Numer ćwiczenia: 26	TEMAT: PIERŚCIENIE NEWTONA.	Ocena z teorii:
Numer zespołu: 8	Nazwisko i imię: Gajzler Marcin	Ocena końcowa:
Data: 21.02.2000	Wydział, rok, grupa: EAIiE, rok I, grupa 2	Uwagi:

1. Cel ćwiczenia.

Celem ćwiczenia jest poznanie zjawiska interferencji światła oraz mechanizmu powstawania pierścieni Newtona.

2. Wstęp teoretyczny.

Patrząc na odbicie światła w cienkiej warstwie np. oleju, benzyny czy na bańce mydlanej można zaobserwować barwy zmieniające się w zależności od kąta obserwacji.

Zjawisko takie jest wynikiem interferencji światła odbitego od górnej i dolnej powierzchni warstwy, a wynik interferencji takich fal będzie obserwowany, jeżeli nakładające się fale odbite od dolnej i górnej powierzchni warstwy będą falami spójnymi - warunek ten jest spełniony tylko dla dostatecznie małej grubości warstwy.

Zjawisko interferencji światła na cienkich warstwach wykorzystywane jest w ćwiczeniu do obserwacji pierścieni Newtona oraz do obliczania promienia krzywizny soczewki płasko-wypukłej użytej do przeprowadzenia doświadczenia.

Światło padające na płasko-wypukłą soczewkę o dużym promieniu krzywizny r, umieszczoną na płaskiej płytce szklanej, tak jak na poniższym rysunku, na każdej powierzchni granicznej ulega częściowemu odbiciu. Ze względu na małą grubość h szczeliny powietrznej między soczewką a płytką światło odbite od tych powierzchni jest spójne, a wynik interferencji stały w czasie. Ponieważ jednak grubość warstwy powietrznej h, dla danej odległości ρ od osi soczewki OE, jest zmienna, więc obraz interferencyjny zmienia się wraz ze wzrostem ρ. Ponadto symetria układu sprawia, że obraz interferencyjny oglądany przez mikroskop ma kształt koncentrycznych pierścieni - pierścieni Newtona.

Różnica dróg optycznych dwóch promieni światła - odbitego w punkcie A od soczewki i odbitego w punkcie B od płytki wynosi:

gdzie:

h - grubość szczeliny powietrznej,

 - długość padającego światła.

(Czynnik
wynika z odwrócenia fazy fali przy odbiciu od ośrodka optycznie gęstszego, czyli o większym bezwzględnym współczynniku załamania - taka zmiana fazy odpowiada właśnie różnicy dróg optycznych


Z warunku interferencyjnego wzmocnienia wiadomo, że maksima interferencyjne wystąpią wtedy, gdy:

czyli

i ostatecznie:

a z warunku interferencyjnego osłabienia (wygaszenia), że minima interferencyjne wystąpią wtedy, gdy:

czyli

a więc ostatecznie:

(*)

Z powyższych warunków wynika natychmiast wniosek, że ponieważ w punkcie O, czyli w miejscu zetknięcia się soczewki z płytką, grubość warstwy powietrznej h=0 oraz k=0, to centrum obrazu interferencyjnego powinno być ciemne.

Jak widać na powyższym rysunku, trójkąt AOE jest prostokątny, a trójkąty AED i AOD są podobne, a więc:

czyli

ED⋅h = (AD)²

(2r-h)⋅h = ρ²

Wykorzystując fakt, że r>>h, a więc 2rh>>h² można zaniedbać h², otrzymując:

co daje, w powiązaniu ze wzorem (*), wyrażenie na promienie okręgów odpowiadających minimom interferencyjnym, czyli ciemnym pierścieniom Newtona:

Wynika stąd, że wykres ρ² w funkcji iloczynu numeru prążka k, powinien być linią prostą, z której, znajdując jej nachylenie, można policzyć iloczyn r - pozwala to na wyznaczenie jednej z dwóch wielkości r lub  przy znajomości drugiej.

