Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW
Prowadzący: dr hab. inż. Krzysztof KALIŃSKI, prof. nadzw. PG
Katedra Mechaniki i Mechatroniki
109 WM, kkalinsk@o2.pl
Konsultacje: wtorek 15:00 – 16:00
czwartek 15:00 – 16:00
Wiadomości organizacyjne
1.Wykład
30 godzin – zalecana obecność
2.Ćwiczenia audytoryjne 15 godzin – obecność obowiązkowa
3.Ćwiczenia laboratoryjne 15 godzin – obecność obowiązkowa
4. Zaliczenie ćwiczeń i laboratorium
5. Egzamin: teoria + zadania
– obejmuje materiał wykładów oraz ćwiczeń
– warunek konieczny – zaliczone ćwiczenia i laboratorium
– zwolnienie z części zadaniowej – ocena z ćwiczeń ≥ 4
https://sites.google.com/a/mech.pg.gda.pl/krzysztof-kalinski/
Literatura:
1.Misiak J.: Mechanika techniczna. Statyka i wytrzymałość materiałów. WNT, Warszawa 1996
2.Niezgodziński M.E., Niezgodziński T.: Wzory, wykresy i tablice wytrzymałościowe. WNT, Warszawa 1996
3.Dyląg Z., Jakubowicz A., Orłoś Z.: Wytrzymałość materiałów.
WNT, Warszawa, t. I 1996, t. II1997
4.Walczyk Z.: Wytrzymałość materiałów. Wyd. PG, Gdańsk t. I 2000, t. II 2001
5.Bąk R., Burczyński T.: Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia komputerowego. WNT, Warszawa 2001
Złożone przypadki wytrzymałości pręta prostego
Superpozycja elementarnych przypadków wytrzymałości pręta.
Złożony przypadek wytrzymałości pręta – w jego przekroju działają co najmniej dwie spośród sześciu możliwych składowych sił
wewnętrznych.
Traktując pręt jako ciało liniowo-sprężyste, naprężenia,
odkształcenia i przemieszczenia wywołane siłami wewnętrznymi podlegać mogą superpozycji.
Superponować można jedynie takie same naprężenia normalne lub styczne, działające na tej samej płaszczyźnie i w tym samym
kierunku. Dotyczy to również składowych stanu odkształcenia i wektora przemieszczeń.
Rozpatrywanie przypadku ogólnego (w przekroju pręta sześć
składowych sił wewnętrznych) jest kłopotliwe, ponieważ
elementarna teoria skręcania jest ważna tylko dla prętów o przekroju kołowym, a wzór Żurawskiego przy ścinaniu obowiązuje jedynie dla siły poprzecznej, działającej wzdłuż osi symetrii przekroju prostokątnego lub o łagodnie zmiennej szerokości.
Zginanie wraz z rozciąganiem lub ściskaniem pręta.
Jako przykład mimośrodowego ściskania pręta rozważmy poniższy rysunek.
Pręt obciążony jest dwoma równymi i przeciwnie zwróconymi siłami ściskającymi, o liniach działania równoległych do osi pręta. Dowolny przekrój pręta odległy o x od jego lewego końca ma główne centralne osie bezwładności y, z.
x
z
z
S
S
z
S
x
F
F
F
(yP, zP)
y
σ
y
y
r max
linia
obojętna
Mg
A(yA,zA)
z
M
Mg
gy
F
S
m
σ
F x
Mgz
c max
n
y,z
F
a (N = -F)
z
y
F (y
P zP
P, zP)
B(yB,zB)
y
y
Dodajemy dwie równe i przeciwnie zwrócone siły o wartości F, w środku geometrycznym przekroju S, a następnie zastąpimy siły, które tworzą parę (zaznaczone kreską), wektorem momentu. Siły wewnętrzne
w przekroju reprezentuje siła normalna N = - F oraz moment gnący Mg =
Fa. Jest on prostopadły do odcinka łączącego punkt przyłożenia siły zewnętrznej F o współrzędnych yP, zP ze środkiem geometrycznym przekroju S i nie pokrywa się z żadną z głównych centralnych osi bezwładności przekroju y lub z. Mamy więc do czynienia ze zginaniem ukośnym, czyli złożonym. Wektor momentu gnącego Mg rozkładamy na dwie składowe w kierunku osi głównych y i z: M
= − Fz
M
= Fy
gy
p
gz
p
Pręt podlega jednocześnie zginaniu prostemu momentem gnącym Mgy oraz Mgz i ściskaniu siłą N. Każda z tych sił wewnętrznych wywołuje w dowolnym punkcie przekroju o współrzędnych y, z naprężenie normalne, które w wyniku superpozycji wynosi:
gy
gz
=
+
−
A
I
I
y
z
Po uwzględnieniu sił wewnętrznych pochodzących od obciążenia F: σ (
F
zz
yy
y, z)
p
p
= − 1+
+
2
2
A
i
i
y
z
W trakcie odkształcenia pręta jego przekrój dokonuje obrotu wokół osi y oraz z i przemieszcza się w kierunku osi x. Ślad przecięcia się płaszczyzn przekroju po i przed odkształceniem wyznacza linię obojętną, która jest miejscem geometrycznym punktów przekroju, w których naprężenie normalne równa się zero. Równanie lini obojętnej otrzymujemy dla (σ = 0
y = y
z = z
0
0 ) w celu wyznaczenia punktów
przekroju:
y y
1
p
0
p
0
+
+
= 0
2
2
i
i
y
z
Powyższe równanie można przedstawić w postaci:
y
z
0
0
+
=1
m
n
2
i 2
iy
z
m = −
,
n = −
gdzie:
y
z odcinki odcięte przez linię obojętną na
p
p
osiach y i z.
