Charakterystyki liczbowe rozkładów empirycznych

Wśród charakterystyk liczbowych wyróżnić można cztery zasadnicze grupy miar:

• miary położenia (średnie, przeciętne),

• miary zmienności (rozproszenia, dyspersji, zróżnicowania),

• miary asymetrii (skośności),

• miary koncentracji (kurtozy).

Miary położenia:

średnia arytmetyczna

średnia arytmetyczna dla szeregu szczegółowego (uporządkowanego lub nieuporządkowanego)

(1)

gdzie:

- średnia arytmetyczna zmiennej X,

N - liczebność jednostek ststystycznych badanej zbiorowości
- i - ta realizacja badanej zmiennej, przy czym i = 1,2,3,...,N.

Przykład 1

Student X w ciągu semestru otrzymał ze studiowanych przedmiotów następujące oceny:

przedmiot i	ocena xi
1	2
2	2
3	3
4	3,5
5	3,5
6	3,5
7	4
8	4
9	4,5
10	5

1. Wyznaczyć średnią z ocen studenta X

1. z szeregu szczegółowego,

2. z szeregu rozdzielczego punktowego

2. Określić ocenę najczęstszą i wartość środkową szeregu

Rozwiązanie:

Średnia ocena studenta wynosi 3,5.

Średnia arytmetyczna z szeregu rozdzielczego punktowego:

(2)

gdzie f_j jest liczebością, z jaką występowała j - ta wartość zmiennej X. Średnią arytmetyczną można również obliczyć wykorzystując częstości względne (v_j).

Możemy tego dokonać transformując powyższy wzór do postaci:

(3)

gdzie

v_j jest częstością względną występowania j- tej wartości zmiennej X

ocena xi	liczebność fi	xifi	częstość względna vj	xjvj
2	2	4	0,2	0,4
3	1	3	0,1	0,3
3,5	3	10,5	0,3	1,05
4	2	8	0,2	0,8
4,5	1	4,5	0,1	0,45
5	1	5	0,1	0,5
suma	10	35	1,00	3,5

lub

Inne miary położenia

Mediana (miara środkowa)

Wyznaczanie mediany z szeregu szczegółowego:

Szereg musi być uporządkowany (szereg pozycyjny)!!!

przedmiot i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ocena xi	2	2	3	3,5	3,5	3,5	4	4	4,5	5

Ponieważ N = 10 jest liczbą parzystą, dlatego mediana jest średnią arytmetyczną z wartości x₅ i x₆ czyli:

.

Połowa z ocen jest mniejsza od 3,5, a druga połowa większa od 3,5.

Modalna (wartość najczęstsza)

Jest to wartość występująca w szeregu statystycznym najczęściej (wartość, dla której liczebność (f_j) jest największa).

x_mo = 3,5. (Najczęściej student otrzymywał ocenę 3,5.

Miary położenia wyznaczane z szeregów rozdzielczych przedziałowych.

Przykład 2

W celu zbadania jak kształtuje się średnie zużycie energii elektrycznej w 100 gospodarstwach domowych pewnego obszaru zebrano dane liczbowe, które zestawiono w poniższym szeregu.

dzienne zużycie energii w Kw. ( xd.i - xg.i ]	liczba gospodarstw fj
2-4	6
4-6	10
6-8	30
8-10	40
10-12	10
12-14	4
suma	100

Źródło: K.Zając; Wykłady ze statystyki, Kraków 1985, s. 84

Wyznaczyć i zinterpretować średnią arytmetyczną, medianę i modalną

Średnia arytmetyczna z szeregu rozdzielczego przedziałowego:

(4)

gdzie

jest środkiem j - tego przedziału klasowego obliczonego zgodnie z regułą

, (5)

Średnią arytmetyczną można również obliczyć, korzystając z częstości względnych (v_j):

(6)

Obliczenia:

dzienne zużycie energii w Kw. ( xd.i - xg.i ]	liczba gospodarstw fj	środek przedziału xo	xofi	vj	xovj
2-4	6	3	18	0,06	0,18
4-6	10	5	50	0,1	0,5
6-8	30	7	210	0,3	2,1
8-10	40	9	360	0,4	3,6
10-12	10	11	110	0,1	1,1
12-14	4	13	52	0,04	0,52
suma	100	xxx	800	1,00	8

lub

Średnie dzienne zużycie energii w badanej grupie 100 gospodarstw rodzinnych wynosi 8 Kwh.

Mediana:

W szeregu tym należy wskazać przedział w którym znajduje się mediana. Przedział ten, to pierwszy przedział klasowy dla którego suma liczebności skumulowanych jest większa od
.

W drugim kroku postępowania wartość mediany wyznacza się stosując wzór:

(7)

x_d,r - dolna granica przedziału, w którym znajduje się mediana,

f_r -liczebność przedziału, w którym znajduje się mediana,

­l - długość przedziału, w którym znajduje się mediana,

- suma liczebności przedziałów poprzedzających przedział, w którym znajduje się mediana,

Modalna:

W pierwszym kroku określamy przedział, w którym znajduje się modalna. Jest to przedział klasowy, do którego zaliczono najwięcej obserwacji empirycznych. Następnie wyznaczamy wartość x_mo :

(8)

gdzie:

x_d,r - dolna granica przedziału, w którym znajduje się modalna,

f_r -liczebność przedziału, w którym znajduje się modalna,

f_r-1 -liczebność przedziału poprzedzającego przedział, w którym znajduje się modalna,

f_r+1 -liczebność przedziału następującego po przedziale, w którym znajduje się modalna,

­l - długość przedziału, w którym znajduje się modalna.

