WEKTORY W PRZESTRZENI 1. Wyznacz odległość punktu A(−3, −4, 5) od każdej z: a. osi układu współrzędnych, b. płaszczyzn układu współrzędnych.

2. Dla punktu A(2, −1, 3) wyznacz współrzędne: a. rzutu prostokątnego A na płaszczyznę 0yz, b. obrazu A w symetrii względem płaszczyzny 0xz.

3. Mając dane wektory ~b = [3, 5, 8], ~

u = [2, −4, −7], −

→

m = [6, 1, 4],

wyznacz cosinusy kierunkowe wektora ~i = 4~b + 3~

u − −

→

m.

−→

4. Punkty A, S należą do płaszczyzny 0xy, zaś wektor AS tworzy z wersorem osi 0x kąt 2π. Wyznacz cosinusy kierunkowe wektora 3

−→

AB.

5. Zbadaj liniową niezależność wektorów −

→

w = [2, 3, 1], ~

u = [1, 0, 4],

~j = [0, 3, 2].

6. Dane są wektory −

→

u1 = [0, 0, 2], −

→

u2 = [0, 3, 0], −

→

u3 = [1, 0, 0].

a. Zbadaj, czy dowolny wektor ~

v = [x, y, z] może być kombinacja

liniową wektorów −

→

u1, −

→

u2 oraz −

→

u3.

b. Zapisz współrzędne wektora ~a = [−5, 6, −4] w tej bazie.

7. Sprawdź, czy wektory ~h = [1, 1, 0], ~

e = [0, 1, 1], ~j = [1, 0, 1] tworzą bazę w

3

R . Jeśli tak, przedstaw w niej wektor ~

a = [3, −4, 2].

8. Dane są punkty A(1, 2, 3, ), B(−1, 3, 0), C(−1, 2, 3), D(1, 2, 3).

−→ −−→

Wyznacz iloczyn skalarny wektorów AB i CD.

9. Wektor ~

v jest równoległy do płaszczyzny 0xy i prostopadły do wektora ~

u = [5, −3, 4]. Ponadto |~

v| = |~

u|. Wyznacz współrzędne

wektora ~

v.

10. Długość każdego z wektorów ~k, ~

o, ~

p jest jest równa 1. Oblicz wartość sumy ~k~

o + ~k~

p + ~

o~

p, jeśli ~k + ~

o + ~

p = ~0.