Laboratorium identyfikacji procesów technologicznych
|
Wykonali :
|
Kierunek :
|
Numer wiczenia :
|
Temat : Identyfikacja parametryczna rekurencyjn metod najmniejszych kwadratów.
|
Data wykonania :
|
Data oddania :
|
Ocena :
|
|
Celem wiczenia byo przeprowadzenie procesu identyfikacji parametrycznej danego obiektu dynamicznego rekurencyjn metod najmniejszych kwadratów (RMNK), opierajc si na modelu typu ARX. W tym celu naley wykorzysta odpowiednie funkcje dostpne w bibliotece Identification Toolbox Matlaba.
1. Wstp teoretyczny.
Wiadomoci dotyczce struktury modeli typu ARX oraz ich identyfikacji metod parametryczn, a dokadniej jedn z jej odmian, czyli metod najmniejszych kwadratów - zostay zamieszczone w wiczeniu nr 5.
Rozpatrujemy obiekt SISO. Po wykonaniu eksperymentu pomiarowego otrzymujemy zestaw danych pomiarowych, który przedstawiamy w postaci macierzy :
gdzie N oznacza ilo wykonanych pomiarów.
Na podstawie tych danych dymy do znalezienia modelu badanego ukadu. Zakadamy typ poszukiwanego model jako ARX. Celem identyfikacji jest wic wyznaczenie parametrów równania rónicowego :
Przyjmujemy take struktur modelu poprzez okrelenie wartoci wspóczynników m i n. Moemy zatem utworzy nastpujcy ukad równa :
Stosujc zapis macierzowy powyszego ukadu, otrzymujemy :
przy czym :
; 
; 
Poniewa zazwyczaj ilo pomiarów N >> n+m (w celu zmniejszenia wpywu zakóce), a wic otrzymany ukad równa jest ukadem nadokrelonym. Aby rozwizanie tego ukadu byo moliwe, stosujemy przeksztacenie sprowadzajc go do normalnego ukadu równa, dziki czemu uzyskujemy :
Równanie to jest wynikiem zastosowania MNK. Na jego podstawie funkcja arx oszacowuje parametry modelu. Zakadamy jednak, e po otrzymaniu N wyników pomiarowych, dochodzi jeszcze jeden (nowy) pomiar. Pomiar ten uwzgldniamy w naszym procesie identyfikacji, gdy moe on mie wpyw na wynik procesu. Tak wic okrelamy aktualny wektor parametrów modelu N+1. Wtedy :
; 
przy czym : 
Posugujc si w dalszym cigu `zwyk' MNK, otrzymamy :
Wida wic, e naley ponownie wykona operacji odwracania i mnoenia macierzy, których wymiary w tym przypadku ulegy ju powikszeniu o jeden. Pojawianie si nastpnych pomiarów spowoduje dalsze rozbudowywanie macierzy, w efekcie czego czas potrzebny na przeprowadzenie odpowiednich dziaa matematycznych ulega wydueniu (nawet przy wykorzystaniu nowoczesnych rodków obliczeniowych). Dymy zatem do rozwizania tego problemu w sposób pozwalajcy oszacowa nowe parametry modelu po kadorazowym otrzymaniu kolejnego pomiaru, bez koniecznoci ponownego rozwizywania powyszego skomplikowanego równania macierzowego, czyli :
Taki zapis rozpatrywanego problemu wskazuje na moliwo wykorzystania oblicze dokonanych wczeniej - na podstawie poprzednich pomiarów - oraz wyeliminowania operacji odwracania macierzy. Aby móc skorzysta z tego zapisu naley przeprowadzi nastpujce transformacje :
oznaczmy 
; czyli 
; 
; 
;
std 
aby wydzieli z tego równania macierz PN+1 , naley skorzysta z nastpujcej tosamoci macierzowej algebry :
W wyniku tego uzyskujemy :
oznaczajc : 
mamy :
Poniewa :
std :
skd po przeksztaceniach otrzymamy :
przy czym :
- rzeczywista (zmierzona) warto sygnau wyjciowego w chwili N+1;
- warto sygnau wyjciowego w chwili N+1 oszacowana w oparciu o model;
Równanie to stanowi istot rekurencyjnej metody najmniejszych kwadratów, która reprezentowana jest w pakiecie Matlab poprzez funkcj rarx. Wynika z niego take, e RMNK umoliwia cig aktualizacj parametrów modelu w czasie, kiedy dokonywane s pomiary sygnau wejciowego i wyjciowego obiektu. Oznacza to moliwo stosowania tej metody w celach identyfikacji modeli obiektów których parametry s zmienne w czasie, czyli obiektów niestacjonarnych.
