Zagadnienia teoretyczne

Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici o długości l.

Gdy wahadło jest w ruchu, działa na nie siła ciężkości F=mg. Składowa tej siły, F_x=mgsinα, skierowana stycznie do łuku. Siła kierująca k jest stosunkiem siły F_x do wychylenia, równego w przybliżeniu x, więc k=(mg/x)sinα, a dla małych wychyleń, gdzie przyjmujemy że x=lα, k=mg/l. Obliczając okres drgań wahadła mamy

(1)

Znając ten wzór możemy łatwo obliczyć wartość przyspieszenia ziemskiego g na podstawie okresu drgań i długości wahadła. Wzór powyższy nie jest niestety prawdziwy dla wahadła fizycznego, które nie jest jednym punktem materialnym, a raczej składa się z wielu, z których każdy posiada własny okres drgań. Moment siły M, działający na wahadło wychylone z położenia równowagi, wyraża się wzorem M=mgdsinϕ, gdzie d jest odległością środka ciężkości od punktu podparcia. Ze względu na małą wartość kąta ϕ moment siły można uprościć do M=-mgdϕ, gdzie mgd jest momentem kierującym D.

Zgodnie z twierdzeniem Steinera, moment bezwładności można przedstawić jako J=J_s+md², gdzie J_s jest momentem bezwładności, gdy oś obrotu przechodzi przez środek ciężkości. W ten sposób dochodzimy do następującego wzoru na okres oscylacji:

(2)

Wprowadzając do poprzedniego równania oznaczenie

(3)

możemy wyrazić okres wahadła fizycznego tym samym wzorem co wahadła matematycznego o długości l (patrz równanie 1), którą nazywamy długością zredukowaną wahadła fizycznego. Jak widać, jest to funkcja momentów bezwładności i siły ciężkości wahadła fizycznego.

Długość zredukowana wahadła fizycznego odgrywa ważną rolę w wyznaczaniu przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Jeżeli zawiesimy wahadło na osi przechodzącej przez inny punkt, po przeciwległej stronie środka ciężkości wahadła, wzór na okres oscylacji wahadła przyjmie postać:

(4)

gdzie d' jest nową odległością od środka masy wahadła. Jeżeli nie wiemy, gdzie znajduje się środek masy wahadła, lecz na podstawie pomiarów znana jest nam równość okresów T i T_'. Przyrównujemy do siebie równania (2) i (4) i otrzymujemy J_s(d-d')-mdd'(d-d'). Równanie to wyznacza takie położenie środka ciężkości wahadła, które zapewnia omawianą równość okresów. Jest to możliwe gdy

1. Środek ciężkości znajduje się dokładnie w połowie drogi pomiędzy obiema położeniami (d=d'). Jest to jednak bardzo mało prawdopodobne.

1. a≠b. Wtedy obie strony równania skracamy przez d-d' i otrzymujemy J_s=mdd'. Podstwaniamy otrzymaną wartość do wzorów (2) i (4) i otrzymujemy

(5)

Porównując powyższe z (1) widzimy, że okres drgań wahadła fizycznego jest taki sam, jak okres wahań wahadła zredukowanego o długości l=d+d'.

Przebieg doświadczenia

Zawiesiłem wahadło na jednym ostrzu O₁ i pobudziłem je do drgań o małej amplitudzie oraz wyznaczyłem okres jego drgań poprzez pomiar 40 wahnięć. Podobnie badałem okresy drgań zmieniając położenie krążka o 4 cm. Zawiesiłem wahadło na drugim ostrzu i badałem okresy drgań tak jak to opisałem wyżej.

Posiadając wyniki tych pomiarów sporządziłem na jednym rysunku wykresy zależności okresów drgań w funkcji odległości, dla obu zawieszeń. Odczytałem z wykresu wartość odległości i dla których okresy drgań są identyczne i dla tych wartości powtórzyłem badanie okresu. Następnie ustawiłem długość wahadła matematycznego na tą odległość i sprawdziłem jego okres drgań.

Opracowanie wyników

Najpierw obliczam wartość przyspieszenia ziemskiego korzystając z wyników przy doświadczeniu z wahadłem matematycznym.

g=9,47 [m/s²]

Dla wartości uzyskanych z pomiarów za pomocą wahadła fizycznego. Za okres przyjąłem średnią z dwóch pomiarów.

g=10,43[m/s²]

Ocena błędów

Błąd liczę metodą różniczki zupełnej

Dla wahadła matematycznego:

Δg=0,28[m/s²]

Ostateczny wynik dla wahadła matematycznego wynosi zatem g_m=9,47±0,28[m/s²]. Uzyskane przyspieszeni ziemski różni się od tablicowego g=9,81[m/s²] o 3,5%.

Dla wahadła fizycznego wzór na różniczkę zupełną jest taki sam.

Δg_f=0,27[m/s²]

Ostateczny wynik dla wahadła fizycznego wynosi zatem g_f=10,43±0,27[m/s²]. Uzyskane przyspieszenie różni się od tablicowego g=9,81[m/s²] o 6,3%

Wnioski

Otrzymane wartości przyspieszenia ziemskiego zarówno z wahadła matematycznego jak i z wahadła fizycznego nie odbiegają bardzo od wartości tablicowej tej stałej. Największy wpływ ewentualne błędy mógł mieć odczyt okresów drgania wahadła. Ponieważ urządzenie było zepsute to musiałem ten pomiar wykonywać ręcznie.