310 Szeregi o wyrazach nieujemnych Twierdzenie
JeŜeli a
, to szereg ∑ a jest zbieŜny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg sum n ≥ 0
n
częściowych ( s ) jest ograniczony.
n
Dowód
Uwaga
JeŜeli a
, to moŜliwe są jedynie dwa przypadki: n ≥ 0
szereg ∑ a jest zbieŜny do pewnej liczby s , tzn. ∑ a = s , n
n
szereg ∑ a jest rozbieŜny do + ∞ , tzn. ∑ a
.
n = +∞
n
Kryterium porównawcze
JeŜeli 0 ≤ a ≤ b dla n ≥ n , to n
n
0
∑ b
⇒ ∑ a
n < +∞
n < +∞
∑ a
⇒ ∑ b
n = +∞
n = +∞
Dowód
Przykład
∞
1
∑
< +∞
α ≥
nα
, gdy
2
n =1
∞
1
∑
= +∞
0 < α ≤
nα
, gdy
1
n =1
Wniosek
a
b
JeŜeli a , b
oraz
n +1
n 1
0
+
<
≤
dla n ≥ n , to
n
n > 0
a
b
0
n
n
∑ b
⇒ ∑ a
n < +∞
n < +∞
∑ a
⇒ ∑ b
n = +∞
n = +∞
Dowód
Uwaga
Dla dowolnego ciągu ( a ) liczb rzeczywistych mamy: n
1
jeŜeli limsup a
to istnieją liczby 0 < ϑ < 1 i n takie, Ŝe a
,
n < ϑ < 1
0 ∈ N
n < 1
n→+∞
dla wszystkich n ≥ n ; 0
jeŜeli limsup a
to istnieje liczba ϑ > 1 taka, Ŝe 1 < ϑ < a , dla n > 1
n
n→+∞
nieskończenie wielu n ∈ N .
JeŜeli ciąg ( a ) liczb rzeczywistych posiada granicę, to n
JeŜeli lim a
to istnieją liczby 0 < ϑ < 1 i n takie, Ŝe a
, dla
n < ϑ < 1
0 ∈ N
n < 1
n→+∞
wszystkich n ≥ n .
0
JeŜeli lim a
to istnieją liczby ϑ > 1 i n takie, Ŝe 1 < ϑ < a , dla 0 ∈ N
n > 1
n
n→+∞
wszystkich n ≥ n .
0
Dowód
W powyŜszych warunkach zamiast liczby 1 moŜna podstawić dowolną liczbę c ∈ .
R
Kryterium pierwiastkowe Cauchy’ego JeŜeli a
oraz istnieje liczba 0 < ϑ < 1 taka, Ŝe 0 ≤ n a dla wszystkich
n < ϑ
n ≥ 0
n ≥ n , to szereg ∑ a jest zbieŜny.
0
n
JeŜeli n a
dla nieskończenie wielu n , to szereg ∑ a
.
n = +∞
n > 1
Dowód
Kryterium pierwiastkowe Cauchy’ego w postaci limesowej ZałóŜmy, Ŝe a
.
n ≥ 0
JeŜeli limsup n a
to ∑ a
.
n < +∞
n < 1
n →∞
JeŜeli limsup n a
to ∑ a
.
n = +∞
n > 1
n →∞
JeŜeli istnieje granica lim n a to ∑ a
.
n < +∞
n < 1
n →∞
JeŜeli istnieje granica lim n a to ∑ a
.
n = +∞
n > 1
n →∞
Dowód
Przykłady
∞
Jeśli x ≥ 0 , to ∑ n nx < +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy 0 ≤ x < 1.
n =1
2
Kryterium pierwiastkowe Cauchy’ego nie rozstrzyga jednoznacznie
∞
1
zbieŜności szeregu ∑ nα .
n =1
Kryterium ilorazowe d’Alemberta
ZałóŜmy, Ŝe a
.
n > 0
a
JeŜeli istnieje granica lim n+1 < 1 to ∑ a
.
n < +∞
n →∞
an
a
JeŜeli istnieje granica lim n+1 > 1 to ∑ a
.
n = +∞
n →∞
an
Dowód
Przykłady
∞
(3 n)!
∑
= +∞
n
n
n =
!(2 )!
1
Kryterium d’Alemberta nie rozstrzyga jednoznacznie zbieŜności szeregu
∞
∑ 1 nα .
n =1
Kryterium Cauchy’ego o zagęszczaniu ZałóŜmy, Ŝe a
jest ciągiem nierosnącym. Szereg ∑ a jest zbieŜny wtedy n ≥ 0
n
i tylko wtedy, gdy zbieŜny jest szereg ∑ n 2 a
.
n
2
Dowód
Przykład
∞
1
Jeśli α > 0 , to ∑
< +∞
α > .
nα
wtedy i tylko wtedy, gdy
1
n =1
∞
1
Jeśli α > 0 , to ∑
α > .
n
n α wtedy i tylko wtedy, gdy 1
n =
(log
)
2
2
Kryterium Raabe’go
ZałóŜmy, Ŝe a
.
n > 0
a
JeŜeli istnieje liczba ϑ > 1 taka, Ŝe n
n
−1
≥ ϑ > 1 dla wszystkich n ≥ n ,
a
0
n +
1
to szereg ∑ a jest zbieŜny.
n
3
a
JeŜeli a
oraz
n
n
−1 < 1 dla wszystkich n ≥ n , to szereg ∑ a jest n > 0
0
n
an 1
+
rozbieŜny do + ∞ .
Dowód
Kryterium Raabe’go w postaci limesowej ZałóŜmy, Ŝe a
.
n > 0
a
JeŜeli istnieje granica lim
n
n
−1
> 1 to szereg ∑ a jest zbieŜny.
n
n →∞
an+
1
a
JeŜeli istnieje granica lim
n
n
−1
< 1 to szereg ∑ a jest rozbieŜny do n
n→∞
an+
1
+ ∞ .
Dowód
Przykład
∞
1
∑
< +∞
n =1 n
n
Kryterium całkowe zbieŜności szeregu ZałóŜmy, Ŝe a
. Jeśli istnieje funkcja f nieujemna, ciągła, nierosnąca na n ≥ 0
< p,+∞) dla pewnego p ∈ N i taka, Ŝe f ( n) = a dla wszystkich n ∈ N , to n
szereg ∑ a
jest zbieŜny wtedy i tylko wtedy, gdy całka n = ∑ f ( n) niewłaściwa ∫+∞ f ( x) dx jest zbieŜna, p
+∞
+∞
+∞
ponadto ∫ f ( x) dx ≤ ∑ f ( n) ≤ f ( p) + ∫ f ( x) dx .
p
n =
p
p
4