2. Przebieg wiczenia.
2.1. Obiekt I .
2.1.1. Zebranie i przygotowanie danych pomiarowych.
Rys.1 Schemat blokowy badanego obiektu.
Rys.2. Schemat blokowy ukadu pomiarowego.
Zebrane dane umieszczane s w przestrzeni roboczej Matlaba w postaci macierzy z1 o strukturze :
gdzie N=300 - ilo wykonanych pomiarów.
Usuwamy z nich warto redni :
z11 = dtrend(z1)
Funkcja :
plot(z11)
daje nam moliwo zaobserwowania danych pomiarowych w postaci graficznej :
Rys.3.
2.1.2. Przyjcie struktury modelu.
W naszym wiczeniu przyjmujemy struktur modelu ARX, okrelon jako wektor nn=[2 2 1]. Ogólna posta modelu ARX dla zaoonej struktury :
gdzie k = 1..N.
2.1.3. Szacowanie (estymacja) parametrów modelu.
2.1.3.1. Metoda najmniejszych kwadratów (MNK).
W pierwszym kroku tego punktu wiczenia w celu oszacowania parametrów modelu o okrelonej wyej strukturze, zastosujemy `zwyk' metod najmniejszych kwadratów, wywoujc funkcj :
th = arx(z11,nn);
Wynikiem zastosowania tej funkcji jest utworzenie specjalnie skonstruowanej macierzy THETA, z której moemy uzyska potrzebne informacje korzystajc z nastpujcych funkcji :
[num,den] = th2tf(th)
printsys(num,den,'z')
W ten sposób otrzymalimy transmitancj dyskretn :
a pena posta modelu:
2.1.3.2. Rekurencyjna metoda najmniejszych kwadratów (RMNK).
W celu identyfikacji modelu ARX rekurencyjn metod najmniejszych kwadratów wywoujemy funkcj :
thm = rarx(z11,nn,adm,adg)
przy czym :
adm - oznacza mechanizm adaptacji (u nas jest on oparty na wspóczynniku `zapominania', czyli `ff')
adg - oznacza wspóczynnika `zapominania' (w naszym przypadku ``), którego warto okrela w jakim stopniu pomiary wykonane w stosunkowo odlegych chwilach czasu, wpywaj na warto aktualnie szacowanych parametrów modelu, i tak dla `` = 1 wszystkie wykonane pomiary posiadaj jednakowe znaczenie, a wic w tym przypadku polecenie rarx funkcjonuje tak samo jak polecenie arx, natomiast `` < 1 oznacza zmniejszony wpyw `starych' pomiarów na proces identyfikacji. Taka waciwo jest szczególnie cenna kiedy analizowany obiekt jest niestacjonarny.
Wywoujemy wic funkcj rarx dla `` = 1 :
thm = rarx(z11,nn,'ff',1);
Funkcja ta zwraca macierz thm o wymiarach N×4 (poniewa kada kolumna oznacza jeden z parametrów modelu, a w nasz przypadku model posiada cztery parametry : a1, a2, b1, b2). Wygenerowaa ona zatem zestaw parametrów modelu po kadorazowym pojawieniu si nowego pomiaru, korzystajc z oblicze wykonanych dla wczeniejszych pomiarów. Ostatni wiersz otrzymanej macierzy thm zawiera parametry modelu wyznaczone na podstawie N=300 pomiarów i przedstawia si on w sposób nastpujcy :
a1 a2 b1 b2
-1,4105 0,4412 0,0038 0,0184
Aby móc obserwowa rozkad zmiennoci parametrów modelu w zalenoci od liczby dokonywanych pomiarów, wykonujemy funkcj :
plot(thm)
Rys.4.
Podobnie postpujemy dla :
- `` = 0,99, czyli
thm = rarx(z11,nn,'ff',0.99);
Ostatni wiersz otrzymanej macierzy thm :
a1 a2 b1 b2
-1.3493 0.3846 0.0005 0.0242
Wykonujemy funkcj :
plot(thm)
Rys.5.