Po podstawieniu wartości otrzymamy:

Obliczenia:

dzienne zużycie energii w Kw. ( xd.i - xg.i ]	liczba gospodarstw fj	fjskum
2-4	6	6
4-6	10	16
6-8	30	46
8-10	40	86
10-12	10	96
12-14	4	100
suma	100	XXX

N/2=50

Połowa spośród badanych rodzin zużywa mniej niż 8,2Kwh energii, a połowa więcej niż 8,2 Kwh.

Najwięcej obserwacji kumulowało się wokół zużycia 8,5 Kwh.

Graficzne wyznaczanie mediany

Graficzne wyznaczanie modalnej

Miary zmienności

Wariancja (
) i odchylenie standardowe (
).

Wariancja i odchylenie standardowe z szeregu szczegółowego:

, (9)

(10)

Przykład

Obliczyć i zinterpretować wariancję i odchylenie standardowe dla danych z przykładu 1

przedmiot i	ocena xi
1	2	-1,5	2,25
2	2	-1,5	2,25
3	3	-0,5	0,25
4	3,5	0	0
5	3,5	0	0
6	3,5	0	0
7	4	0,5	0,25
8	4	0,5	0,25
9	4,5	1	1
10	5	1,5	2,25
suma	100	0,0	8,5

oraz

Oceny otrzymane przez studenta w ciągu semestru odchylają się przeciętnie od oceny średniej o
.

Wariancja i odchylenie standardowe z szeregu rozdzielczego punktowego:

, (11)

lub

(12)

Obliczyć wariancję i odchylenie standardowe na podstawie szeregu rozdzielczego punktowego z przykładu 1.

ocena xi	liczebność fi				częstość względna vj
2	2	-1,5	2,25	4,5	0,2	0,45
3	1	-0,5	0,25	0,25	0,1	0,025
3,5	3	0	0	0	0,3	0
4	2	0,5	0,25	0,5	0,2	0,05
4,5	1	1	1	1	0,1	0,1
5	1	1,5	2,25	2,25	0,1	0,225
suma	10	XXX	XXX	8,5	1,00	0,85

=>

lub

.

Wariancja i odchylenie standardowe z szeregu rozdzielczego przedziałowego:

(13)

lub

(14)

Wyznaczyć wariancję i odchylenie standardowe z danych z przykładu 2.

Obliczenia:

dzienne zużycie energii w Kw. ( xd.i - xg.i ]	liczba gospodarstw fj	środek przedziału xo				vj	j
2-4	6	3	-5	25	150	0,06	1,5
4-6	10	5	-3	9	90	0,1	0,9
6-8	30	7	-1	1	30	0,3	0,3
8-10	40	9	1	1	40	0,4	0,4
10-12	10	11	3	9	90	0,1	0,9
12-14	4	13	5	25	100	0,04	1
suma	100	XXX	XXX	XXX	500	1,00	5

lub
=>

Zużycie energii elektrycznej w badanych 100 gospodarstwach domowych odchylało się przeciętnie od zużycia średniego o
2,236 Kwh.

Miary asymetrii

Współczynnika asymetrii

(15).

Jeżeli
, to rozkład jest symetryczny.

Gdy
, to rozkład jest asymetryczny prawostronnie.

Gdy
, to rozkład jest asymetryczny lewostronnie.

Zbadać asymetrię rozkładu zużycia energii.

Rozkład charakteryzuje się umiarkowaną asymetrią lewostronną.

Miary koncentracji (kurtoza)

Do badania natężenia koncentracji (skupienia) poszczególnych obserwacji wokół średniej wykorzystuje się moment centralny rzędu czwartego (
) lub współczynnik koncentacji będący stosunkiem tegoż momentu do odchylenia standardowego podniesionego do potęgi czwartej. Wspólczynnik koncentracji (K_x) można zapisać:

. (16)

gdzie

, dla szeregu szczegółowego,

lub

, dla szeregu rozdzielczego punktowego,

lub

, dla szeregu rozdzielczego przedziałowego.

Jeżeli
, to krzywa liczebności jest zbliżona do krzywej tzw. rozkładu normalnego.

Jeżeli
, to badany rozkład zmiennej jest bardziej wysmukły niż rozkład normalny (rozkład leptokurtyczny).

W przypadku, gdy
, to rozkład jest spłaszczony w stosunku do normalnego (rozkład platokurtyczny).

Poniższy rysunek przedstawia szkic krzywej rozkładu normalnego.

Krzywa rozkładu normalnego

Zbadać kurtozę rozkładu zużycia energii.

Obliczenia:

dzienne zużycie energii w Kw. ( xd.i - xg.i ]	liczba gospodarstw fj	środek przedziału xo
2-4	6	3	-5	625	3750
4-6	10	5	-3	81	810
6-8	30	7	-1	1	30
8-10	40	9	1	1	40
10-12	10	11	3	81	810
12-14	4	13	5	625	2500
suma	100	XXX	XXX	XXX	7940

;
;

=>

Badany rozkład zużycia energii jest leptokurtyczny (bardziej wysmukły niż rozkład normalny.

13

przedział w którym jest mediana

i modalna

f_j

99,73%

95,45%

68,26%

-3S - 2S -S
+S +2S +3S x_j

Rozkład asymetryczny lewostronnie

Rozkład asymetryczny prawostronnie

x_j

f_j

x_j

f_j

x_j

f_j

Rozkład symetryczny