3. Użyta aparatura.

Podstawą zestawu użytego w ćwiczeniu jest soczewka płasko-wypukła umieszczona na płytce płasko-równoległej, zamocowanej w oprawce na stoliku mikroskopu, przez który są obserwowane pierścienie Newtona. Stolik mikroskopu jest ruchomy, a długość drogi przesuwu można odczytać z jednego z dwóch wskaźników mikrometrycznych. Światło z lampy rtęciowej pada na filtr zielony lub na filtr pomarańczowy, a następnie na, przymocowane do mikroskopu pod kątem 45^o w stosunku do jego stolika, lusterko półprzeźroczyste oraz na soczewkę.

4. Część praktyczna. Pomiary.

a) zmierzone wartości,

Po zestawieniu układu do wykonania ćwiczenia oraz takim ustawieniu okularu mikroskopu, aby nić w nim widoczna była prostopadła do kierunku przesuwu stolika mikroskopu i wykalibrowaniu wskaźników mikrometrycznych, tak aby przy położeniu obrazu interferencyjnego w pozycji centralnej wskazywały jednakowe przesunięcie stolika, wykonano pomiary odległości ρ od osi soczewki kolejnych pierścieni odpowiadających kolejnym minimom interferencyjnym. Pomiary zostały przeprowadzone dla pierwszych 25 rzędów w dwóch seriach pomiarów, przy przesuwaniu stolika mikroskopu na lewo i na prawo od osi soczewki - w celu stwierdzenia symetryczności obrazu interferencyjnego.

rząd k	odległości ρ [mm] od osi soczewki dla filtra zielonego				odległości ρ [mm] od osi soczewki dla filtra pomarańczowego
		na lewo		na prawo		na lewo		na prawo
		seria nr 1	seria nr 2	seria nr 1	seria nr 2	seria nr 1	seria nr 2	seria nr 1	seria nr 2
1	-1,28	-1,18	1,17	1,12	-1,56	-1,53	2,33	1,43
2	-1,96	-1,88	1,81	1,79	-2,18	-2,13	2,13	2,07
3	-2,42	-2,4	2,33	2,34	-2,69	-2,64	2,6	2,62
4	-2,86	-2,81	2,8	2,78	-3,07	-3,01	3,05	3,05
5	-3,25	-3,17	3,18	3,19	-3,46	-3,35	3,33	3,4
6	-3,56	-3,56	3,5	3,5	-3,77	-3,7	3,66	3,74
7	-3,85	-3,8	3,81	3,84	-4,06	-4,03	3,96	4,02
8	-4,14	-4,1	4,09	4,1	-4,33	-4,3	4,24	4,33
9	-4,41	-4,35	4,33	4,36	-4,57	-4,56	4,5	4,53
10	-4,66	-4,6	4,58	4,62	-4,84	-4,8	4,74	4,8
11	-4,89	-4,83	4,83	4,82	-5,07	-5,04	5,1	5,07
12	-5,1	-5,03	5,06	5,04	-5,26	-5,28	5,23	5,29
13	-5,29	-5,26	5,3	5,29	-5,53	-5,48	5,46	5,51
14	-5,5	-5,43	5,51	5,46	-5,65	-5,67	5,64	5,74
15	-5,68	-5,67	5,74	5,67	-5,89	-5,89	5,85	5,94
16	-5,88	-5,85	5,91	5,87	-6,06	-6,09	6,02	6,13
17	-6,06	-6,03	6,06	6,04	-6,27	-6,26	6,22	6,32
18	-6,22	-6,21	6,21	6,2	-6,46	-6,42	6,43	6,5
19	-6,42	-6,36	6,39	6,38	-6,62	-6,64	6,59	6,69
20	-6,6	-6,55	6,56	6,57	-6,79	-6,77	6,78	6,87
21	-6,77	-6,71	6,72	6,74	-6,96	-6,94	6,99	7
22	-6,91	-6,89	6,94	6,9	-7,14	-7,16	7,12	7,22
23	-7,06	-7,03	7,08	7,08	-7,32	-7,31	7,27	7,34
24	-7,23	-7,19	7,23	7,22	-7,4	-7,43	7,41	7,49
25	-7,41	-7,33	7,34	7,34	-7,5	-7,6	7,56	7,63

b) wyznaczanie promienia krzywizny r soczewki przy znanej długości fali świetlnej λ_ziel dla filtra zielonego,

W doświadczeniu została użyta soczewka płasko-wypukła o nieznanym promieniu krzywizny r.

