Podstawy fizyki kwantowej

I. Promieniowanie cieplne (temperaturowe)

1. Zdolność emisyjna

2. Zdolność absorpcyjna

3. Model ciała doskonale czarnego

4. Prawo Kirchoffa

5. Badanie zależności zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego od długości fali promieniowania i temperatury

6. Prawo Stefana-Boltzmanna

7. Prawo Wiena

8. Analityczna postać zależności

Ciała mogą wymieniać energię za pośrednictwem promieniowania cieplnego. W stanie równowagi termodynamicznej (stała temperatura) ilość energii wypromieniowanej przez ciało równa się ilości energii pochłoniętej.

W celu ilościowego opisu promieniowania cieplnego wprowadzamy pojęcia:

• zdolności emisyjnej

• zdolności absorpcyjnej

Zdolność emisyjna

Zdolnością emisyjną nazywamy stosunek energii wypromieniowanej przez jednostkę powierzchni, w jednostce czasu, w zakresie długości fali [ၬ, ၬ + dၬ] do tego zakresu długości fali.

gdzie:

dε_prom - ilość energii wypromieniowanej w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni ciała w zakresie długości fali [ၬ, ၬ + dၬ].

Zdolność absorpcyjna

Zdolnością absorpcyjną ciała nazywamy stosunek energii pochłoniętej przez jednostkę powierzchni ciała w czasie 1s, w zakresie długości fali [ၬ, ၬ + dၬ] do energii docierającej do jednostki powierzchni ciała, w czasie 1s, w tym zakresie długości fali promieniowania.

gdzie:

dε_poch - ilość energii pochłoniętej przez jednostkę powierzchni ciała w czasie 1s, w zakresie długości fali [ၬ, ၬ + dၬ]

dε - ilość energii docierającej do jednostki powierzchni ciała, w czasie 1s, w tym samym zakresie długości fali.

Zdolność absorpcyjną wyrażamy w procentach. Ciało, którego zdolność absorpcyjna równa się A_λ,T = 1 (100%) nazywamy ciałem doskonale czarnym.

Wszystkie ciała występujące w przyrodzie mają zdolność absorpcyjną mniejszą od 1.

Model ciała doskonale czarnego

W wyniku wielokrotnego odbicia wewnątrz komory promieniowanie zostaje pochłonięte prawie w 100%. Na zewnątrz otwór wydaje się czarny. (Warstwa sadzy, czarny aksamit są dobrymi przybliżeniami ciała doskonale czarnego.) Jeżeli wnętrze komory ogrzejemy do temperatury T, możemy badać promieniowanie ciała doskonale czarnego w tej temperaturze T.

Zdolność emisyjną ciała doskonale czarnego oznaczamy:

Prawo Kirchhoffa

powierzchnia idealnie czarna powierzchnia ma zdolność absorpcyjną Aλ,T i zdolność emisyjną ρλ,T

T = const

d = energii wypromieniowanej przez ciało doskonale czarne

prawo Kirchhoffa

Stosunek zdolności emisyjnej danego ciała do jego zdolności absorpcyjnej jest stały i równy zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego.

Wnioski z prawa Kirchhoffa

1. Ponieważ
   to jeśli
   to i
   

2. Ponieważ
   nie może być większe od 1, to
   nie może być większe od
   
   W danej temperaturze T
   

3. Z faktu, że
   nie wynika, że
   jest duże. Na przykład w temperaturze pokojowej ciało pokryte czerwoną farbą pochłania bardzo silnie światło zielone. Jednak nie wypromieniowuje ono światła o tej częstości, bo
   w temperaturze pokojowej jest prawie równa 0.

,

Badanie zależności
za pomocą bolometru

- długość ­fali promieniowania, której odpowiada maksymalna zdolność emisyjna.

Wnioski z eksperymentu

1. Prawo Stefana-Boltzmanna

Całkowita energia wypromieniowana w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni ciała doskonale czarnego (w całym zakresie długości fali) jest wprost proporcjonalna do czwartej potęgi jego temperatury bezwzględnej (T).

prawo Stefana-Boltzmanna

gdzie:

δ - stała Stefana-Boltzmanna; δ = 5,67 * 10^-8

J. Stefan - fiz. austriacki (doświadczalnik)

L. Boltzmann - fiz. niemiecki (teoretyk)

2. Prawo Wiena

Dla każdej temperatury istnieje taka długość fali, w przypadku której zdolność emisyjna osiąga wartość maksymalną. Z wzrostem temperatury długość fali
staje się coraz mniejsza.

Analiza krzywych doświadczalnych wskazała na prostą zależność:

prawo Wiena

gdzie:

b - stała; b = 2,898 * 10^-3 mK

Długość fali, na którą przypada maksymalna zdolność emisyjna ciała doskonale czarnego jest odwrotnie proporcjonalna do temperatury bezwzględnej.

Maksymalna zdolność emisyjna w przypadku promieniowania Słońca przypada w przybliżeniu na długość fali równą 530 nm. Traktując Słońce jako ciało doskonale czarne można obliczyć, że temperatura zewnętrznych warstw Słońca wynosi około 5400 K.

Pojęcie kwantu energii promieniowania

Poszukiwanie analitycznej postaci zależności
doprowadziło do wniosku, że model falowy promieniowania nie stosuje się w przypadku emisji promieniowania ciała doskonale czarnego.

W 1901 r. Max Planck wysunął hipotezę, według której ciało doskonale czarne emituje promieniowanie nie w sposób ciągły, lecz w postaci skończonych porcji energii - kwantów energii.

Słowo kwant pochodzi z jęz. Łacińskiego quantum, co oznacza ilość.

Wielkość określonej porcji energii - kwantu - jest wprost proporcjonalna do częstości promieniowania (M. Planck).

gdzie:

ε₀ - energia kwantu

h - stała Plancka; h = 6,62 * 10^-34 Js

ν - częstość promieniowania

Ciało promieniujące emituje energię ε równą (dla dowolnej częstości) ε = ε₀*n, gdzie n to całkowita liczba dodatnie.

Analityczna postać zależności

Energia wypromieniowana równa się całkowitej wielokrotności kwantu.

Przy powyższym założeniu Planck otrzymał wzór określający zdolność emisyjną ciała doskonale czarnego jak funkcję długości fali i temperatury.

wzór Plancka

W celu znalezienia zależności emisyjnej od częstości promieniowania i temperatury (
) korzystamy ze wzoru:

zatem:

Przechodząc od λ do ν trzeba wyrażenie pomnożyć przez
.

Zatem

Stad

wzór Plancka

Ze wzoru Plancka możemy obliczyć energię
. Otrzymujemy wówczas prawo Stefana-Boltzmanna.

Jeśli obliczymy max funkcji
,
, to otrzymamy wzór Wiena.

Wnioski z teorii zgodne są z wynikami doświadczeń przy założeniu, że promieniowanie emitowane jest porcjami - kwantami energii.

Podstawy fizyki kwantowej • Fizyka 2002 - 2003

1

---