Położenie lini obojętnej zależy jedynie od współrzędnych yp, zp punktu przyłożenia obciążenia i promieni bezwładności iy, iz. Linia obojętna dzieli przekrój na strefę rozciąganą i ściskaną.
Kryteria wytrzymałości pręta rozciąganego (ściskanego) i zginanego.
Naprężenia normalne są liniową funkcją odległości punktu od linii obojętnej. O wytrzymałości pręta decydują maksymalne co do wartości naprężenia rozciągające σ r max i ściskające σ c max, zgodnie z kryteriami wytrzymałości. Naprężenia te oblicza się podstawiając do wzoru współrzędne punktów najbardziej odległych od linii obojętnej (A i B).
Każdej linii obojętnej stycznej do konturu przekroju pręta odpowiada określone położenie punktu przyłożenia siły:
l. 0.2
3
1
z
4
2
l. 0.4
l. 0.1
l. 0.3
y
Zbiór punktów przyłożenia siły odpowiadających wszystkim liniom obojętnym stycznym do konturu przekroju pręta ogranicza obszar zwany rdzeniem przekroju. Jest to miejsce geometryczne punktów przyłożenia siły, dla których naprężenia w całym przekroju mają jednakowy znak.
Ma to istotne znaczenie dla materiału o dużej wytrzymałości na ściskanie i znikomej na rozciąganie.
Przykład 1
Zaprojektować średnicę d pręta, z którego należy wykonać ogniwa łańcucha, obciążonego siłą F = 791,3 kN. Założyć, że naprężenia w przekrojach BB pochodzą tylko od siły normalnej, czyli pominąć występujący tam również niewielki moment
d
gnący. Dane: a = 70 mm, σ dop = 140 Mpa.
a
Obliczy
ć zmniejszenie się nośności łańcucha
F
F
B
w przypadku pęknięcia na wskroś jednego
z przekrojów BB.
B
Średnicę d pręta należy wyliczyć z kryterium wytrzymałości pręta na rozciąganie:
F
2 F
≤ σ
⇒ d ≥
= 6 cm
d 2
dop
π
πσ dop
2
4
W przypadku pęknięcia ogniwa należy zastosować kryterium
wytrzymałości pręta na rozciąganie wraz ze zginaniem:
F ′
F a
′
N
M
+
≤ σ
g
+
≤ σ
2
3
dop
π
π
dop
d
d
A
W
czyli
4
32
Ponieważ σ dop jest jednakowe można przyrównać lewe strony powyższych nierówności:
F
F ′
F ′ a
F ′
=
+
⇒
=
d
= ,
0 048
2
2
3
d
π
d
π
d
π
F
2 d + 16 a
2
4
4
32
Zatem nośność łańcucha z pękniętym ogniwem F’ nie osiąga 5%
nośności pierwotnej F.
Przykład 2
Wyznaczyć rdzeń przekroju przedstawionego na poniższym rysunku.
z
b
A
10/9 b
2
a
1
2b
S
1
3
4
y
S2 1
C
8/9 b
a2
D
B
2b
σr max
+
-
linia obojętna
σcmax
Wyznaczenie środka geometrycznego:
1 1
2
b b
2
1
1
a
Moment statyczny = 0
a + a = b −
b
2 = b
1
2 2
=
1
2
3
3
a
b b
2
2
1
2
a = b
a =
b
1
9
2
9
Równanie linii obojętnej:
z z
y y
0
p
0
−
−
p =
1 1
1
2
=
+
=
A
b 2 b
2
b 2 b
3 b
2
2
i
i
y
z
2 2
26
5
4
4
=
=
Geometryczne momenty bezwładno
I
b
I
b
ści y
27
z
8
I
26
5
2
y
I z
=
2 =
2
2
2
2
=
=
a nast
i
i
i
b
i
b
ępnie
y
A
z
A
czyli
y
81
z
24
Jeśli w równaniu linii obojętnej wstawimy z 0 = const y 0 = const ,
równanie będzie można przedstawić prostą ze względu na yp, zp.
