Interpretacje układów równań liniowych 1. Interpretacja wektorowa

RozwaŜamy układ m równań liniowych o n niewiadomych:

 a x

11 1 + a

x

12

2 + ... + a

x

b

n

1

n =



1

 a x

21 1 + a

x

22

2 + ... + a

x

b

2 n

n =



2



.

 a x a x ... a x

b

m 1 1 +

m 2

2 +

+ mn n = m

Definiujemy wektory: w , w , w , … , w , gdzie w = [ a 1

2

3

m

i

i1 , a i2 , a i3, …, a in ] dla i = 1, 2,

…, m oraz wektor x = [ x 1, x 2, x 3, … , x n ] .

Przy tych oznaczeniach powyŜszy układ równań moŜemy zapisać:

 → →

 w 1o x = b 1

 → →

 w 2 o x = b 2



.........

 → →

 w o x b

m

= m

→

Rozwiązać dany układ równań, to wyznaczyć wektor x , który kolejno mnoŜony skalar-

→

nie przez wektory w daje ciąg liczb: b

i

1, b2, …, bm.

→

→

→

→

Jeśli wektor b = [b1, b2, …, bm] jest wektorem zerowym ( b = 0 ) zaś wektory w są nieze-i

→

→

rowe, to wektory w , x są wektorami prostopadłymi (bo ich iloczyny skalarne są zero).

i

W tym przypadku rozwiązanie danego układu równań liniowych sprowadza się do poszuki-

→

wania wektora x jednocześnie prostopadłego do kaŜdego wektora w , w , w , … , w .

1

2

3

m

2. Interpretacja geometryczna

Definicja

W układzie współrzędnych kartezjańskich zbiór wszystkich punktów X ( x 1, x 2, x 3, … , x n ) przestrzeni Rn spełniających równanie A1 x 1+ A2 x 2 + A3 x 3+ … + An x n + A0 = 0, o ile choć

jedna z liczb A1, A2, …, An jest róŜna od zera, nazywamy hiperpłaszczyzną. Mówimy wów-czas, Ŝe równanie A1 x 1+ A2 x 2 + A3 x 3+ … + An x n + A0 = 0 jest równaniem tej hiperpłaszczyzny.

Dany układ równań liniowych wyznacza zatem układ m hiperpłaszczyzn, których równania są równaniami danego układu równań.

Rozwiązać ten układ równań w sensie geometrycznym, to wyznaczyć zbiór punktów przestrzeni Rn naleŜących jednocześnie do kaŜdej z hiperpłaszczyzn określonych danymi równaniami układu.

Przyjmijmy, np., Ŝe Ak ≠ 0, wtedy równanie A1 x 1+ A2 x 2 + A3 x 3+ … + An x n + A0 = 0

moŜemy zapisać następująco:

A

A

0

1 ( x 1 – 0) + A2 ( x 2 – 0) + A3 ( x 3 – 0) + … Ak ( x k – (-

) ) + …. + An ( x n – 0) = 0.

Ak

Stąd wnioskujemy, Ŝe wektor [A1 , A2 , A3 , …, An] jest prostopadły do tej hiperpłaszczy-A

zny, która przechodzi przez punkt o współrzędnych (0, 0, 0, …, - 0 , …, 0).

Ak

Twierdzenie

a) Wektor [A1 , A2 , A3 , …, An] jest prostopadły do hiperpłaszczyzny o równaniu A1 x 1+ A2 x 2 + A3 x 3+ … + An x n + A0 = 0 (zakładamy, Ŝe choć jedna z liczb A1, A2, …, An jest róŜna od zera).

b) Wektor [A1 , A2 , A3 , …, An] jest prostopadły do hiperpłaszczyzny o równaniu A1 ( x 1 – b1) + A2 ( x 2 – b2) + A3 ( x 3 – b3) + … + An ( x n – bn) = 0, do której naleŜy punkt B(b1, b2, b3, … bn).

Ćwiczenia

1. WskaŜ wektor prostopadły do danej prostej (hiperpłaszczyzny w przestrzeni R2) oraz dwa punkty, które do niej naleŜą:

a) 3x – 4y + 5 = 0, b) y = -5x + 7 , c) x = 3, d) y = -7.

2. WskaŜ wektor prostopadły do danej płaszczyzny (hiperpłaszczyzny w przestrzeni R3) oraz dwa punkty, które do niej naleŜą:

a) 3x – 4y + 5z - 6 = 0, b) z = -5x + 7y -1 , c) 2x – 3y =1, d) x = 3, d) z = -7.