Mat. stosowana i met. numeryczne : styczeń 2009 – Całki 1
Zadanie
1. Stosując wzór sumacyjny Simpsona dla przedziału całkowania podzielonego na k = 3 podprzedziały obliczyć całke: Z 3
I =
( x 3 + 2 x) dx
− 3
Odpowiedź:
Całkę można policzyć dwoma sposobami:
• I. Korzystamy z ogólnego wzoru Simpsona:
Z b
h
f ( x) dx ≈
[ f 0 + fn + 2 ( f 2 + f 4 + · · · + fn− 2) + 4 ( f 1 + f 3 + · · · + fn− 1)] .
a
6
Mamy zatem:
I = h [ f (
6
− 3) + f(3) + 2( f( − 1) + f(1)) + 4( f( − 2) + f(0) + f(2))] =
= 2 [
6 − 33 + 33 + 2 · ( − 3 + 3) + 4 · ( − 12 + 0 + 12)] = 0
• II. Korzystamy ze wzoru Simpsona obliczając sumę trzech całek: Z
Z
Z
− 1
1
3
I =
( x 3 + 2 x) dx +
( x 3 + 2 x) dx +
( x 3 + 2 x) dx.
− 3
− 1
1
Stąd: I = 2 [
[
[3 + 4
6 − 33 + 4 · ( − 12) − 3] + 2
6 − 3 + 4 · 0 + 3] + 2
6
· 12 + 33] = 0
Uwaga: h = xi+2 − xi ,
gdzie i = 0 , 2 , 4.
Zadanie
2. Oblicz całki (bez podziału na podprzedziały): Z 3
I =
x 2 − 3 x + 5 dx , 1
a) metodą prostokątów środkowych, b) metodą trapezów, c) metodą Simpsona.
Zadanie
3. Stosując wzory Newtona–Cotesa przy interpolacji wielomianem 3-go stopnia, obliczyć całkę:
Z 2
I =
( − 8 x 3 + 4 x 2 + 20 x + 8) dx
− 1
Odpowiedź:
Dla stopnia n = 3:
h = 2 −( − 1) = 1 , 3
x 0 = − 1 ,
x 1 = 0 ,
x 2 = 1 ,
x 3 = 2 ,
f 0 = 8 + 4 − 20 + 8 = 0 , f 1 = 8 ,
f 2 = − 8 + 4 + 20 + 8 = 24 , f 3 = − 64 + 16 + 40 + 8 = 0 .
Korzystając ze wzoru Newtona–Cotesa dla n = 3 otrzymujemy:
1
3
3
1
I = 3 · 1 ·
· 0 +
· 8 +
· 24 +
· 0 = 36
8
8
8
8
Mat. stosowana i met. numeryczne : styczeń 2009 – Całki 2
Zadanie
4. Obliczyć metodą prostokątów lewych, prawych, środkowych oraz trapezów cał-
ki ( n – liczba podprzedziałów):
Z 3
Z
dx
2
, n = 4 ,
x 3 dx, n = 4 ,
1
x
0
Z 3 p
Z 1
x 1 + x 2 dx, n = 6 , sin πx dx, n = 6 ,
0
0
Z 2 π
Z 1
x sin x dx, n = 8 ,
x 2 ex dx, n = 8 .
0
0
Dodatkowo obliczyć powyższe całki stosując metodę Simpsona oraz wzory Newtona–Cotesa (stopnia 3, 4, 5) dla n = 1.
Zadanie
5. Stosując trzypunktową kwadraturę Gaussa znaleźć wartość całki Z √ √
5+ 3
I =
(4 x 4 − 2 x 2) dx
√
√
−
5+ 3
Czy otrzymany wynik jest dokładny? Dla trzypunktowej kwadratury Gaussa węzły i wagi są następujące:
q
q
ξ
3
3
0 = −
, ξ
w
, w
, w
5
1 = 0, ξ 2 =
5
0 = 5
9
1 = 8
9
2 = 5
9
Odpowiedź:
Stosując podstawienie
√
√
√
√
5 +
3 +
5 − 3
√
x = mξ + n
gdzie m =
=
5
2
√
√
√
√
5 +
3 − 5 + 3
√
n =
=
3
2
√
√ √
√
sprowadzamy całkę w przedziale − 5 + 3; 5 + 3 do całki w przedziale h− 1; 1 i Po zasto-sowaniu trzypunktowej kawadratury Gaussa do otrzymanej całki ostateczny rezultat wynosi
√
√ 5
8
5
1000 5
I =
5( · 0 +
· 30 +
· 522) =
.
9
9
9
3
Otrzymany wynik jest dokładny ponieważ trzypunktową kwadraturą Gaussa można całkować ściśle wielomiany do stopnia 5-go włącznie.
R √ 3+1
Zadanie
6. Obliczyć przybliżoną wartość całki :
√
ex/ 2 (sin x − 1) dx dwupunktową
−
3+1
√
kwadraturą Gaussa. Wagi wi = 1 . 0, współrzędne węzłów xii = + − 1 / 3.
Zadanie
7. Obliczyć kwadraturą Gaussa całki, przyjmując n = 2 i n = 3: Z 3
Z
Z
dx
2
3
p
,
x 3 dx,
x 1 + x 2 dx,
1
x
0
0
Z 1
Z 2 π
Z 1
sin πx dx,
x sin x dx,
x 2 ex dx.
0
0
0
Mat. stosowana i met. numeryczne : styczeń 2009 – Całki 3
Zadanie
8. Oblicz całki (bez podziału na podprzedziały): Z 9
I =
x 2 − 12 x + 36 dx , 3
a) metodą Simpsona,
b) metodą dwupunktową Gaussa.
c) Wyznacz błąd bezwzględny dla każdego z przypadków wiedząc, że dokładne wartości całek wynoszą: I = 18 . 0 .
Odpowiedź:
a) Metoda Simpsona:
Z 9
Z 9
9 − 3
x 2 − 12 x + 36 dx =
( x − 6)2 dx =
(3 − 6)2 + 4 · (6 − 6)2 + (9 − 6)2 = 18
3
3
6
b) Metoda Gaussa:
w 1 = w 2 = 1 . 0
√
12
9 − 3
3
√
x 1 =
−
·
= 6 − 3
2
2
3
√
12
9 − 3
3
√
x 2 =
+
·
= 6 +
3
2
2
3
√
2
f 1 =
6 − 3 − 6
= 3
√
2
f 2 =
6 +
3 − 6
= 3
Z 9
9 − 3
( x − 6)2 dx =
(1 · 3 + 1 · 3) = 18
3
2
c) Błąd bezwzględny dla obu metod wynosi:
∆ I = | e
I − I |= 0