Zadania domowe z Analizy Matematycznej I - cz¸
eść 1b
(ci¸
agi i granice ci¸
agów)
Zadanie 1. Bezpośrednio z definicji granicy ciagu wykazać, że lim 2n+3+7 = 8.
,
n→∞
2n
√
√
Zadanie 2. Udowodnić, że jeśli an to ciag o wyrazach nieujemnych i lim a
a.
,
n→∞ an = a, to limn→∞ 5
n = 5
Zadanie 3. Obliczyć granice ci¸
agów
√
p
(a) an =
1
√
,
(b) b
9n2 +
n − 3n,
n2+n+7−n
n =
√
√
√
(c) cn = 3 2n3 + 3n2 + n − 3 2n3 + n2 − 1, (d) dn = n 3 n3 + n − n, (e) xn = n
p5 · 6n + 3 cos(3n),
(f ) fn = 4n−1−5 ,
3n+22n+1
q
(g) gn = n sin(n!) ,
(h) h
1 + 1 + 1 + . . . + 1 , n2+1
n = n
2
3
n
(i) in =
1
√
+
1
√
+ . . . +
1
√
,
(j) j
+
2
√
+ . . . +
n
√
,
n3+1
n3+2
n3+n
n =
1
√n4+n
n4+2n
n4+nn
(k) kn = (0, 9999 + 1 )n, (l) l
)n,
n
n = (1, 0001 − 1
n
n5
n
(m) m
n3+1
3n+1
n =
,
(n) y
,
n3
n =
7n−1
−14n
3−n
(o) o
7n+6
n
n =
,
(p) p
,
7n−1
n =
n+1
(r) rn = 1+2+···+n (−1)n3 .
(n)
3
Zadanie 4. Zbadać zbieżność ci¸
agów określonych rekurencyjnie i obliczyć ich granice, jeśli istniej¸
a:
a
b
(a)
0
=
1
√
(b)
1
=
1
an+1
=
3an + 18, n ≥ 0,
bn+1
=
6 · 1+cn , n ≥ 1,
7+cn
c
d
(c)
1
=
1
(d)
1
=
0
gdzie d ≥ 0.
cn+1
=
2cn − 1 c2 , n ≥ 1,
d
2 n
n
=
pd + dn−1, n ≥ 2,
Zadanie 5. Czy podane ci¸
agi s¸
a zbieżne? Odpowiedź uzasadnić.
n
Y
b
(a) a
1
=
b ∈ R
n =
(1 − 4−k)
(b)
b
n
=
1 − 1
bn−1, n ≥ 2
k=1
3n
Zadanie 6. Pokazać, że ciag b
,
n = cos n nie jest zbieżny.
Zadanie 7. Udowodnić przez indukcj¸
e, że n! >
n n dla n = 1, 2, . . .. Wykorzystuj¸ac udowodnion¸a nierówność 3
√
pokazać, że lim
n
n→∞
n! = ∞.
Zadanie 8. Niech a, b beda liczbami rzeczywistymi nieujemnymi, oraz a < b. Pokazać, że ciagi {x
,
,
,
n}, {yn}
określone w nastepujacy sposób
,
,
(
a
gdy n = 0
b
gdy n = 0
xn+1 =
√
yn+1 =
x
x
n + yn
nyn
gdy n ≥ 1
gdy n ≥ 1
2
maja wspólna granice. Jest to arytmetyczno-geometryczna średnia Gaussa.
,
,
,
ODPOWIEDZI:
3. (a) 2 (b) 0 (c)
2
√
(d) 1 (e) 6 (f) 1 (g) 0 (h) 1 (i) 0 (j) 1 (k) 0 (l) ∞ (m) ∞ (n) 0 (o) e−14 (p) e (r) 0
3 3 4
3
8
2
4. Podane ci¸
agi s¸
a zbieżne, bo s¸
a monotoniczne i ograniczone.
√
Szukane granice wynosz¸
a (a) 6 (b) 2 (c) 2 (d) 1+ 1+4d 2
5. Tak, s¸
a zbieżne.
8. Pokazać, że dla n ∈ N mamy xn ≤ yn. Nastepnie wykazać, że ciag x acy, zaś ciag y
acy.
,
,
n jest rosn ,
,
n jest malej ,
1