Równania różniczkowe rzędu pierwszego sprowadzone do równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych

I Równanie jednorodne

Niech
oraz
.

Równanie różniczkowe

o funkcji niewiadomej
nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym.

Aby rozwiązać równanie jednorodne stosujemy podstawienie

.

Wtedy
,

czyli

i otrzymujemy następujące równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

.

Przykład

Rozwiązać równanie
.

Zapisując równanie w postaci równoważnej
otrzymujemy równanie jednorodne, gdzie
. Zatem jeśli
, czyli
, co zachodzi gdy
stosujemy podstawienie

.

Wtedy
i równanie przyjmuje postać

.

Stąd

,

, gdzie

lub równoważnie

, gdzie

.

Stąd
jest rozwiązaniem dla każdego
.

Jednak przyjmując
w powyższym wzorze otrzymujemy krzywą
(tzn.
), dla której
i krzywa ta spełnia równanie różniczkowe bo
.

Zatem rozwiązaniem ogólnym jest rodzina krzywych

II Równanie
, gdzie
,
oraz f jest ciągła.

Stosujemy podstawienie
.

Wtedy

i korzystając z równania otrzymujemy

czyli

zatem otrzymaliśmy równanie o zmiennych rozdzielonych.

Przykład

Rozwiązać równanie
.

Stosujemy podstawienie

Wtedy
i równanie przyjmuje postać

Stąd

.

Ponieważ

zatem

jest rozwiązaniem równania.

Ponadto, jeśli
.

Zatem

jest też rozwiązaniem równania.

III Równanie

, gdzie
R oraz f - ciągła.

1
Jeśli
, to podstawiamy

, gdzie h, k - pewne stałe.

Stałe h, k dobieramy tak, aby po podstawieniu za x, y nowych zmiennych
znikały wyrazy wolne w liczniku i mianowniku ułamka będącego argumentem funkcji f.

Ponieważ

zatem h, k muszą spełniać układ równań

Oczywiście dzięki założeniu 1
istnieją takie stałe h, k.

Ponieważ

więc

Stąd równanie przyjmuje postać

i dzieląc licznik i mianownik ułamka przez
otrzymujemy

- RJ (typu I).

2
Jeśli
, to

i równanie przyjmuje postać

Wtedy podstawiamy
.

Różniczkując powyższą równość otrzymujemy

i ostatecznie

- równanie o zmiennych rozdzielonych.

Przykład

Znaleźć całkę ogólną równania
.

Ponieważ wyznacznik

Zatem podstawiając

otrzymujemy równanie

,

które przekształcone przyjmuje postać

.

Teraz stosując kolejne podstawienie

mamy

,

skąd

i równanie przyjmuje postać

.

Przekształcając otrzymujemy

i po całkowaniu

dla

czyli

dla
.

Zatem

dla

jest rozwiązaniem równania. Ponadto, jeśli
, to
lub
. W przypadku gdy
mamy
i równanie
nie jest spełnione (bo
). Natomiast w przypadku, gdy
mamy
, stąd
i wstawiając te wartości do równania otrzymujemy

czyli
jest całką równania.

Stąd

dla
R

czyli

dla
R

jest całką ogólną równania.

Wracając do starych zmiennych otrzymujemy

i ostatecznie

, gdzie
R.

6