MIERNICTWO PRZEMYSŁOWE

PROJEKT

TEMAT : APROKSYMACJA CHARAKTERYSTYK WIELOMIANEM DRUGIEGO STOPNIA

Wykonali:

1. Drab Łukasz

2. Katana Marcin

Spis treści:

1. Wiadomości teoretyczne dotyczące aprokcymacji

1. Zadanie dopasowania funkcji ciągłej do danych dyskretnych

1.2. Zadanie przybliżenia przebiegu funkcji

1.3. Zastosowania aproksymacji

1.4. Teoretyczna część obliczeniowa

2. Opis działania programu symulacyjnego

Zadanie dopasowania funkcji ciągłej do danych dyskretnych

Metody aproksymacyjne są najczęściej stosowane w badaniach eksperymentalnych. Najczęściej dane wejściowe są znane dokładnie

a dane wyjściowe są zaburzone z powodu np. błędu metody lub z powodu zakłucenia pomiarowego jak np. szumy cieplne wzmacniacza.

Zagadnienie interpolacji polega na znalezieniu takiej funkcji f(x), której wykres przechodzi dokładnie przez wszystkie punkty
. W praktyce pomiarowej założenie takie mija się z celem, gdyż zwykle punkty te obarczone są błędami pomiaru. Dlatego lepszą metodą może okazać się właśnie aproksymacja.

Zagadnienie aproksymacji polega na znalezieniu takiej funkcji f(x), której wykres nie przechodzi dokładnie przez punkty
, lecz zwykle w ich pobliżu, tworząc linię gładką, z możliwie najmniejszym błędem przybliżenia.

Celem jest określenie sparametryzowanej zależności między danymi wejściowymi i wyjściowymi. Rozwiązanie polega na wyborze

klasy zależności (np. liniowa czy kwadratowa) i parametrów tej

zależności (np. współczynniki prostej).

Zadanie przybliżenia przebiegu funkcji

Sformułowanie bliskie interpolacji - funkcja aproksymująca równa aproksymowanej w zadanych węzłach, poza węzłami aproksymacja ma być dobrym przybliżeniem

wg wybranego kryterium.

Celem takiego postępowania jest zastąpienie czasochłonnej obliczeniowo funkcji jej dobrym i

szybko obliczanym przybliżeniem (np. wielomianem lub ilorazem wielomianów). Powszechna praktyka w kalkulatorach (np. funkcja sin) i w bibliotekach i środowiskach

numerycznych (np. erf w Matlabie).

Pożądany jest równomiernie rozłożony błąd przybliżenia - stosowane kryterium min-max.

Zastosowania aproksymacji

1. Redukcja wymiarowości opisu danych, np. tabela wartości jest zastępowana kilkoma

współczynnikami aproksymacji.

2. Odszumianie sygnałów - konieczne założenie o klasie sygnału, dopasowanie parametrów (np. dopasowanie amplitudy, fazy i częstotliwości sygnału

sinusoidalnego do spróbkowanego napięcia sieciowego).

3. Identyfikacja obiektów dynamicznych metodą dopasowania odpowiedzi czasowych lub częstotliwościowych (nonlinear parameter estimation).

Np. określanie parametrów mechanicznych i elektrycznych silnika prądu stałego

na podstawie zarejestrowanych sygnałów napięcia, prądu i prędkości obrotowej

podczas rozruchu.

4. Szybkie obliczenia trudnych funkcji, np. całki nieanalityczne, funkcje trygonometryczne.

Teoretyczna część obliczeniowa

Dopasowanie prostej do danych wg kryterium najmniejszej sumy kwadratów odchyłek.

Dla zadanych par wartości {u_i,y_i}, i = 1,...,N poszukujemy przybliżonej zależności pomiędzy nimi w postaci y_i = au_i + b + e_i,

gdzie e jest odchyłką, a i b parametrami modelu.

Parametry mają minimalizować sumę kwadratów odchyłek pomiędzy

zadanym y_i i wyliczonym z modelu
czyli kryterium

Minimum kryterium znajdziemy obliczając pochodne cząstkowe

i przyrównując je do zera

Rozwiązując powyższy układ równań ze względu na poszukiwane

(estymowane) parametry otrzymujemy:

Warunek na minimum (dodatnia określoność macierzy drugich pochodnych) jest spełniony

Opis działania programu symulacyjnego

Układ służy do symulowania charakterystyk aproksymacyjnych otrzymanych metodą najmniejszych kwadratów.

Program symulacyjny stworzony został w aplikacji Vee Pro.

Działanie programu można podzielić na dwie części:

1. W pierwszej części rysowana jest charakterystyka składająca się z punktów przed aproksymacją.

• Najpierw losowane są współczynniki aproksymacji w elemencie „Losowanie1”, następnie powstaje funkcja kwadratowa w bloku „Funkcja1”

• Wartości funkcji są podawane na wejście ”Y”.

• Na wejście „X” podawane są wartości z „Tablicy 2 z odpowiednim odchyleniem.

• Odchylenie realizuje się przez „Pętle”, „Losowanie odchylenia” , „Collector” i „Dodawanie”.

• Bloczki „Losowanie 2” i „Losowanie 3” losują przedziały do odpowiednich tablic

2. W drugiej części jest rysowana charakterystyka po aproksymacji.

• Wartość „X” jest realizowana z „tablicy 2”

• Wartość „Y” jest realizowana z elementu „funkcji 2”

• Współczynniki do tego elementu są wyliczane przez blok „funkcja 3”

• Bloczek „(X*X)” realizuje podnoszenie do kwadratu wartości x, a bloczki „Znak” i

„Moduł” pozwalają uzyskać same „1”.

• W „Funkcja 3” znajduje się równanie konieczne zgodne z realizacją wyznaczonego współczynnika aproksymacji

3

POLITECHNIKA RADOMSKA

im. KAZIMIERZA PUŁAWSKIEGO

WYDZIAŁ TRANSPORTU

KIERUNEK ELEKTROTECHNIKA

ROK AKADEMICKI 2006/2007

SEMESTR VI

GRUPA ISP

---