Drgania harmoniczne tłumione

Równanie ruchu

Dotychczas rozważaliśmy ruch harmoniczny swobodny, w którym nie występowały żadne siły tłumiące. Na ogól jednak ruch jest tłumiony wskutek oporu powietrza lub innych oporów występujących w układzie drgającym. 

Opory ruchu zwykle są proporcjonalne do prędkości ciała. Siła działająca na ciało zawiera więc dodatkowy człon proporcjonalny do prędkości. Parametr b, jest współczynnikiem proporcjonalności. (6.24) Równanie ruchu ma teraz postać: (6.25) Rozwiązaniem tego równania jest wyrażenie:  (6.26) gdzie  bm zwane jest współczynnikiem tłumienia. Szczegóły rozwiązania równania ruchu oscylatora harmonicznego tłumionego można znaleźć w referencji 3 bibliografii.

Wpółczynnik tłumienia

Zwróćmy uwagę, że współczynnik tłumienia  bm rośnie proporcjonalnie do wzrostu oporów ruchu ale jest też odwrotnie proporcjonalny do masy drgającego ciała. 

Im większa jest masa ciała tym mniejszy wpływ na ruch drgający mają opory ruchu. Współczynnik tłumienia modyfikuje zarówno częstość jak i amplitudę drgań zgodnie z wzorami podanymi poniżej.

Częstość drgań tłumionych _ wynosi: 

(6.27)

Częstość ta jest mniejsza niż częstości drgań własnych układu swobodnego. W konsekwencji zwiększa się okres drgań, T₁.

(6.28)

  Amplituda drgań, A₁ zmniejsza się z czasem w sposób wykładniczy: 

(6.29)

Amplitudy dla kolejnych okresów drgań będą:

,   ,   , ,

(6.30)

Logarytmiczny dekrement tłumienia

Biorąc stosunek dwóch kolejnych amplitud otrzymujemy:

(6.31)

Logarytm tego stosunku nazywamy logarytmicznym dekrementem tłumienia, δ.

(6.32)

Zależność amplitudy od czasu w kolejnych okresach drgań możemy więc zapisać jako:

(6.33)

Warto zwrócić uwagę, że kiedy tłumienie będzie rosło, w konsekwencji czego wyrażenie (6.33) osiągnie wartość zero, a okres drgań będzie nieskończony - ruch nasz przestanie być ruchem okresowym. Takie tłumienie nazywamy krytycznym. Ten przypadek graniczny odpowiada sytuacji, w której układ nasz najszybciej osiąga położenie równowagi. Przy dalszym wzroście współczynnika tłumienia ruch będzie miał charakter aperiodyczny (pełzający). Układ będzie zdążał do położenia równowagi, ale wolniej niż w przypadku granicznym. Określenie warunków, w których ruch drgający zmienia się w ruch aperiodyczny odgrywa istotną rolę w konstrukcji układów, gdzie ważne jest tłumienie niepożądanych drgań: przyrządy pomiarowe, amortyzatory itp.

Interaktywna ilustracja graficzna

Zależność wychylenia od czasu dla wybranych przez Ciebie wartości współczynników tłumienia możesz teraz zobaczyć korzystając z załączonej aplikacji . Rysunek przedstawiony poniżej pokazuje przykładowe zależności odchylenia od czasu dla drgań swobodnych i tłumionych

 

MS-Excel	Interaktywna ilustracja graficzna	Kliknij w polu rysunku.
Rys.6.4.Drgania harmoniczne proste i tłumione.