Zadania do cwiczen 6 i dalszych id 572269

Fala płaska - podstawowe pojęcia i parametry

1. Określić dla jakiego parametru β pole elektryczne w postaci ~

E( x, y, z, t) = E 0 cos( ωt − βz) ~ix

może rozchodzić się w próżni.

√

Odp.: β = ω µ 0 ε 0

2. Wykazać że pole postaci ~

H( x, y, z, t) = H 0e( y−vt) n~ix może rozchodzić sie w próżni. Czy wartości parametrów H 0, v oraz n muszą spełniać jakieś dodatkowe warunki?

√

Odp.: Parametry H 0 oraz n mogą być dowolne, jednak v = 1 / µ 0 ε 0.

3. W nieprzewodzącym ośrodku o parametrach µr = 4 i εr = 9 rozchodzi się fala o częstotliwości f = 2 GHz i postaci ~

E( x, y, z, t) = E 0 cos( ωt + βx) ~iy, gdzie E 0 = 160 V/m. Określ kierunek propagacji, długość i prędkość fali oraz zapisz pełną postać pola magnetycznego istniejącego w tym ośrodku.

Odp.: ~ik = −~ix, λ = 2 . 5 cm, v = 5 · 107 m/s oraz ~

H( x, y, z, t) = −H 0 cos( ωt + βx) ~iz, gdzie

H 0 = 2 /πA/m, ω = 4 π · 109rad /s, zaś β = 80 π rad /m.

4. W próżni rozchodzi się fala elektromagnetyczna ~

E = 100 cos( ωt − βy) ~ixV/m. W chwili czasu

t 1 = 1 / 6 ns w początku układu współrzędnych natężenie pola elektrycznego wynosi E 1 =

50 V /m. Oblicz częstotliwość, długość, prędkość fazową oraz kierunek rozchodzenia fali.

Odp.: ~ik = ~iy, v = 3 · 108 m/s. Dla f = (1 + 6 m) GHz λ =

lub dla f = (5 + 6 m) GHz

10(1+6 m)

λ =

, gdzie m jest dowolna liczbą naturalną.

10(5+6 m)

5. W ośrodku nieprzewodzącym o parametrach µ = 9 µ 0 i ε = 4 ε 0 w kierunku osi y rozchodzi się fala o maksymalnym natężeniu pola magnetycznego ~

H 0 = 0 . 02 ~ixA/m, której długość wynosi

λ = 10 cm. Zapisz pełną postać pola elektrycznego i magnetycznego.

Odp.: ~

H( x, y, z, t) = H 0 cos( ωt − βy) ~ix oraz ~

E( x, y, z, t) = E 0 cos( ωt − βy) ~iz, gdzie H 0 =

0 . 02 A/m, E 0 = 3 . 6 π, ω = 109 π rad /s, zaś β = 20 π rad /m.

Równania Maxwella dla amplitud harmonicznych

1. Zapisz amplitudy harmoniczne poniższych pól:

(a) ~

E( x, y, z, t) = E 0 cos( ωt − βz) ~ix

(b) ~

E( x, y, z, t) = E 0 cos( ωt + βy + π) ~ix

H( x, y, z, t) = H 0 cos( ωt − βx) ~iy

(d) ~

E( x, y, z, t) = E 0 sin( ωt − βz) ~ix

(e) ~

H( x, y, z, t) = H 1 cos( ωt − βz) ~ix + H 2 cos( ωt − βz) ~iy (f) ~

E( x, y, z, t) = E 0 cos( ωt) cos( βz) ~ix (cos α cos β = 1 / 2 cos( α + β) + 1 / 2 cos( α − β)) Odp.:

(a) ~

E( x, y, z) = E 0e − j βz~ix

(b) ~

E( x, y, z) = −E 0ej βy~ix

H( x, y, z) = H 0e − j βx~iy

(d) ~

E( x, y, z) = − j E 0e − j βz~ix

(e) ~

H( x, y, z) = H 1e − j βz~ix + H 2e − j βz~iy ˆ

(f) ~

E( x, y, z) = E 0 cos( βz) ~ix

2. Przekształć równania Maxwella dotyczące pól elektrycznych i magnetycznych zależnych od

czasu do postaci harmonicznej (niezależnej od czasu).

