Funkcje jednowymiarowej zmiennej losowej
Wyznaczanie rozkładów funkcji zmiennych losowych Założenie: Niech g : R → R będzie funkcją taką, że, jeśli X jest zmienną losową, to g(X) jest również zmienną losową.
1. Rozkłady funkcji zmiennych losowych dyskretnych Twierdzenie 1 Niech X będzie zmienną losową dyskretną. Wtedy zmienna losowa Y = g(X) ma rozkład dyskretny. Ponadto
X
SY = g(SX ) i P (Y = y) =
P (X = xk).
xk∈SX :
g(xk)=y
Przykład 1. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie dyskretnym takim, że SX = {−4, −3, . . . , 3, 4} oraz 1
P (X = k) =
dla każdego k ∈ SX .
9
Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej |X|.
Rozwiązanie:
Ponieważ X ma rozkład dyskretny, więc Y też ma rozkład dyskretny.
Niech g(x) = |x|. Wtedy Y = g(X) oraz SY = g(SX ) = {0, 1, 2, 3, 4}. Ponadto 1
P (Y = 0) = P (|X| = 0) = P (X = 0) =
.
9
Jeśli n ∈ {1, 2, 3, 4}, to
1
1
2
P (Y = n) = P (|X| = n) = P (X = n) + P (X = −n) =
+
=
.
9
9
9
2. Rozkłady funkcji zmiennych losowych ciągłych.
Uwaga. Jeśli X ma rozkład ciągły, to zmienna losowa Y = g(X) nie musi mieć rozkładu ciągłego !!!
Następujące twierdzenie podaje warunek wystarczający na to, aby zmienna losowa Y = g(X) miała rozkład ciągły, gdy X ma rozkład ciągły:
Twierdzenie 2 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie ciągłym mającym gęstość fX (x). Niech Y =
g(X), przy czym funkcja g jest różnowartościowa, różniczkowalna i g0(x) 6= 0 na takim podzbiorze D ⊂ R, że P (X ∈ D) = 1. Wtedy zmienna losowa Y ma rozkład ciągły o gęstości
0
,
y /
∈ g(D)
fY (y) =
fX (x)
.
|g0(x)| g(x)=y
,
y ∈ g(D)
Wniosek. Jeśli X ∼ N (m, σ2) i Y = aX + b, gdzie a 6= 0, to Y ∼ N am + b; a2σ2.
X − m
1
m
1
W szczególności, jeżeli Y =
, to Y ∼ N
m −
,
· σ2
= N (0, 1).
σ
σ
σ σ2
Twierdzenie 3 Jeżeli funkcja g nie jest różnowartościowa, ale spełnia pozostałe założenia twierdzenia 2 i każdą wartość przyjmuje tylko przeliczalnie wiele razy, to wzór na gęstość jest postaci
0
,
y /
∈ g(D)
f
X
fX (xk)
Y (y) =
,
y ∈ g(D) .
|g0(x
k )|
xk:g(xk)=y
Przykład 2. Niech X ∼ U ([−1; 2]). Wtedy:
0,
x /
∈ [−1, 2]
fX (x) =
1
.
,
x ∈ [−1, 2]
3
Wyznaczymy rozkład zmiennej losowej Y = X2, to znaczy Y = g(X), gdzie g(x) = x2 dla x ∈ [−1; 2].
Zauważmy, że g0(x) = 2x 6= 0 dla x 6= 0. Można przyjąć D = [−1, 0) ∪ (0, 2]. Wtedy g(D) = (0, 4]. Niech ponadto D1 = [−1, 0) ∪ (0, 1] oraz D2 = (1, 2]. Zauważmy, że:
√
√
? na zbiorze D1 funkcja g nie jest różnowartościowa, jeśli y = x2, to x =
y lub x = − y. Ponadto
g(D1) = (0, 1];
√
? na zbiorze D2 funkcja g jest róznowartościowa, jeśli y = x2, to x =
y. Ponadto g(D2) = (1, 4].
0
,
y 6 0
1
√
,
0 < y 6 1
Ostatecznie mamy więc fY (y) =
3 y
.
1
,
1 < y
√
6 4
6 y
Generowanie liczb pseudolosowych o zadanym rozkładzie Niech X ∼ U ([0; 1]). Niech F będzie dystrybuantą interesującego nas rozkładu. Zakładamy, że F jest funkcją ściśle rosnącą. Niech Y = F −1(X). Znajdziemy dystrybuantę zmiennej losowej Y . Mamy: FY (y) = P (Y 6 y) = P (F −1(X) 6 y) = P (X 6 F (y)) = FX(F (y)).
Ponieważ X ∼ U ([0; 1]), więc dla x ∈ [0; 1], FX (x) = x. To oznacza, że FX (F (y)) = F (y), czyli FY (y) =
F (y).
Zatem, jeśli liczby xi zostały wylosowane zgodnie z rozkładem jednostajnym z przedziału [0; 1], to liczby F −1(xi) można traktować jako liczby wylosowane zgodnie z rozkładem o dystrybuancie F .