Zadanie

Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji określonej wzorem

jeżeli
,

skrót rozwiązania

warunek konieczny:

Wyznaczamy punkty, w których może wystąpić ekstremum lokalne.

po przekształceniu

z

układ sprzeczny (dwa ostatnie równania)

z

Rozwiązaniem układu równań są punkty

,
,
którym odpowiadają mnożniki

,
,
którym odpowiadają mnożniki

warunek dostateczny

Ponieważ funkcje f, g₁, g₂ są symetryczne względem x, y, z wystarczy rozpatrzyć dwa punkty np. A₁, B₁. Należy sprawdzić znak drugiej różniczki funkcji L w wyznaczonych punktach na zbiorze niezerowych wektorów h spełniających układ równań

jeżeli

gdy pochodne liczymy w wyznaczonych punktach.

Druga różniczka przyjmuje wartości dodatnie, zatem w punktach
funkcja przyjmuje minimum warunkowe równe 4.

Do samodzielnego sprawdzenia pozostała weryfikacja punktu B_1.

Druga różniczka przyjmuje wartości dodatnie, zatem w punktach
funkcja przyjmuje minimum warunkowe równe
.