3. Korzystając z pojęcia amplitud harmonicznych, określ dla jakiego parametru β pole elektryczne w postaci ~

E( x, y, z, t) = E 0 cos( ωt − βz) ~ix może rozchodzić się w próżni.

√

Odp.: β = ω µ 0 ε 0

4. Prąd przesunięcia w pewnym ośrodku nieprzewodzącym ( µr = 4 i εr = 9) przedstawić można âmplitudą harmoniczną ~

Jd = J 0e − j βz~ix, gdzie J 0 = 12 A/m 2 oraz β = 120 π rad /m. Zapisz pełną postać pola elektrycznego i magnetycznego.

Odp.: ~

E( x, y, z, t) = E 0 sin( ωt − βz) ~ix oraz ~

H( x, y, z, t) = H 0 sin( ωt − βz) ~iy, gdzie E 0 = 8 V/m, H 0 = 0 . 1 /πA/m, zaś ω = 6 π · 109rad /s

5. Korzystając z zapisu harmonicznego obliczyć natężenie pola elektrycznego i prąd przesunięcia w ośrodku nieprzewodzącym i niemagnetycznym ( µr = 1), gdy istnieje w nim pole magnetyczne

H( x, y, z, t) = H 0 sin( ωt) cos( βz) ~iy, gdzie H 0 = 3 A/m, ω = 6 π · 107rad /s oraz β = π rad /m Odp.: ~

E( x, y, z, t) = −E 0 cos( ωt) sin( βz) ~ix oraz ~

Jd( x, y, z, t) = J 0 sin( ωt) sin( βz) ~ix, gdzie E 0 =

72 πV /m, zaś J 0 = 3 πA/m 2

Uogólniony opis fali płaskiej

1. Wyznacz wektor falowy, amplitudę, częstotliwość, długość i kierunek rozchodzenia się fali elek-tromagnetycznej w próżni w poniższych przypadkach:

(a) ~

E( x, y, z, t) = 106 cos( ωt − 200 πy) ~ix

(b) ~

H( x, y, z, t) = 0 . 2 cos( ωt − 300 πy − 400 πz) ~ix ˆ

E( x, y, z) = 2 . 5 · 106e − 130 π j( x−y) ~iz ˆ

(d) ~

H( x, y, z) = (80 ~ix + 60 ~iy)e − j400 πz

(e) ~

E( x, y, z) = (3000 ~iy − 4000 ~iz)e − 200 π j( x− 4 y− 3 z) ˆ

(f) ~

H( x, y, z) = 250(2 ~ix −~iy + 2 ~iz)e2 π j(2 x+2 y− 1 z) Odp.:

(a) ~k = 200 π~iy, E 0 = 106 V/m, f = 30 GHz, λ = 1 cm, ~ik = ~iy (b) ~k = 100 π[0 , 3 , 4], H 0 = 0 . 2 A/m, f = 75 GHz, λ = 4 mm, ~ik = [0 , 3 / 5 , 4 / 5] √

√

(c) ~k = 130 π[1 , − 1 , 0], E 0 = 2 . 5 · 106 V/m, f ≈ 27 . 58 GHz, λ ≈ 1 . 09 cm, ~ik = [ 2 / 2 , − 2 / 2 , 0]

(d) ~k = 400 π~iz, H 0 = 100 A/m, f = 60 GHz, λ = 5 mm, ~ik = ~iz (e) ~k = 200 π[1 , − 4 , − 3], E 0 = 5000 V/m, f ≈ 152 . 97 GHz, λ ≈ 1 . 96 mm,

√

~ik = [ 26 / 26 , − 2 26 / 13 , 3 26 / 26]

(f) ~k = 2 π[ − 2 , − 2 , 1], H 0 = 750 A/m, f = 900 MHz, λ = 1 / 3 m, ~ik = [ − 2 / 3 , − 2 / 3 , 1 / 3]

