej rozkładu normalnego.

Tabela nr 4. Obliczenie rzędnych krzywej rozkładu normalnego.

Wartość średnia w przedziale x [MPa]
17,5	-8,92	-1,98	0,0562	3,75
20,5	-5,92	-1,32	0,1669	11,13
23,5	-2,92	-0,65	0,3230	21,53
26,5	0,08	0,02	0,3989	26,59
29,5	3,08	0,68	0,3166	21,11
32,5	6,08	1,35	0,1604	10,69
35,5	9,08	2,02	0,0519	3,46
Suma:	-	-	-	98,26

Rys. nr 3. Histogram i teoretyczny rozkład wytrzymałości betonu na ściskanie.

9. Testowanie normalnośc

Test Kołmogorowa-Smirnowa.

Tabela nr 5. Test Kołmogorowa-Smirnowa.

Wartość średnia w przedziale x [MPa]	Częstość sumaryczna wyników	Częstość teoretyczna f(x)	Sumaryczna częstość teoretyczna	Różnica częstości sumarycznych D
17,5	0,0556	0,0375+0,0074	0,0449	0,0107
20,5	0,1667	0,1113	0,1562	0,0105
23,5	0,3611	0,2153	0,3715	-0,0104
26,5	0,6667	0,2659	0,6374	0,0293
29,5	0,8333	0,2111	0,8485	-0,0152
32,5	0,9444	0,1069	0,9554	-0,011
35,5	1,0000	0,0346+0,01	1,0000	0
Suma:	-	1,0000	-	-

Na początku należy obliczyć wartość
w skrajnych przedziałach, aby teoretyczna częstość sumaryczna była jak najbliższa wartości 1,0.

,
,
,

,
,
,

Dla
,
otrzymano
.

Ponieważ
<
nie ma podstawy do odrzucenia hipotezy, że obserwowane dane wytrzymałości betonu na ściskanie mają normalny rozkład częstości.

Ostateczne wnioski dotyczące analizowanego zbioru wytrzymałości betonu na ściskanie.

Na podstawie testu Kołmogorowa-Smirnowa można przyjąć, że częstość wytrzymałości betonu na ściskanie ma rozkład normalny o średniej
i odchyleniu standardowym
.

10. Wartości minimalne, wytrzymałość gwarantowana.

Wytrzymałość gwarantowana.

Korzystając z tablicy wartości P(t) dla rozkładu normalnego dla
wartość odciętej
, dlatego wytrzymałość gwarantowana przyjmuje wartość:

11. Wytrzymałość charakterystyczna.

Wytrzymałość minimalna w konstrukcji tj. wytrzymałość charakterystyczna:

Jest to zależność pomiędzy wytrzymałością na ściskanie próbek sześciennych o boku 15 cm, a wytrzymałością na ściskanie próbek słupowych o wymiarach 20 x 20 x 80 cm, uznanych za miarodajne do oceny wytrzymałości betonu w konstrukcji.

W analizowanym przykładzie:

Wytrzymałość charakterystyczna na rozciąganie:

12. Wytrzymałość obliczeniowa.

Wytrzymałość obliczeniową betonu na ściskanie zgodnie z PN-80-03264:2002 obliczamy wg wzoru:

w którym:

współczynnik uwzględniający wpływ obciążenia długotrwałego, niekorzystny efekt sposobu przyłożenia obciążenia, a w przypadku słupów również wpływ małych przekrojów na wytrzymałość obliczeniową betonu na ściskanie. Wartość tego współczynnika przyjmuje się
z wyjątkiem elementów konstrukcyjnych o wyjątkowym znaczeniu oraz elementów ściskanych o przekroju poprzecznym
, gdy jeden z boków lub średnica przekroju są mniejsze niż 0,25m.

częściowy współczynnik bezpieczeństwa; dla konstrukcji żelbetowych i sprężonych przyjmuje się
w sytuacjach trwałych i przejściowych, zaś

w sytuacjach wyjÄ…tkowych; dla konstrukcji betonowych przyjmuje siÄ™
w sytuacjach trwałych i przejściowych, zaś
w sytuacjach wyjÄ…tkowych.

W analizowanym przypadku otrzymano:

Wytrzymałość obliczeniową betonu na rozciąganie zgodnie z normą obliczamy wg wzoru:

w którym:

współczynnik uwzględniający wpływ obciążenia długotrwałego oraz niekorzystny efekt sposobu przyłożenia obciążenia na wytrzymałość obliczeniową betonu na rozciąganie. Wartość tego współczynnika przyjmuje się
z wyjątkiem elementów konstrukcyjnych o wyjątkowym znaczeniu.

częściowy współczynnik bezpieczeństwa o wartościach jak dla ściskania.

W analizowanym przypadku otrzymano:

Na podstawie współczynnika zmienności z próby można określić jednorodność mieszanki betonowej wg instrukcji ITB nr 210. W analizowanym zbiorze wytrzymałości betonu na ściskanie otrzymano:
co odpowiada dostatecznej jednorodności betonu.

13. Zestawienie wyników.

;
;
,

co odpowiada niedostatecznej jednorodności betonu

;
,

;
.

2

---