Można go wyliczyć, znając długość wzorcową fali świetlnej λ_ziel dla filtra zielonego oraz wykorzystując wykonane pomiary odległości ρ_ziel dla pierścienia odpowiadającego minimum interferencyjnemu k-tego rzędu.

Ponieważ dla minimów słuszna jest zależność

to promień krzywizny będzie wynosił:

Ponieważ λ_ziel = 546,1nm = 0,0005461mm, więc dla poszczególnych rzędów:

rząd k		dla filtra zielonego
				na lewo								na prawo
				seria nr 1				seria nr 2				seria nr 1				seria nr 2
				ρziel^2[mm^2]		r [m]		ρ ziel^2[mm^2]		r [m]		ρ ziel^2[mm^2]		r [m]		ρ ziel^2[mm^2]		r [m]
1		1,64		3,0002		1,39		2,5497		1,37		2,5067		1,25		2,2970
2		3,84		3,5173		3,53		3,2360		3,28		2,9995		3,20		2,9336
3		5,86		3,5747		5,76		3,5158		5,43		3,3137		5,48		3,3422
4		8,18		3,7446		7,90		3,6148		7,84		3,5891		7,73		3,5380
5		10,56		3,8683		10,05		3,6802		10,11		3,7035		10,18		3,7268
6		12,67		3,8679		12,67		3,8679		12,25		3,7386		12,25		3,7386
7		14,82		3,8775		14,44		3,7774		14,52		3,7973		14,75		3,8574
8		17,14		3,9232		16,81		3,8477		16,73		3,8290		16,81		3,8477
9		19,45		3,9570		18,92		3,8500		18,75		3,8147		19,01		3,8677
10		21,72		3,9765		21,16		3,8747		20,98		3,8411		21,34		3,9085
11		23,91		3,9806		23,33		3,8836		23,33		3,8836		23,23		3,8675
12		26,01		3,9691		25,30		3,8608		25,60		3,9070		25,40		3,8762
13		27,98		3,9418		27,67		3,8972		28,09		3,9567		27,98		3,9418
14		30,25		3,9566		29,48		3,8566		30,36		3,9710		29,81		3,8993
15		32,26		3,9385		32,15		3,9247		32,95		4,0222		32,15		3,9247
16		34,57		3,9570		34,22		3,9167		34,93		3,9974		34,46		3,9435
17		36,72		3,9557		36,36		3,9166		36,72		3,9557		36,48		3,9296
18		38,69		3,9358		38,56		3,9232		38,56		3,9232		38,44		3,9106
19		41,22		3,9723		40,45		3,8984		40,83		3,9353		40,70		3,9230
20		43,56		3,9883		42,90		3,9281		43,03		3,9401		43,16		3,9521
21		45,83		3,9966		45,02		3,9260		45,16		3,9377		45,43		3,9612
22		47,75		3,9743		47,47		3,9513		48,16		4,0089		47,61		3,9628
23		49,84		3,9683		49,42		3,9347		50,13		3,9909		50,13		3,9909
24		52,27		3,9883		51,70		3,9443		52,27		3,9883		52,13		3,9773
25		54,91		4,0218		53,73		3,9355		53,88		3,9462		53,88		3,9462

Wyliczony z powyższych pomiarów jako średnia algebraiczna wszystkich uzyskanych wyników, średni promień krzywizny r_śr wynosi:

gdzie:

n - ilość wszystkich pomiarów w obydwóch seriach dla obydwu kierunków przesuwu stolika mikroskopu (na lewo i na prawo), n=25⋅4=100,

a więc

r_śr = 3,7993 m

c) wyznaczanie nieznanej długości fali świetlnej λ_pom dla filtra pomarańczowego przy znanej długości fali świetlnej λ_ziel dla filtra zielonego,

Dla obydwóch długości używanych w ćwiczeniu fal świetlnych λ_pom i λ_ziel, dla danego rzędu k istnieją odpowiednie wartości odległości ρ_pom i ρ_ziel dla odpowiednich pierścieni Newtona, a więc dla odpowiednich minimów interferencyjnych.

Czyli:

i

a z tego:

gdzie: λ_ziel = 546,1nm.

