RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE JEDNORODNE WZGLĘDEM X i Y

stosujemy podstawienie
==>

po zróżniczkowaniu
i po podstawieniu do równania

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE TYPU

Przypadek I : a₁b₂ - b₁a₂ ≠ 0

Wtedy układ równań ma jedno rozwiązanie x=α i y=β

Wprowadzamy nowe zmienne : x - α = u; y - β = v

Równanie różniczkowe przekształci się na :

Za v podstawiamy
=>
Rozdzielamy zmienne i całkujemy.

Przypadek II : a₁b₂ - b₁a₂ = 0

współczynnik proporcjonalności :

wprowadzamy nową zmienną :
=> po różniczce

po uwzględnieniu wzorów równanie przyjmie postać :

rozwiązujemy metodą rozdzielenia zmiennych

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE NIEJEDNORODNE

rozwiązujemy tzw. metodą uzmienniania stałej.

Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne

Całką tego równania jest

Teraz stałą C zastępujemy funkcją
i mamy

Obliczamy z tego pochodną :
podstawiamy, redukujemy i liczymy

PRZYKŁAD :

Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne
(przez rozdzielenie zmiennych)

Wynikiem jest
gdzie

uwalniając się od logarytmów mamy

uzmienniamy stałą C₁ :
(**)

obliczamy pochodną :

wartości y i y` wstawiamy do pierwszego równania

skąd po redukcji otrzymamy
czyli

podstawiamy to do równania (**) otrzymując końcowy wynik

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE TYPU

Przewidzenie : y₁ = me^Cx lub y₁ = (mx+n)e^Cx

PRZYKŁAD

Przewidujemy :

Obliczamy z tego pochodną

Wartości
i
podstawiamy do pierwszego równania :

Skąd po uproszczeniu przez e^3x znajdujemy m=2

Podstawiając m do równania na
otrzymujemy

Obliczamy teraz całkę ogólną równania uproszczonego :

Po rozwiązaniu mamy :

Całka ogólna całego równania to y₁+y₂ czyli

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE TYPU
gdzie a jest liczbą stałą, a W_n(x) jest wielomianem stopnia n

PRZYKŁAD:

Przewidzenie :

Obliczamy pochodną

Podstawiamy powyższe wartości do pierwszego równania:

Przyrównując współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej x otrzymujemy związki:

2a=1; 2a+2b=0; b+2c=0; z tego mamy :

Rozwiązujemy teraz równanie jednorodne
i z tego mamy

Całka ogólna ma więc postać y₁ + y₂ tj.

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE TYPU

PRZEWIDZENIE :

PRZYKŁAD

Przewidujemy :

Obliczamy z tego pochodną :

Wstawiamy to do pierwszej równości :

Obliczamy n i m i mamy

Obliczamy równanie jednorodne
z czego mamy

No i całka ogólna ma postać :

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE INNYCH TYPÓW

PRZYKŁAD 1

PRZEWIDZENIE :

Obliczamy pochodną

wstawiamy to do równania pierwszego i dzielimy od razu przez e^3x,

otrzymujemy :

znajdujemy a,b,c i mamy

Liczymy całkę ogólną równania jednorodnego
i mamy ostatecznie

PRZYKŁAD 2

PRZEWIDUJEMY :

Liczymy pochodną :

Wstawiamy to do pierwszego równania i mamy równanie, obliczamy współczynniki

liczymy całkę ogólną równania jednorodnego i ostatecznie mamy :

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZĘDU DRUGIEGO

TYP :

Podstawienie :

PRZYKŁAD

Robimy podstawienie :
i otrzymujemy

rozdzielamy zmienne
skąd mamy lnp = ln(1+x) +lnC, a wiec

to znaczy
czyli

ostatecznie otrzymujemy

TYP :

Podstawienie :

wówczas
a równanie przekształci się na równanie rzędu pierwszego

PRZYKŁAD :

---