- `` = 0,95, czyli
thm = rarx(z11,nn,'ff',0.95);
Ostatni wiersz otrzymanej macierzy thm :
a1 a2 b1 b2
-1.3455 0.3881 -0.0110 0.0393
Wykonujemy funkcj :
plot(thm) 
Rys.6.
- `` = 0,93, czyli
thm = rarx(z11,nn,'ff',0.93);
Ostatni wiersz otrzymanej macierzy thm :
a1 a2 b1 b2
-1.3438 0.3854 -0.0132 0.0408
Wykonujemy funkcj :
plot(thm)
Rys.7.
2.2. Obiekt II .
2.2.1. Zebranie i przygotowanie danych pomiarowych.
Rys.8 Schemat blokowy badanego obiektu.
Rys.9. Schemat blokowy ukadu pomiarowego.
Zebrane dane umieszczane s w przestrzeni roboczej Matlaba w postaci macierzy z1 o strukturze :
gdzie N=1000 - ilo wykonanych pomiarów.
Usuwamy z nich warto redni :
z11 = dtrend(z1)
Funkcja :
plot(z11)
daje nam moliwo zaobserwowania danych pomiarowych w postaci graficznej :
Rys.10.
2.2.2. Przyjcie struktury modelu.
Przyjmujemy - podobnie jak wczeniej - struktur modelu ARX, okrelon jako wektor nn=[2 2 1]. Ogólna posta modelu ARX dla zaoonej struktury :
gdzie k = 1..N.
2.2.3. Szacowanie (estymacja) parametrów modelu RMNK.
Wywoujemy wic funkcj rarx (tym razem) dla `` = 0,99 :
thm = rarx(z11,nn,'ff',0.99);
Funkcja ta zwraca macierz thm o wymiarach N×4. Ostatni wiersz otrzymanej macierzy thm zawiera parametry modelu wyznaczone na podstawie N=1000 pomiarów i przedstawia si on w sposób nastpujcy :
a1 a2 b1 b2
-1.6255 0.8089 0.0495 0.1272
Stosujemy funkcj aby otrzyma posta `graficzn' macierzy thm :
plot(thm)
Rys.11.
2.3. Obiekt II .
2.3.1. Zebranie i przygotowanie danych pomiarowych.
Schemat ukadu pomiarowego jest w tym przypadku identyczny jak w poprzednim punkcie (Rys.9.)
Rys.12. Schemat blokowy badanego obiektu.
Zebrane dane umieszczane s w przestrzeni roboczej Matlaba w postaci macierzy z1 o strukturze :
gdzie N=1000 - ilo wykonanych pomiarów.
Usuwamy z nich warto redni :
z11 = dtrend(z1)
Funkcja :
plot(z11)
powoduje :
Rys.13.
2.3.2. Przyjcie struktury modelu.
Przyjmujemy - ponownie - struktur modelu ARX, okrelon jako wektor nn=[2 2 1]. Ogólna posta modelu ARX dla zaoonej struktury :
gdzie k = 1..N.
2.3.3. Szacowanie (estymacja) parametrów modelu RMNK.
Wywoujemy wic funkcj rarx (tym razem) dla `` = 1 :
thm = rarx(z11,nn,'ff',1);
Funkcja ta zwraca macierz thm o wymiarach N×4. Ostatni wiersz otrzymanej macierzy thm zawiera parametry modelu wyznaczone na podstawie N=1000 pomiarów i przedstawia si on w sposób nastpujcy :
a1 a2 b1 b2
-1.6143 0.8169 0.0582 0.1331
Stosujemy funkcj aby otrzyma posta `graficzn' macierzy thm :
plot(thm)
Rys.14.
3. Tre m-pliku.
z11 = dtrend(z1);
nn = [2 2 1];
th = arx(z11,nn);
[num,den] = th2tf(th);
printsys(num,den,'z')
%thm = rarx(z11,nn,'ff',1)
%thm = rarx(z11,nn,'ff',0.99)
%thm = rarx(z11,nn,'ff',0.95)
thm = rarx(z11,nn,'ff',0.93)
plot(thm)
4. Uwagi i wnioski.