Rysując więc wykres funkcji:

(Wykres nr 1.)

i odczytując kąt nachylenia α prostej uzyskanej po aproksymacji do osi OX, można obliczyć szukane λ_pom:

rząd k	dla filtrów pomarańczowego i zielonego
		na lewo				na prawo
		seria nr 1		seria nr 2		seria nr 1		seria nr 2
		ρpom^2 [mm^2]	ρziel^2 [mm^2]	ρpom^2 [mm^2]	ρziel^2 [mm^2]	ρpom^2 [mm^2]	ρziel^2 [mm^2]	ρpom^2 [mm^2]	ρziel^2 [mm^2]
1	2,43	1,64	2,34	1,39	5,43	1,37	2,04	1,25
2	4,75	3,84	4,54	3,53	4,54	3,28	4,28	3,20
3	7,24	5,86	6,97	5,76	6,76	5,43	6,86	5,48
4	9,42	8,18	9,06	7,90	9,30	7,84	9,30	7,73
5	11,97	10,56	11,22	10,05	11,09	10,11	11,56	10,18
6	14,21	12,67	13,69	12,67	13,40	12,25	13,99	12,25
7	16,48	14,82	16,24	14,44	15,68	14,52	16,16	14,75
8	18,75	17,14	18,49	16,81	17,98	16,73	18,75	16,81
9	20,88	19,45	20,79	18,92	20,25	18,75	20,52	19,01
10	23,43	21,72	23,04	21,16	22,47	20,98	23,04	21,34
11	25,70	23,91	25,40	23,33	26,01	23,33	25,70	23,23
12	27,67	26,01	27,88	25,30	27,35	25,60	27,98	25,40
13	30,58	27,98	30,03	27,67	29,81	28,09	30,36	27,98
14	31,92	30,25	32,15	29,48	31,81	30,36	32,95	29,81
15	34,69	32,26	34,69	32,15	34,22	32,95	35,28	32,15
16	36,72	34,57	37,09	34,22	36,24	34,93	37,58	34,46
17	39,31	36,72	39,19	36,36	38,69	36,72	39,94	36,48
18	41,73	38,69	41,22	38,56	41,34	38,56	42,25	38,44
19	43,82	41,22	44,09	40,45	43,43	40,83	44,76	40,70
20	46,10	43,56	45,83	42,90	45,97	43,03	47,20	43,16
21	48,44	45,83	48,16	45,02	48,86	45,16	49,00	45,43
22	50,98	47,75	51,27	47,47	50,69	48,16	52,13	47,61
23	53,58	49,84	53,44	49,42	52,85	50,13	53,88	50,13
24	54,76	52,27	55,20	51,70	54,91	52,27	56,10	52,13
25	56,25	54,91	57,76	53,73	57,15	53,88	58,22	53,88

Odczytany z wykresu nr 1 kąt nachylenia α = 47,3^o,

czyli:

λ_pom = tg(47,3^o) ⋅ 546,1nm ≈ 591,8nm

5. Błędy.

Przy pomiarach odległości ρ od osi soczewki zarówno dla filtra zielonego, jak i pomarańczowego, posługiwano się mikroskopem w celu ustalenia położenia środka kolejnych ciemnych pierścieni odpowiadających kolejnym minimom interferencyjnym, by potem z wskaźnika mikrometrycznego odczytać wartość przesunięcia stolika mikroskopu dla tego pierścienia.

Odczyt ten, a więc i wartości wyliczone na podstawie otrzymanych wyników, był obarczony szeregiem błędów.

Źródłem największych błędów było niedokładne ustalanie położenia kolejnych ciemnych pierścieni za pomocą mikroskopu - wynikało ono z subiektywnego przeświadczenia obserwatora, iż nić w okularze mikroskopu jest styczna do danego pierścienia, co było dyskusyjne zwłaszcza dla minimów dalszych rzędów, ponieważ wraz ze wzrostem rzędu następowało zagęszczenie pierścieni. Dla dalszych rzędów istotny również stawał się błąd paralaksy, czyli ogólnie błąd spowodowany zmianą odczytanego wskazania (w przypadku tego ćwiczenia zmianą numeru pierścienia, którego położenia jest ustalane, a więc zmianą rzędu) przy zmianie konta obserwacji przez obserwatora. Chociaż przy obserwacji przez mikroskop zmiana konta obserwacji mogła odbywać się jedynie w bardzo ograniczonym stopniu, to jednak dla dalszych rzędów (powyżej 18-20) nabierała ona dużego znaczenia - niewielka zmiana konta obserwacji przy ustalaniu położenia danego pierścienia powodowała pokrycie się nitki w okularze mikroskopu z sąsiednim. Obydwa omówione błędy wynikały z niedoskonałości ludzkiego oka i były błędami niesystematycznymi.