2. Czy dane natężenia pól mogą opisywać falę płaską rozchodzącą się w

(a) próżni: ~

E( x, y, z, t) = 104(3 ~ix + 4 ~iy) cos(4 . 5 π 109 t + 12 πx − 9 πy) ˆ

(b) ośrodku µ

r = 2, εr = 3: H ( x, y, z) = 2 . 2 · 10 − 4( ~ix −~iy + 3 ~iz )e − 30 π j( x− 2 y−z) (c) ośrodku µr = 1, εr = 16: ~

H( x, y, z, t) = (2 ~ix − 3 ~iy − 3 ~iz) cos(1 . 5 π 1010 t − 50 π(3 x + 3 y − 1 z)) ˆ

(d) próżni: ~

E( x, y, z) = 1000(2 ~i

x − 3 ~iz)e − 100 π j y, H ( x, y, z) = (2 ~ix + 3 ~iz)e − 100 π j y Odp.:

√

(a) Tak. ~

E ⊥ ~k oraz β = ω µ 0 ε 0

√

(b) Tak, jeżeli f = 4 . 5 GHz. ~

H ⊥ ~k zaś β = 30 6 π rad /m

√

H ⊥ ~k, zaś β 6= ω µε

(d) Nie, nawet gdy f = 15 GHz. ~

E ⊥ ~k, ~

H ⊥ ~k, ~

E ⊥ ~

H, jednak ~

E 6= Z ~

f H ×~ik

3. Amplituda harmoniczna pola elektrycznego fali płaskiej rozchodzącej się w próżni ma postać ˆ

E( x, y, z) = (2 ~ix + 3 ~iy + 4 ~iz)e − j π(2 x+4 y+ pz). Wyznacz stałą p oraz towarzyszące fali pole magnetyczne.

Odp.: p = − 4 oraz ~

H( x, y, z, t) = (14 ~ix − 8 ~iy −~iz) /(360 π) cos(1 . 8 π · 109 t − 2 πx − 4 πy + 4 πz) 4. Zapisz równanie fali płaskiej (pole elektryczne i magnetyczne) rozchodzącej się w ośrodku nieprzewodzącym wykorzystując następujące dane:

(a) ~

E 0 = 240 π( − 3 ~ix + ~iy), f = 3 GHz, µr = 1, εr = 4 oraz ~ik = ~iz (b) H 0 = 300 A/m, ~k = 20 π( − 2 ~ix −~iy + 2 ~iz), µr = 36 oraz εr = 9, pole elektryczne nie posiada składowej w kierunku osi x.

Odp.:

(a) ~

E( x, y, z, t) = 240 π( − 3 ~ix + ~iy) cos( ωt − βz) oraz ~

H( x, y, z, t) = 4( −~ix − 3 ~iy) cos( ωt − βz),

gdzie ω = 6 π · 109rad /s, zaś β = 40 π rad /m.

√

(b) ~

E( x, y, z, t) = 14400 5 π(2 ~iy+ ~iz) cos( ωt− 20 π( − 2 x−y+2 z)) oraz ~

H( x, y, z, t) = 20 5( − 5 ~ix+

2 ~iy − 4 ~iz) cos( ωt − 20 π( − 2 x − y + 2 z)), gdzie ω = π · 109rad /s.

5. Pod jakim kątem fala płaska w postaci ~

E( x, y, z) = ( ~iy + ~iz)e −π j( y−z) V/m pada na powierzchnię dielektryka o parametrach umieszczonego w półprzestrzeni z < 0? Przyjmujemy, że kąt mie-rzony jest pomiędzy kierunkiem padania fali, a prostą normalną do granicy ośrodków.

Odp.: Niech ~n = −~iz oznacza wersor normalny do granicy ośrodków, wtedy ~n ◦ ~ik = cos α.

Ostatecznie α = π/ 4.

Ośrodki stratne

1. Dla jakiego parametru γ pole elektryczne o amplitudzie harmonicznej ~

E = E 0e −γz~ix może

rozchodzić sie w ośrodku o przenikalnościach µ, ε i przewodności σ.

Odp.: γ =

j ωµ(j ωε + σ)

2. Wyprowadź uproszczone wyrażenia na współczynnik tłumienia α i współczynnik propagacji β

dla dobrego dielektryka ( ωε >> σ) i dobrego przewodnika ( ωε << σ).

