ep do analizy matematycznej
1
WST ¾
EP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ
1
Rachunek zdań, funkcja zdaniowa, kwanty…katory
Zad. 1 Udowodnić nast ¾
epuj ¾
ace prawa rachunku zdań (tautologie):
a) p _ (s q) ;
d) [ (p ) q) ^ (q ) r) ] ) ( p ) r ) ;
b) p , s (s p) ;
e) [ p ^ (( p ) q ))] ) q;
c) ( p ) q ) , ( s q ) s p ) ;
f ) p _ (q ^ r) , (p _ q) ^ (p _ r) :
Zad. 2 Sprawdzić, czy nast ¾
epuj ¾
ace schematy zdań s ¾
a tautologiami:
a) [(p _ q) ^ (p ) q)] ) (q ) p) ;
i) [
(p ) q)] , (p ^
q) ;
b) p ) [( q ^ q) ) r ] ;
j) [(p ^ q) ) p] _ q;
c) [( p ) q ) ^ p] ) q ;
k) [
(p ^ q)] , [ p _
q] ;
d) [ (p ) q) ^ (q ) p) ] ) ( p _ q ) ;
l) (p ^ q) ) (p _ q) ;
e) [ (p ^ q) ) r] ) (p ) r) ^ (q ) r) ;
m) [p , (q _ r)] ) r;
f ) (p ) q) , [(p ^ q) , p] ;
g) (p _ q _ r) ) f
p ) [(q _ r) ^
p]g ;
n) f[(p _ r) , q] ^ rg ) ( p _ q) ;
h) [p ^ (q _ r)] , [(p ^ q) _ (p ^ r)] ;
o) [(p ) q) ) p] ) q:
Zad. 3 Wyznaczyć wykres funkcji zdaniowej ', której zakresem zmienności jest zbiór X, określonej w nast ¾
epuj ¾
acy sposób:
a) ' (x)
(log x
0);
X = R+;
b) ' (x)
(jx
1j < 2 ^ 2x > 0);
X = R;
c) ' (x)
(sin x 6= 0);
X = R;
d) ' (x)
(x2 < 3 ) x > 1);
X = R;
e) ' (x)
(x2 = 5);
X = N;
f ) ' (x)
(ex 1 >
1);
X = R;
g) ' (x)
(jxj = 4);
X = C;
h) ' ((an))
(ci ¾
ag (an) jest monotoniczny i ograniczony);
X =zbiór ci ¾
agów liczbowych rzeczywistych;
P
i) ' ((an))
( lim an = 1 i
an jest zbie·
zny);
X =zbiór ci ¾
agów liczbowych rzeczywistych;
n!1
j) ' ((f ))
(f 0(x) > 0 dla x 2 [0; 1]);
X =zbiór funkcji określonych na przedziale [0; 1]:
Zad. 4 Które spośród podanych formu÷s ¾
a zdaniami (określić ich wartość logiczn ¾
a), a które funkcjami
zdaniowymi:
!
V p
W p
p
a)
x2 + 6x + 9 = x + 3 _
x2 = x ;
V
c)
log x > 0
) cos 3 =
2 ;
x2R
x2R
4
2
x2R+
!
