Potencjał zakłócający siły ciężkości, anomalie grawimetryczne
Podstawowe równanie geodezji fizycznej – pojęcie anomalii grawimetrycznej: W = U + T
n
P
W =const
P
N
Q
ν
U =const
Q
γQ
∂
U P = UQ +
U
N
Q cos( ,ν ) + ...
∂ν
n
U
∂
T = W − U − N
Q cos( ,
n
=
−
−
P
P
Q
ν ) W U
N
P
Q
γ cos( ,
Q
ν )
ν
n
∂
1
T
W
U
P −
Q
P
N =
−
cos( n ν
, ) γ
γ
Q
Q
2
∂
W
∂
U
∂
P
P
P
=
−
cos( ,
n ν ) = − g +
P
γ cos( ,
P
ν )
n
∂
n
∂
ν
n
∂
n
ν
W =C
P
P
S
U =C
P
2
G
ζ
Ho
Q′1
S1
U=W =C
P
1
Q1
Hn
P0
ν N
0
G0
U
S0
Q
0
0
Q′0
∂γ Q′0
γ
γ
ν
P =
Q′ +
( H o + N ) cos( , n ) + ...
0
0
0
∂ν0
3
γ
′
∂
0
0
∂
Q
o
Q
T
−
′
g + γ ′ +
H +
N
P
=
P
Q 0
∂ν
ν
0
∂
n
0
∂
γ
∂ Q 0 o
Ag =
′
g − γ ′ −
H
P
P
Q 0
ν
∂ 0
- koncepcja Mołodeńskiego
∂ T
γ
∂ Q′
P
0
AgP = −
+
ζ
∂ n
ν
∂ 0
Ag
= g −γ ′
0
P
0
P
0
Q
T
∂
γ
∂ ′
- koncepcja Stokesa
Ag
P
Q
0
0
= −
+
N
P 0
n
∂
ν
∂
0
0
4
N ≈ γ
- zależność Brunsa
Q
T
∂
1 ∂γ ′
Ag
Q 0
= −
+
T
0
n
∂
γ
- podstawowe równanie geodezji fizycznej n
∂
0
0
(Stokes)
Zaburzenie grawimetryczne:
1 ∂
g
∂
g
δ =
γ
Ag −
T = Ag −
N;
γ n
∂
n
∂
5
∂γ
1 ∂γ
2
Przybli
GM
2 GM
żenie dla Ziemi kulistej:
γ =
;
=
= −
;
= −
R
3
n
∂
R
∂
R
γ n
∂
R
T
∂
2γ
T
∂
2
Ag = −
−
N;
Ag = −
− T
r
∂
R
r
∂
R
2γ
2
g
δ = Ag +
N;
g
δ = Ag + T;
R
R
6
Redukcje i anomalie grawimetryczne 7
1
[ ]
5
0
0
0
1.
Redukcja i anomalia wolnopowietrzna oraz Faye’a
∂ g
1
2
∂ g 2
Rg
g
∂
γ
∂
wp = −
H −
H + ...
1
[
]
6
∂
≈
1
[ 7]
n
!
2
2
∂ n
n
∂
n
∂
2
2
∂ γ 3γ
2γ
3γ H
=
2
2
Rgwp =
H −
+... 1
[ ]
8
n
∂
a
2
a
a
2
Rg −
= 3
.
0 0855 H − 0
.
0 00000007
2
H + ... ≈ 3
.
0 086 H[ mGal]
1
[
]
9
wp Helmert
8
+ R
[2 ]
0
F
wp
T
Własności i interpretacja redukcji wolnopowietrznej: Dla kulistej jednorodnej Ziemi: M
dg
dg
2 g
2 g
g = G
[2 ]
1
0
0
0
=
= −
[2 ]
2
0
=
0
dg
−
dH
[2 ]
3
2
R
dH
dR
R
R
2 g H
2 g
0
0
g
∆ = −
∫ dH = −
H = 0
− 3
. 086 H[ mGal]
[2 ]
4
R
R
0
9
g
Rg
wp =
+
wp − γ 0
Ag
g
Rg
R
F =
+
wp +
T − γ
[2 ]
5
0
Zastosowanie:
2. Redukcja i anomalia Bouguere’a
H
g
δ
π σ
W = 2 G
H 1−
[2 ]
6
2 a
Rg = 2
− G
π H
σ = − .