√

Wskazówka:

1 + x ≈ 1 + x/ 2 dla |x| << 1.

Odp.:

√

• dla dobrego dielektryka ( ωε >> σ) α = σ

µ oraz β = ω µε

ε q

• dla dobrego przewodnika ( ωε << σ) α = β =

ωµσ

3. W ośrodku o parametrach µr = 10, εr = 36 i σ = 2 · 10 − 3 S/m rozchodzi sie elektromagnetyczna fala płaska. Wyznacz długość i prędkość fazową fali oraz odległość na której jej amplituda

zmaleje pięciokrotnie. Przyjmij, że częstotliwość wynosi

(a) f = 1 kHz

(b) f = 1 GHz

Odp.:

√

(a) λ = 500 2 m, v = 5 2 · 105 m/s oraz d

5 = 250

ln 5

√

(b) λ = 5 10 · 10 − 3 m, v = 5 10 · 106 m/s oraz d 10

5 = 5

ln 5

4. Wyprowadź uproszczone wyrażenia na impedancję falową ośrodka Z

jωµ

f =

w przypadku

jωε+ σ

dobrego dielektryka ( ωε >> σ) i dobrego przewodnika ( ωε << σ).

Wskazówka:

√

≈ 1 − x/ 2 oraz e x ≈ 1 + x dla |x| << 1.

1+ x

Odp.:

• dla dobrego dielektryka ( ωε >> σ) Z

f =

e j σ

2 ωε

• dla dobrego przewodnika ( ωε << σ) Z

ωµ

f =

e j π 4

5. W ośrodku o parametrach µr = 4, εr = 9 i σ = 5 · 10 − 5 S/m rozchodzi się elektromagnetyczna fala płaska postaci ~

E( x, y, z, t) = E 0e −αx cos( ωt − βx) ~iy, gdzie E 0 = 160 πV/m, a częstotliwość f = 1 GHz. Wyznacz wartości współczynników α, β i ω oraz zapisz pełną postać pola magnetycznego towarzyszącego fali (korzystając z relacji impedancyjnej).

Odp.: Zakładając, że ośrodek jest dobrym dielektrykiem ( σ = 10 − 4 << 1) otrzymujemy: α =

ωε

2 π · 10 − 3 m− 1, β = 40 π rad /m, ω = 2 π · 109rad /s oraz ~

H( x, y, z, t) = H 0e −αx cos( ωt − βx − ϕ) ~iz, gdzie ϕ = 5 · 10 − 5rad, zaś H 0 = 2 A/m

Polaryzacja fali płaskiej

1. Rozważmy zbiór fal płaskich o tych samych częstotliwościach rozchodzących się w tym samym kierunku, mających jednak różne przesunięcia fazowe i amplitudy (na przykład w kierunku osi

Oz: ~

E( n)( x, y, z, t) = [ E( n)

0 x , E( n)

0 y , 0] cos( ωt − βz + ϕ( n)) dla n = 1 , .., N ). Pokazać, że złożenie takich fal zapisać można w postaci: ~

E( x, y, z, t) = E 0 x cos( ωt − βz + ϕx) ~ix + E 0 y cos( ωt − βz +

ϕy) ~iy.

Odp.: ~

E( x, y, z, t) =

E( n)( x, y, z, t) = E

n=1

0 x cos( ωt − βz + ϕx) ~ix + E 0 y cos( ωt − βy + ϕy) ~iy, q

gdzie E

E( n) sin ϕ( n)

n=1

0 x

0 x =

( E( n)

oraz tan ϕ

n=1

0 x )2, E 0 y =

n=1

0 y )2, tan ϕx =

y =

E( n) cos ϕ( n)

n=1

0 x

P N E( n) sin ϕ( n)

n=1

0 y

P N E( n) cos ϕ( n)

n=1

0 y

2. Dla jakich wartości parametrów E 0 x, E 0 y, ϕx i ϕy pole elektryczne w postaci: ~

E( x, y, z, t) =

E 0 x cos( ωt−βz+ ϕx) ~ix+ E 0 y cos( ωt−βz+ ϕy) ~iy jest spolaryzowane: liniowo, kołowo i eliptycznie.