Oznacza to, że jeśli linia obojętna obraca się przechodząc przez stały punkt ( y 0, z 0), to miejsce przyłożenia siły przesuwa się po prostej.
Poszukujemy zatem równania prostej, po której przesuwa się siła F, kiedy linie obojętne przechodzą przez punkt A i obracają się wokół tego punktu. Jest to jednocześnie jedna z prostych tworzących kontur rdzenia przekroju.
z
y
p
p
b
10
+
=1
=
= + =
2
2
i
i
y
,
z
b
a
b
A
A
y
z
2
1
9
−
−
z
yA
A
gdzie:
i 2
5
2 2
5
z
−
= −
b
= − b
y
24
b
12 odcinek odcięty na osi y
A
26 2 9
13
−
= −
b
= −
b
z
81
1 b
0
45 odcinek odcięty na osi z
A
z p
+ yp =1
13
5
−
b
−
b
45
12
Równanie prostej 1, która przechodzi przez punkty 1, 3.
Podobnie jak dla punktu A sformułujemy równanie prostej, po której przesuwa się siła F, kiedy linie obojętne przechodzą przez punkt B. Jest to jednocześnie jedna z prostych tworzących kontur rdzenia przekroju 8
=
= − + = −
y
b,
z
b
a
b
B
B
1
9
2
i
5
iy
13
− z = −
b
−
=
z
y
b
⇒
p
+
p
=1
y
24
z
36
13
5
B
B
b
−
b
36
24
czyli równanie prostej 2, która przechodzi przez punkty 2 i 3.
Rdzeń przekroju jest czworobokiem. Dwa wierzchołki leżą na osi z.
Trzeci i czwarty wierzchołek jest punktem przecięcia się prostych 1 i 2
(oraz prostych leżących symetrycznie po drugiej stronie osi z).
Współrzędne przecięcia się prostych 1 i 2 otrzymane z rozwiązania układu ich równań wynoszą:
15
13
= −
= −
y
b
z
b
p
p
56
126
Wierzchołki czworoboku tworzącego rdzeń mają współrzędne:
13
13
15
13
15
13
1 ,
0 −
b
2 ,
0
b
3 −
b,−
b
4
b,−
b
45
36
56
126
56
126
Jeśli punkt przyłożenia siły leży na obszarze rdzenia przekroju, linia obojętna jest styczna lub leży poza przekrojem i dlatego występują w nim naprężenia jednakowego znaku. Jeśli punkt przyłożenia siły leży poza obszarem rdzenia przekroju, linia obojętna przecina przekrój, dzieląc go na strefę rozciąganą i ściskaną.
Przykład 3.
Pręt o przekroju z przykładu 2 jest obciążony mimoosiową siłą b
y = z = −
ściskającą F przyłożoną w punkcie C o współrzędnych p p
2 .
Obliczyć dopuszczalną wartość obciążenia F. Dane: σ dop = 100 MN/m2, b = 4 cm.
Równanie linii obojętnej ma postać:
y
z
0
0
+
=1
m
n
2
i
5
z
2 2
5
m = −
=
b
=
b
y
24
b
12
y
z
P
0
0
⇒
+
=1
2
iy
26 2 2
52
5
52
n = −
=
b
=
b
b
b
z
81
b
81
12
81
P
Maksymalne naprężenie rozciągające oraz ściskające panuje
b
10
A y
,
A =
z A =
b
odpowiednio w punkcie
2
9
oraz w punkcie
8
D y
,
D = − b z D = −
b
9
F
y y
z z
p
p
F
12 y
8 z
1
σ = −
1 +
+
= −
1 −
−
2
2
A
i
i
b
3 2
b
5
5 b
2
z
y
6
45
F
σ
= σ = −
1 − −
= ,
0 64
r max
A
2
2
3 b
5
26
b
F
12
18
F
σ
= σ = −
1 +
+
= − 5
,
1 9
c max
D
2
2
3 b
5
13
b
Ponieważ wartość bezwzględna σ
σ
c max jest większa od
r max
2
F
b σ
σ
≤ σ ⇒ 5
,
1 9
≤ σ
⇒ F
dop
≤
=101 kN
c max
dop
b 2
dop
5
,
1 9