Wyznaczanie momentów bezwładności i środka ciężkości brył i figur płaskich

1.Opis ćwiczenia.

Celem przeprowadzenia ćwiczenia było doświadczalne wyznaczenie momentów bezwładności brył obrotowych oraz środków ciężkości brył nieregularnych. Momenty bezwładności wyznaczano dwiema metodami (metoda I i II), przy czym metody te sprowadzały się do bezpośredniego pomiaru czasu; natomiast w celu wyznaczenia środków ciężkości kilku brył nieregularnych (metoda III) odczytywano wartości kątów na skali kątowej stanowiska pomiarowego.

2. Wprowadzenie teoretyczne.

Momentem bezwładności ciała materialnego względem dowolnie wybranej osi nazywamy granicę, do której dąży suma iloczynów mas elementów, na które podzieliśmy ciało, przez kwadraty odległości tych elementów od wspomnianej osi, gdy liczba elementów dąży do nieskończoności przy jednoczesnym dążeniu do zera ich wymiarów.

przy czym : m_i - i-ta masa elementarna,

h_{i -} odległość tej masy od osi,

W granicznym przypadku daje to całkę :

gdzie :
jest gęstością ciała,

a z twierdzenia Pitagorasa h² = x² + y² , czyli:

a całki typu

i

nazywamy momentami względem płaszczyzn układu współrzędnych.

Jak widać ze wzorów moment bezwładności ciała materialnego zależy od jego masy czyli jest parametrem masowym .Parametr ten jest wykorzystywany w dynamice ciał materialnych.

Moment bezwładności układu punktów materialnych względem punktu i płaszczyzny wyznaczamy analogicznie tzn. sumujemy iloczyny elementarnych mas przez ich kwadraty odległości od punktu (płaszczyzny), względem którego liczymy moment.

Moment bezwładności, jako suma iloczynów samych dodatnich składników jest wartością dodatnią.

Twierdzenie Steinera:

Moment bezwładności ciała sztywnego względem dowolnej prostej równy jest sumie momentów bezwładności tego ciała względem prostej równoległej przechodzącej przez środek masy i iloczynu masy tego ciała przez kwadrat odległości między prostymi.

I_{l =} I_{s +} mh²

gdzie: I_s - moment bezwładności ciała względem prostej przechodzącej przez środek masy,

h - odległość między prostymi równoległymi,

Twierdzenie to obowiązuje również dla momentów względem punktu i płaszczyzny

Środek ciężkości bryły sztywnej jest to taki punkt, który ma tę własność, że stale przechodzi przez niego wypadkowa układu sił ciężkości działających na układ punktów materialnych tworzących daną bryłę.

;
;
;

gdzie całki występujące w licznikach nazywamy statycznymi momentami bezwładności.

Odśrodkowy moment bezwładności ciała (moment dewiacyjny) jest liczony względem dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyzn i jest granicą sumy iloczynów mas elementów ciała przez odległość tych elementów od danych płaszczyzn.

Przykładowo moment dewiacyjny względem płaszczyzn XY i YZ prostokątnego układu współrzędnych wyraża się wzorem:

Momenty bezwładności figur płaskich są wielkościami geometrycznymi, charakteryzującymi przekroje poprzeczne prętów, wykorzystywanymi w obliczeniach wytrzymałościowych prętów.

Moment bezwładności względem osi jest całką po całkowitym polu powierzchni iloczynu elementarnych pól przez odległości tych pól od obranej osi. Wartość tego momentu zależy od kształtu i wymiarów przekroju oraz od położenia osi względem przekroju. W przypadku gdy oś ta jest centralna czyli przechodzi przez środek ciężkości przekroju, moment nazywamy centralnym momentem bezwładności

;
;

gdzie: A - pole powierzchni całkowitej figury,

dA - elementarne pole powierzchni,

y - odległość elementarnego pola od osi X,

I_z - moment bezwładności względem osi X,

Odśrodkowy moment bezwładności jest całką po całkowitym polu powierzchni iloczynu elementarnych pól przez iloczyn współrzędnych prostokątnych tychże pól (moment ten jest liczony względem dwóch wzajemnie prostopadłych osi.)

Moment ten, zwany też dewiacyjnym, w zależności od obioru układu osi może być dodatni, ujemny lub zerowy. Ostatni przypadek ma miejsce gdy jedna z obranych osi jest osią symetrii przekroju.

Biegunowy moment bezwładności (względem punktu) jest całką po całkowitym polu powierzchni iloczynu elementarnych pól przez odległości tych pól od obranego punktu.

Wyznaczanie momentów bezwładności. Metoda I.

W ruchu obrotowym jednostajnym przyśpieszenie kątowe wynosi:

ε =
=
= ε₀ = const

po scałkowaniu tego równania względem czasu t znajdujemy prędkość kątową:

ω =
= ε₀t + ω₀

z tego wzoru wyznaczamy prędkość początkową ω₀ i przyśpieszenie ε₀ ponieważ znamy prędkości kątowe ω₁, ω₂ odpowiadające znanym chwilom czasowym t₁ i t₂

ω₀ =
ε₀ =

ponieważ ω₀ = ω₁ , ω₂ = 0 i t₂ = t_p (czas pomierzony) to przyśpieszenie kątowe wynosi:

ε₀ = -

Moment hamujący obliczamy ze wzoru:

M = Iε₀ = -I

Wyznaczanie momentów bezwładności. Metoda II.

Jeśli tarczę wychylimy z położenia równowagi przez obrót wokół jej osi pionowej przechodzącej przez środek tarczy, to będzie ona wykonywać drgania obrotowe.

Ruch obrotowy ciała sztywnego wokół stałej osi opisujemy równaniem:

K₀ = M₀

gdzie K₀ - oznacza pochodną po czasie wektora krętu.

Rzut wektora krętu na oś Ox określamy K_ox = I_xω_x = I₀ω gdzie I₀ - oznacza moment bezwładności układu względem osi obrotu.

Częstotliwość kątową oraz okres małych drgań tarczy wyliczamy ze wzorów:

ω₀ =
T₀ = 2Π

Przekształcają wzór na okres małych drgań wyliczamy moment bezwładności tarczy

I₀ =

Jeśli na tą tarczę położymy bryłę o nieznanym momencie bezwładności I to okres drgań będzie miał postać:

T = 2Π

Wyznaczając doświadczalnie okres drgań tarczy T z bryłą wyliczamy nieznany moment bezwładności bryły ze wzoru:

I =
[T²(Q₀+Q)-T
Q₀]

---