Odp.:

• liniowo: E 0 x, E 0 y dowolne, natomiast ϕy −ϕx = mπ, gdzie m jest dowolną liczbą całkowitą.

• kołowo: E 0 x = E 0 y, zaś ϕy − ϕx = ±π/ 2 + 2 mπ, gdzie m jest dowolną liczbą całkowitą. W

szczególności gdy ϕy −ϕx = π/ 2+2 mπ jest to polaryzacja kołowa lewoskrętna, natomiast, gdy ϕy − ϕx = −π/ 2 + 2 mπ prawoskrętna.

• eliptycznie: wszystkie niewymienione powyżej przypadki.

3. Wektor pola elektrycznego fali płaskiej ma postać ~

E( x, y, z, t) = 2 cos( ωt − βz + π/ 4) ~ix +

2 cos( ωt − βz + ϕ) ~iy. Określ polaryzację fali dla wartości parametru ϕ wybranych ze zbioru ϕ ∈ { 0 , ±π/ 4 , ±π/ 2 , ± 3 π/ 4 , ±π}

Odp.:

• liniowa dla ϕ ∈ {− 3 π/ 4 , π/ 4 }

• kołowa lewoskrętna dla ϕ ∈ { 3 π/ 4 } oraz prawoskrętna dla ϕ ∈ {−π/ 4 }

• eliptyczna w pozostałych przypadkach

4. Określ polaryzację fali o amplitudzie harmonicznej ~

H( x, y, z) = [1 + j , 1 − j , 0]e − j βzA/m Odp.: Kołowa prawoskrętna

5. Wykazać, że polaryzacja liniowa jest superpozycją dwóch fal o polaryzacji kołowej lewo- i prawoskrętnej o równych amplitudach.

Odp.: Załóżmy, że fale rozchodzą sie wzdłuż osi Oz:

E 1( x, y, z) = E 0e j( −βz+ ϕ 1) ~ix + E 0e j( −βz+ ϕ 1+ π/ 2) ~iy oraz

E 2( x, y, z) = E 0e j( −βz+ ϕ 2) ~ix + E 0e j( −βz+ ϕ 2 −π/ 2) ~iy.

Wówczas ~

E( x, y, z) = ~

1( x, y, z) + E 2( x, y, z) = E 0e j ϕ 1+ ϕ 2

[cos( ϕ 1 −ϕ 2 ) ~i

) ~i

x − sin( ϕ 1 −ϕ 2

y]e − j βz.

Wektor Poyntinga. Zasada zachowania energii.

1. Wyprowadź twierdzenie Poyntinga w postaci różniczkowej i całkowej (wskazówka: skorzystaj z wyrażenia na gęstość mocy traconej w polu elektromagnetycznym p = ~

E ◦ ~

J, równań Maxwella

oraz tożsamości ~

∇ ◦ ( ~

A × ~

B) = ( ~

∇ × ~

A) ◦ ~

B − ~

A ◦ ( ~

∇ × ~

B)).

Odp.: Postać różniczkowa: ~

E ◦ ~

J + ~

∇ ◦ ( ~

E × ~

H) + ~

E ◦ ∂ ~D + ~

H ◦ ∂ ~B = 0.

∂t 

∂t



ZZZ

∂ ~

Postać całkowa:

E ◦ ~

J d V + ( ~

E × ~

H) ◦ ~

d S +

 ~

E ◦

+ ~

H ◦

 d V = 0.

∂t

2. W ośrodku o parametrach µr = 1, εr = 9 i σ = 0 rozchodzi się fala elektromagnetyczna postaci

H( x, y, z, t) = H 0 cos( ωt − βz) ~iy gdzie H 0 = 60 A/m oraz f = 100 MHz. Wyznacz:

• wektor Poyntinga

• gęstość mocy traconej

• gęstość energii zmagazynowanej

• gęstość mocy zmagazynowanej

• oraz sprawdź słuszność twierdzenia Poyntinga w dowolnym punkcie pola

Odp.: Przyjmując, że Zf = 40 πΩ ω = 2 π 108rad /s oraz β = 2 π rad /m

• wektor Poyntinga: ~

S( x, y, z, t) = H 2 Z

f cos2( ωt − βz) ~iz

• gęstość mocy traconej: p( x, y, z, t) = 0

• gęstość energii zmagazynowanej: wEM = µH 2 cos2( ωt − βz)