0 0419 H
σ [ mGal] [27]
B
10
Własności i interpretacja redukcji Bouguere’a: Rg
= Rg + R = (0 3
. 086 − .
0 0419σ ) H[ mGal]
[2 ]
8
BY
wp
B
Anomalia Bouguere’a:
Ag
g
Rg
Rg
g
Rg
B =
+
wp +
B − γ =
+
BY − γ
[2 ]
9
Ag = g + Rg
+ Rg −γ = g + Ag + Rg 3
[
]
0
B
wp
B
0
wp
B
11
Anomalie Ag wykorzystuje si (lub Ag ):
B
ę do interpolacji anomalii Agwp
F
Ag = g + Rg
+ Rg −γ = Ag + Rg 3
[
]
1
B
wp
B
0
wp
B
Ag
= Ag + cH
3
[
]
2
(Ag – stała część anomalii; cH – zmienna część anomalii –
wp
B
B
zwana anomalią wysokościową) c = π
2
σ
G
Jeśli w anomalii Bouguera zawarta była redukcja topograficzna to również ona podlega interpolacji.
Sposób interpolacji anomalii wolnopowietrznych (lub Faya):
- odczytanie w danym rejonie wartości Ag , B
- obliczenie Ag
na podstawie Ag ,
wp
B
- interpolacja wartości Ag
miedzy punktami.
wp
12
3. Redukcja Poincarego-Preya Rg
= R + Rg + Rg + Rg + R′
3
[
]
3
PP
T
B
wp
B
T
Rg
= ( .
0 3086 − .
0 0838σ ) H + R + R′
[ mGal]
3
[
]
4
PP
T
T
Własności i interpretacja redukcji Poincarego-Preya: 13
Zastosowanie anomalii grawimetrycznych do wyznaczania odchylenia linii pionu Θα
W (geoida) P0
0
Θα
dN = −
ds
3
[
]
5
α
Θ
dN<0
U (elipsoida)
0
ds
Q0
1 ∂ N
Θ(α = 0) = ξ; ds = R ϕ
d
3
[
]
6
ξ = −
[38]
R ∂ϕ
π
Θ
1
∂ N
(α =
) = η;
ds = R cosϕ λ
d
3
[ 7]
η = −
[39]
2
R cos ϕ ∂λ
14
1. Wzór cosinusowy dla boku ψ.
λ′ -λ
90° -ϕ′
∂ N ∂ N ψ
∂ ∂ N ∂ N ψ
∂
.
2
=
=
[4 ]
0
90° -ϕ
ϕ
∂
ψ
∂
ϕ
∂
λ
∂
ψ
∂
λ
∂
2
dσ
.
3
σ
d
= R sinψ ψ
d
α
d
α
∂ψ
ψ
= −cosα
∂ϕ
P
[4 ]
1
∂ψ = −sinα cos
α
∂λ
ξ
π
π
1
2
c
osα
= −
∫ ∫ Ag ⋅ Q(ψ )
ψ
d
α
d
[4 ]
2
η
2π
s
=
=
inα
ψ
0 α 0
gdzie Q(ψ) jest funkcją Venig-Meinesza (pochodna funkcji Stokesa).
ρ ′
ψ
ψ
ψ
ψ ψ
2
1
2
3
Q(ψ ) =
ψ
cos
+12sin − 32sin
+
−12sin2 lnsin + sin2 [4 ]
3
2γ
2
ψ
2
2
ψ
2
2
2
cos
1+ sin
2
2
15
Podział obszaru na strefy i sektory i zsumowanie wpływu segmentów.
Strefy dalekiej ψ>10° →
Q(ψ )
B
Strefy bliskiej 0< r<1000km →
Q(ψ ) ≈ Q ( r) (B = 1339.6″; C = 0.000066″; D = 0.315″) 1
= + Cr + D
r
B
Strefy centralnej 0< r<5km →
Q(ψ ) ≈ Q ( r) =
c
r
∂ Ag
ξ
∂ x
= 0
− 1
.
5
0 ′ rc
[4 ]
4
η
∂ Ag
∂
y
dla r,x,y [km] i
Ag[mGal]
16