Pochodna funkcji
1. Korzystając z definicji pochodnej funkcji, obliczyć:
√
√
a) f 0(1) , jeżeli f (x) = x x ,
b) f 0(1) jeżeli f (x) =
5 − x2
1
c) f 0(π/4) , jeżeli f (x) = cos2x .
d) pochodną funkcji f (x) = √ w punkcie x0 = a.
x
√
e) f 0(x) jeżeli f (x) = cos 3x.
f) f 0(x) jeżeli f (x) = 3 x .
2. Uzasadnić wzór na pochodną funkcji y = xn , n ∈ N .
3. Zbadać istnienie pochodnej funkcji f (x) = |x|x w punkcie x = 0 .
4. Podać przykład funkcji, która jest ciągła w całym zbiorze liczb rzeczywistych, ale nie ma pierwszej pochodnej dla x = 1 .
5. Sformułować i udowodnić twierdzenie o pochodnej iloczynu dwóch funkcji.
6. Obliczyć f 0(0), jeśli f (x) = x(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5).
sin(2 − x)
7. Obliczyć pochodną funkcji y =
.
cos x
√
x2
8. Oblicz f 0( 3), jeżeli f (x) =
.
x2 + 1
2
√
9. Obliczyć pochodną funkcji y = (sin 2x + x2) +
2 .
√
10. Oblicz f 0(π/6), jeśli f (x) =
sin 3x.
√
11. Obliczyć f 0(π/4) , jeżeli f (x) = 3 cos2 x .
√
12. Obliczyć y0( π ), jeśli y(x) =
1 + cos 2x .
4
13. Obliczyć lim f 0(x), jeśli f (x) = x2 sin 1 .
x
x→∞
14. Dana jest funkcja f (x) = cos23x + 3 x − log 5 . Rozwiąż równanie f0( 1 x) = 0 .
2
3
15. Dana jest funkcja f (x) = sin24x . Rozwiązać równanie f 0(x) = −2 .
16. Znaleźć wartości x , dla których 6f (x) = f 0(x), gdy f (x) = sin23x .
17. Znaleźć x , dla których f 0(x) + 4f (x) = 0 , jeśli f (x) = cos22x .
18. Wiedząc, że f (x) = x3 + 9x , rozwiązać nierówność f 0(x) > f 00(x) .
19. Wyznaczyć kąt, pod jakim tangensoida przecina oś OX .
√
√
20. Pod jakim kątem wykres funkcji y = sin( 3x) przecina oś OX w punkcie o odciętej x0 = π/ 3 ?
21. Napisać równanie stycznej do linii y = sin2x − x + 1 w punkcie o odciętej x = 0 .
22. W którym punkcie styczna do paraboli y = 2x2 + 3x + 5 jest równoległa do prostej x + y + 5 = 0 ?
√
23. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = 4 3 8 + sin 3x w punkcie x0 = 0.
√
24. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = x +
2 − x w jego punkcie przecięcia z osią Ox.
25. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = x4 − x + 1 równoległej do prostej y = 3x.
26. W jakim punkcie krzywej y = x3 −3x, styczna do tej krzywej jest prostopadła do prostej x+6y+1 = 0 ?
Napisz równania tych stycznych.
x2 + ax + b dla x < 0
27. Dla jakich współczynników a i b funkcja f (x) =
ma ciągłą pierwszą po-
sin x
dla
x 0
chodną?
28. Znaleźć kąt przecięcia się krzywych y = x2 − 1 oraz y = x − 1 .
√
29. Pod jakim kątem przecinają się krzywe y = x2 i y =
x ?
30. Podaj wzór funkcji f (x) takiej, że f 0(x) = x i f (0) = 1 .
KursPG.W G.