Dla wyliczonego w punkcie 4.b) promienia krzywizny r soczewki, jak i dla wyznaczonej w punkcie 4.c) długości fali świetlnej λ_pom dla filtra pomarańczowego, błąd wyliczenia tych wartości można wyznaczyć korzystając ze wzorów na błąd średni kwadratowy, których używa się często przy seriach pomiarów robionych na celu wyliczenia z jak największą dokładnością jednej wielkości.

Błąd średni kwadratowy wyraża się wzorem:

i

czyli:

gdzie:

a_wyl - średnia wartość wyliczona ze wszystkich serii uzyskanych pomiarów,

m - numer pomiaru w serii,

n - ilość pomiarów, n=100

Dla punktu 4.b), w którym wyliczono promień krzywizny soczewki (r_śr = 3,7993 m):

ε_r = ±0,3198 m

Dla punktu 4.c), w którym wyznaczono długość fali świetlnej dla filtra pomarańczowego (λ_pom ≈ 591,8nm):

ε_λ = ± 53,5 nm

Jak widać, wyliczone błędy były dosyć znaczne, na co w głównej mierze wpłynęły pomiary ρ_pom i ρ_ziel dla najniższych rzędów, a zwłaszcza dla pierwszego, kiedy to otrzymane na obrazie interferencyjnym pierścienie miały znaczną grubość w porównaniu z grubością nici w okularze mikroskopu, przez co ustalenie ich położenia względem centrum obrazu interferencyjnego było subiektywne i trudne do powtórzenia w kolejnych seriach pomiarów.

6. Wnioski z ćwiczenia.

Uzyskany w ćwiczeniu kształt obrazu interferencyjnego potwierdził się z kształtem oczekiwanym, wywnioskowanym na podstawie faktu, iż układ soczewka-płytka był układem symetrycznym - obraz interferencyjny miał postać koncentrycznie ułożonych pierścieni (tzw. pierścieni Newtona) o wspólnym środku, na przemian ciemnych i jasnych, co odpowiadało kolejnym minimom i maksimom interferencyjnym.

Potwierdził się również fakt, że im wyższy rząd, tym kolejne minima/maksima są bardziej zagęszczone - na uzyskanym obrazie interferencyjnym odpowiadało to zwężaniu i zagęszczaniu się pierścieni w miarę oddalania się od centrum obrazu.

Z przedstawionych we wstępie teoretycznym warunków na interferencyjne wzmocnienie i wygaszenie (osłabienie) wynikało, że w punkcie O układu użytego do uzyskania pierścieni Newtona, czyli w miejscu zetknięcia się soczewki z płytką, gdzie grubość warstwy powietrznej jest równa 0 oraz k=0, spełniony jest warunek na wygaszenie. Na uzyskanym w ćwiczeniu obrazie interferencyjnym jego centrum było ciemne zarówno dla filtra zielonego, jak i pomarańczowego, a więc występowało tam minimum interferencyjne - czyli fakt stwierdzony doświadczalnie potwierdził teorię.

Wyliczony na podstawie otrzymanych pomiarów promień krzywizny r soczewki płasko-wypukłej użytej w doświadczeniu nie mógł być zweryfikowany, ponieważ nie była znana jego rzeczywista wartość. Jednak fakt, iż grubość h szczeliny powietrznej między soczewką a płytką jest mała (po to, żeby światło odbite od tych powierzchni było spójne, co jest warunkiem uzyskania obrazu interferencyjnego w postaci pierścieni), a grubość tej szczeliny jest tym mniejsza, im większy jest promień krzywizny soczewki, pozwala przypuszczać, iż otrzymana wartość tego promienia jest prawdziwa.

Wyznaczona długości fali świetlnej λ_pom ≈ 591,8nm dla filtra pomarańczowego zgadza się z wartością oczekiwaną - np. na podstawie: Halliday-Resnick - „Fizyka, Tom 2”, str. 413, rys. 40-2 (Długości fal świetlnych dla poszczególnych kolorów).

---