Całka potrójna w prostopadłościanie

Rozważmy prostopadłościan P

oraz funkcję trzech zmiennych f określoną i ograniczoną w tym prostopadłościanie.

Oznaczmy przez V objętość prostopadłościanu P.

Prostopadłościan P dzielimy na n prostopadłościanów
o objętościach

. Prostopadłościany

mają rozłączne wnętrza i całkowicie wypełniają prostopadłościan P. Podział ten oznaczmy
.

Niech
oznacza długość przekątnej prostopadłościanu
o wymiarach

.

Liczbę
(długość najdłuższej z przekątnych) nazywamy średnicą podziału
.

Rozważmy ciąg podziałów
prostopadłościanu P.

Ciąg podziałów
nazywamy ciągiem normalnym podziałów jeżeli odpowiadający mu ciąg średnic dąży do zera tzn.
.

W każdym prostopadłościanie wybieramy dowolnie punkt
, obliczamy wartość funkcji f w tym punkcie
i tworzymy sumę
.

Sumę tę nazywamy sumą całkową funkcji f w prostopadłościanie P.

Def.

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów prostopadłościanu P ciąg sum całkowych
jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów, to tę granicę nazywamy całką potrójną funkcji f w prostopadłościanie P i oznaczamy symbolem

.

Definicję tę można zapisać krótko

.

przypadek szczególny

Jeżeli
, to

,

Ciąg sum całkowych jest w tym przypadku ciągiem stałym o wyrazach
.

.

- objętość prostopadłościanu P.

TW: Warunek wystarczający istnienia całki potrójnej w prostopadłościanie

Jeżeli funkcja f jest ciągła w prostopadłościanie P, to jest w nim całkowalna.

Interpretacja Fizyczna

Jeżeli funkcja
jest gęstością objętościową masy prostopadłościanu P, to całka potrójna

jest równa masie prostopadłościanu.

TW: liniowość całki

Jeżeli funkcje f i g są całkowalne w prostopadłościanie P, to

1. funkcja
jest całkowalna w prostopadłościanie P oraz

2. funkcja
dla
jest całkowalna na P oraz

Tw: Obliczanie całki potrójnej w prostopadłościanie P za pomocą całki iterowanej

Jeżeli funkcja f jest ciągła w prostopadłościanie P,

,

to

Uwaga

Kolejność iteracji po prawej stronie wzoru może być dowolna. Istnieje sześć możliwych ustaleń kolejności całkowania.

Przykład

Obliczyć całkę potrójną w podanym prostopadłościanie

a)
gdzie

b)
gdzie

Uwaga

Jeżeli funkcja f ma postać
gdzie g, h, k są ciągłe na przedziałach odpowiednio
,
,
, to

.

Całka potrójna w obszarze normalnym

Niech f będzie funkcją określoną i ograniczoną na zbiorze ograniczonym D,
.

Całkę podwójną funkcji f na zbiorze D definiujemy wzorem

gdzie P jest dowolnym prostopadłościanem zawierającym zbiór D, zaś funkcja
jest określona wzorem

.

przypadek szczególny

Jeżeli
, to
gdzie jest objętością zbioru D.

Def.

Obszarem normalnym względem płaszczyzny 0xy nazywamy obszar

gdzie
jest obszarem regularnym na płaszczyźnie 0xy zaś funkcje g, h są w nim ciągłe.

Analogicznie definujemy obszary normalne względem płaszczyzn 0yz, 0xz.

Obszarem normalnym względem płaszczyzny 0yz nazywamy obszar

gdzie
p, są funkcjami ciągłymi w zbiorze

Przykład

Naszkicować i opisać obszary ograniczone podanymi powierzchniami.

a)

b)

TW: zamiana całki potrójnej po obszarze normalnym na całki iterowane

Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze

normalnym względem płaszczyzny 0xy , to

.

Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze

normalnym względem płaszczyzny 0yz , to

Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze

normalnym względem płaszczyzny 0xz , to

Przykład

a) Obliczyć objętość obszaru ograniczonego powierzchniami
.

b) Obliczyć całkę potrójną
po obszarze V, naszkicować ten obszar.

28

---