Analiza numeryczna Ćwiczenia nr 8

Słowa kluczowe:

Splajn, splin kubiczny, 1. Skonstruować splajn kubiczny taki, że S(0) = 1, S(1) = 0, S(2) = 2 oraz S00(0) = S00(2) = 0.

2. Wyznaczyć splajn S o własnościach: (a) S(xi) = yi, dla i = 1, . . . , n, x1 < x2 < . . . < xn, (b) S ∈ C(n−1)(R),

(a x < ξ

(c) S(n) =

, dla ξ ∈ {x1, . . . , xn}.

b

x ≥ ξ

3. Niech A ∈ M (n, R) jest macierzą trójdiagonalną symetryczną aii = 4, ai,i+1 = ai+1,i = 1.

Zbadać określoność macierzy A.

4. Niech macierz powstająca przy obliczaniu splajnu kubicznego naturalnego jest postaci



2

λ



0

. .

. .

 µ

.

.



A =

1



, λ0 ≤ 1, µn−1 ≤ 1, µi + λi = 1 ∀i, λi, µi > 0.



. .





.

λn−2 

µn−1

2

Pokazać, że macierz A ma rzeczywiste wartości własne leżące w przedziale [a, b].

5. Sprawdzić, czy wzór określa funkcję sklejaną stopnia 2

x

x ∈ (−∞, 1)





f (x) =

− 1 (2 − x)2 + 3

x ∈ [1, 2]

.

2

2



 3

x ∈ (2, ∞)

2

6. Sprawdzić, dla jakich wartości parametrów a, b, c, d, e

a(x − 2)2 + b(x − 1)3 x ∈ (−∞, 1]





f (x) =

c(x − 1)2

x ∈ (1, 3]



d(x − 2)2 + e(x − 3)3

x ∈ (3, ∞)

jest funkcją sklejaną sześcienną.