• gęstość mocy zmagazynowanej: pEM = −ωµH 2 sin(2 ωt − 2 βz) 0

3. Wykonaj poprzednie zadanie przyjmując, że σ = 4 · 103 S/m (zmieni się w tym przypadku również postać pola: ~

H( x, y, z, t) = H 0e −αz cos( ωt − βz) ~iy).

Odp.: Zakładając, że ośrodek jest dobrym przewodnikiem ( σ = 80000 >> 1), mamy α = β =

ωε

√

400 π rad /m oraz Zf = |Zf | e jϕ = 0 . 1 π 2e j π 4

√

• wektor Poyntinga: ~

S( x, y, z, t) = 2 H 2 |Z

f | e − 2 αz(1 + cos(2 ωt − 2 βz) − sin(2 ωt − 2 βz)) ~iz

• gęstość mocy traconej: p( x, y, z, t) = 1 H 2 ωµ e − 2 αz(1 − sin(2 ωt − 2 βz)) 2

• gęstość energii zmagazynowanej:

εω

EM = 1 H 2 µ e − 2 αz

(1 − sin(2 ωt − 2 βz)) + 1 + cos(2 ωt − 2 βz)

≈ 1 H 2 µ e − 2 αz (1 + cos(2 ωt − 2 βz)) 4

• gęstość mocy zmagazynowanej:

εω

EM = − 1 ωµH 2e − 2 αz

cos(2 ωt − 2 βz) + sin(2 ωt − 2 βz)

≈ − 1 ωµH 2e − 2 αz sin(2 ωt − 2 βz)

4. Korzystając z rachunku harmonicznego wyprowadź wyrażenie na średnią wartość wektora Poyn-

tinga, mocy traconej oraz energii i mocy zmagazynowanej w polu elektromagnetycznym i zapisz

twierdzenie Poyntinga w postaci harmonicznej.

Odp.:

• uśredniony w czasie wektor Poyntinga: < ~

S( x, y, z, t) > = Re[ ~

S( x, y, z)], gdzie ~

S( x, y, z) =

1 ˆ

E × ~

H∗ jest zespolonym wektorem Poyntinga

• uśredniona w czasie gęstość mocy traconej: < p( x, y, z, t) > = 1Re[ ~

E ◦ ~

J∗].

• uśredniona w czasie gęstość energii zmagazynowanej w polu elektrycznym:

< w

E ( x, y, z, t) > = 1 Re[ E ◦ D∗]

• uśredniona w czasie gęstość energii zmagazynowanej w polu magnetycznym:

< w

M ( x, y, z, t) > = 1 Re[ B ◦ H ∗]

• uśredniona w czasie gęstość mocy zmagazynowanej w polu elektrycznym:

< p

E ( x, y, z, t) > = 1 ω Im[ E ◦ D∗]

• uśredniona w czasie gęstość mocy zmagazynowanej w polu magnetycznym:

< p

M ( x, y, z, t) > = − 1 ω Im[ B ◦ H ∗]

• Twierdzenie Poyntinga w postaci:

różniczkowej: ~

E ◦ ~

J∗ + ~

∇ ◦ ( ~

E × ~

H∗) + j ω ~

H∗ ◦ ~

B − ~

E ◦ ~

D∗ = 0,

ZZZ

całkowej:

E ◦ ~

J∗ d V + ( ~

E × ~

H∗) ◦ ~

d S + j ω

H∗ ◦ ~

B − ~

E ◦ ~

D∗ d V = 0

5. Wykonaj zadanie 3 korzystając z rachunku amplitud harmonicznych (obliczyć wartości średnie szukanych wielkości).

Odp.:

• zespolony wektor Poyntinga: ~

S( x, y, z) = 1 H 2 |Z

f | e − 2 αz e j π/ 4 ~iz. Stąd:

