1.1
1. Związek między stopami procentowymi dla różnych okresów.
Oznaczenia:
rN - nominalna stopa procentowa [określana zazwyczaj w skali 1 roku (per annum tj. gdy jako n oznaczymy ilość lat to n=1), przy założeniu braku kapitalizacji odsetek w czasie tego okresu]; - określana często jako flat rate
rE - efektywna stopa procentowa [rzeczywista stopa procentowa uzyskiwana z danej inwestycji w danym okresie] - określana często jako APR - annual percentage rate
m - częstotliwość kapitalizacji w okresie 1 roku
1.1
równanie to określa wartość efektywnej stopy procentowej w danym okresie, przy założeniu braku kapitalizacji odsetek w czasie tego okresu
np. dla rN rocznej (n=1), w przypadku kapitalizacji półrocznej (m = 2):
2. Wpływ częstotliwości kapitalizacji na wartość rocznej efektywnej stopy procentowej.
Zakładając, że rN odnosząca się do 1 roku (n=1) posiada stałą wartość, można prześledzić zmiany rocznej rE przy zmieniającej się częstotliwości kapitalizacji (m).
Wyznaczając przyszłą wartość rN i podstawiając wzór 1.1 otrzymujemy:
gdzie: FV - wartość przyszła
PV - wartość bieżąca
Natomiast przyszła wartość rE dla n=1 jest równa:
Wartość efektywnej rocznej stopy procentowej jako funkcji nominalnej stopy procentowej i częstotliwości kapitalizacji m jest równa:
1.2
Poniższe zestawienie ukazuje zmiany wartości efektywnej stopy procentowej dla rN = 10% p.a. oraz 30% p.a. zachodzące w wyniku zmian częstotliwości kapitalizacji.
Częstotliwość kapitalizacji (m) |
rE roczna (n=1) |
|
|
dla rN = 10% |
dla rN = 30% |
Roczna m=1 |
10,00% |
30,00% |
Półroczna m=2 |
10,25% |
32,25% |
Kwartalna m=4 |
10,38% |
33,55% |
Miesięczna m=12 |
10,47% |
34,45% |
Tygodniowa m=52 |
10,51% |
34,87% |
Dzienna m=365 |
10,52% |
34,97% |
Wraz ze wzrostem wartości nominalnej stopy procentowej wzrasta wpływ częstotliwości kapitalizacji na roczną efektywną stopę procentową.
Biorąc pod uwagę wartości z tabelki, dla rN = 10% przejście od kapitalizacji rocznej (m= 1) do dziennej (m= 365), powoduje wzrost efektywnej stopy procentowej o 5,2%:
natomiast dla rN = 30% wzrost ten jest wyższy i wynosi 16,57%:
Wartość rocznej rE nie rośnie nieograniczenie, lecz zdąża do swojej wielkości maksymalnej:
gdzie e jest podstawą logarytmu naturalnego (jest równe 2,71828)
Wzór ten ukazuje, że im większa jest wartość nominalnej stopy procentowej, tym większa jest wrażliwość rocznej efektywnej stopy procentowej na częstotliwość kapitalizacji.
3. Kapitalizacja ciągła
Wracając do poprzednich obliczeń, możemy stwierdzić, że w przypadku wartości X zainwestowanej na n lat według rocznej nominalnej stopy procentowej rN, w zależności od częstotliwości kapitalizacji wartość końcową tej inwestycji można określić następującymi wyrażeniami:
kapitalizacja roczna (m=n=1) 
kapitalizacja m-razy w ciągu roku (m>1) 
kapitalizacja ciągła (m→*) 
W przypadku gdy np. X=100, n=1, rN = 10%, to w przypadku kapitalizacji ciągłej wartość końcowa inwestycji wynosi:
Wartość ta jest równa wartości końcowej inwestycji dla m=365; oznacza to, że w praktyce kapitalizacja ciągła może być uważana za ekwiwalent kapitalizacji dziennej.
Czyli:
kapitalizacja ciągła pewnej wartości według rocznej nominalnej stopy procentowej równej rN przez n lat polega na pomnożeniu tej wartości przez 
dyskontowanie ciągłe - pomnożenie tej wartości przez 
4. Zamiana stopy procentowej kapitalizowanej w sposób ciągły na stopę kapitalizowana m - razy w roku i odwrotnie.
Gdy: r1- stopa procentowa przy kapitalizacji ciągłej
r2 - stopa procentowa przy kapitalizacji m-razy w roku
to: 
[gdy y=lnx to x=ey]
Gdy np. r2 = 10%, m=2 to r1= 9,76% p.a.
Gdy np. r1 = 8%, przy zmianie kapitalizacji na m=4 r2 wynosi 8,08% p.a.
1/3
S.M. Janik, Wyższa Szkoła Ubezpieczeń i Bankowości 1998/99