√

< ~

S( x, y, z, t) > = 2 H 2 |Z

f | e − 2 αz~iz

• uśredniona w czasie gęstość mocy traconej: < p( x, y, z, t) > = 1 H 2 ωµ e − 2 αz 2

• gęstość energii zmagazynowanej w polu elektrycznym:

< w

E ( x, y, z, t) > = εω µH 2e − 2 αz ≈ 0

σ 4

• gęstość energii zmagazynowanej w polu magnetycznym:

< wM( x, y, z, t) > = 1 µH 2e − 2 αz

• gęstość mocy zmagazynowanej w polu elektrycznym:

< pE( x, y, z, t) > = 0

• gęstość mocy zmagazynowanej w polu magnetycznym:

< pM( x, y, z, t) > = 0

Pola na granicy ośrodków. Warunki brzegowe

1. Niech ~n będzie ustalonym wersorem w przestrzeni trójwymiarowej. Pokazać, że dowolny wektor

~a można rozłożyć na składowe w kierunku równoległym i prostopadłym do wersora ~n, tzn.

~a = ~ak + ~a⊥, gdzie ~ak = ( ~a◦~n) ~n jest składową równoległą, natomiast ~a⊥ = ~a−~ak = −( ~a×~n) ×~n składową prostopadłą. (Wskazówka: ~

A × ( ~

B × ~

C) = ~

B( ~

A ◦ ~

C) − ~

C( ~

A ◦ ~

B) )

2. Rozłóż dany wektor pola na składową normalną i styczną do danej powierzchni: (a) wektor: ~

E = [1 , 2 , 3], płaszczyzna: y = 1

(b) wektor: ~

H = 5 ~ix − 2 ~iy − 6 ~iz, płaszczyzna: x + y + z = 0

E = 3 ~i% −~iϕ + 2 ~iz, powierzchnia: % = 4

(d) wektor: ~

H = 2 ~ir + ~iθ − 3 ~iϕ, powierzchnia: r = 2

Odp.:

(a) ~

En = [0 , 2 , 0], ~

Es = [1 , 0 , 3]

(b) ~

Hn = [ − 1 , − 1 , − 1], ~

Hs = [6 , − 1 , − 5]

En = 3 ~i%, ~

Es = −~iϕ + 2 ~iz

(d) ~

Hn = 2 ~ir, ~

Hs = ~iθ − 3 ~iϕ

3. Pokazać, że na granicy dwóch ośrodków spełnione są zależności:

D 2 n − ~

D 1 n = %s~n

B 2 n − ~

B 1 n = 0

H 2 s − ~

H 1 s = ~

Js × ~n

E 2 s − ~

E 1 s = 0

gdzie indeks dolny n oznacza składową normalną, a s składową styczną danego pola, %s jest gęstością powierzchniową ładunku, ~

Js jest gęstością liniową prądu powierzchniowego, zaś ~n jest

wersorem normalnym do powierzchni granicznej zwróconym z ośrodka (1) do (2).

4. Dana jest powierzchnia graniczna y = x rozdzielająca dwa ośrodki: w półprzestrzeni y > x powietrze (1) oraz materiał (2) o parametrach µr = 2 i εr = 3 w półprzestrzeni y < x. Na

√

powierzchni zgromadzony jest ładunek %s = 6 ε 0 / 2. Określić pola w ośrodku (2), jeżeli w ośrodku (1) pole ma postać: ~

E 1 = 3 ~iy, ~

H 1 = ~ix − 2 ~iy.

Odp.:

E 2 = [2 , 1 , 0] oraz ~

H 2 = [1 / 4 , − 5 / 4 , 0]

5. Płaszczyzna 0 xz jest granicą dwóch ośrodków. Pierwszy o parametrach µr 1 = 2, εr 1 = 1 dla y > 0, drugi µr 2 = 1, εr 2 = 1 dla y < 0. Po płaszczyźnie płynie prąd powierzchniowy ~

Js =

2 ~ix. Wyznaczyć natężenie pola magnetycznego w drugim ośrodku, jeżeli w ośrodku pierwszym

H 1 = [1 , 1 , 1].

Odp.:

H 2 = [1 , 2 , − 1]