d) ln x
0;
V
W
W
b)
x2 > log (0; 5)
)
y2 = 10
;
e)
sin2 x
2;
x2R
y2R
x2R
2007
EM
ep do analizy matematycznej
2
V
V W
f )
sin2 x + cos2 x = 1;
m)
y
x = 2;
x2R
x2N y2N
W
g)
sin2 x + cos2 x = 1;
n)
x : x2
4 < 0 = (0; 2) ;
x2R
P
o)
1
f
n=1
n (x) jest zbie ·
zny;
h) x2 + y2 = 4;
n
p)
lim
1
1
= e;
W W
n!1
n
i)
x2 + y2 = 4;
V
x2N y2N
q)
(sin x)0 > 0;
V W
x2R
j)
x2 + y2 = 4;
W
r)
(sin x)0 < 0;
x2R y2N
x2R
W V
k)
x2 + y2 = 4;
V
s)
a2 < b2 , a < b ;
y2R x2R
a;b2R
V
W W
l)
x2 + y2 = 4;
t)
a2 = b2 , a = b :
x2R
a2R b2R
Zad. 5 Napisać zaprzeczenie podanego zdania i określić jego wartość logiczn ¾
a:
V
V W
a)
(x > 0 ) x > 1) ;
g)
(x2 + y2
1 ) y = x);
x2R
x2R y2R
W
V
V W
h)
(n > x _ 3n < x) ;
b)
x2 < 0
_
x2 < 0 ;
x2R n2N
x2R
x2R
V W
V
i)
(y = sin x _ x = sin y) ;
c)
log2 (jxj + 1) > 0 _ x3
1 ;
x2R y2R
x2R
W
p
V
p
d)
2 x <
2 ^ x4
0 ;
j)
x2 = x ) x4 > 0 ;
x2R
x2R
V
V W
e)
n2 > 4 ) 2n > 4 ;
k)
log2 x < y2 ^ jxj = 2y ;
n2N
x>0 y<0
V V
W
W
f )
(xy > 0 _ jxj + y
0) ;
l)
x2 + y2 = 1:
x2R y2R
y 1 x> 1
Zad. 6 Wyznaczyć zbiór fx 2 R : ' (x)g, jeśli funkcja zdaniowa ' określona jest w nast ¾
epuj ¾
acy sposób:
W
V
a) ' (x)
(
3x
y = 0 );
d)
' (x)
(
3x
xy = 0 );
y2R
y2R
W
b) ' (x)
(
y = sin x );
V
e) ' (x)
(
y sin x = 0 );
y2R
y2R
V
c) ' (x)
(
y2 + xy + 1 < 0 );
y2R
f ) ' (x)
(arcsin (x + 1) = 0):
Zad. 7 Wyznaczyć zbiór
(x; y) 2 R2 : (x; y) , jeśli funkca zdaniowa
określona jest w nast ¾
epuj ¾
acy
sposób:
a)
(x; y)
(x
2y + 1 = 0 );
e)
(x; y)
(jx
yj = 4 );
b)
(x; y)
(xy
0 );
f )
(x; y)
(jxj + jyj
1 );
c)
(x; y)
(xy = 1 );
g)
(x; y)
(y > x + 1 ^ y < 1
x );
d)
(x; y)
(x2 + y2
9 );
h)
(x; y)
(y > x + 1 ) y < 1
x ):
Zad. 8 Zapisać, u·
zywaj ¾
ac symboli kwanty…katorów, nast ¾
epuj ¾
ace sformu÷
owania i określić ich wartość log-
iczn ¾
a (o ile s ¾
a zdaniami):
a) Ka·
zda liczba naturalna jest liczb ¾
a ca÷
kowit ¾
a.
2007
EM
ep do analizy matematycznej
3
b) Iloraz liczb naturalnych nie musi być liczb ¾
a naturaln ¾
a.
c) Iloraz liczb naturalnych mo·
ze być liczb ¾
a naturaln ¾
a.
d) Dla ka·
zdej liczby wymiernej mo·
zna dobrać liczb ¾
e ca÷
kowit ¾
a tak ¾
a, ·
ze ich iloczyn jest liczb ¾
a ca÷
kowit ¾
a.
e) Dla ka·
zdego " > 0 istnieje liczba naturalna K taka, ·
ze dla ka·
zdego n > K wyrazy ci ¾
agu an s ¾
a wi ¾
eksze
od ".
f ) Suma dwóch ci ¾
agów zbie·
znych jest ci ¾
agiem zbie·
znym.
g)
·
Zadna liczba rzeczywista nie jest rozwi ¾
azaniem równania x2 + 2 = 0:
h) Formu÷
a: ( x > 0) jest prawdziwa dla pewnej liczby rzeczywistej dodatniej.
x+1
i) Istnieje ci ¾
ag rosn ¾
acy.
j) Dla ka·
zdej liczby ca÷
kowitej x iloczyn f (x)f (y) jest dodatni, o ile y jest liczb ¾
a ujemn ¾
a.
2
Rachunek zbiorów
Zad. 9 Wyznaczyć A; B; A [ B; A \ B; A n B; B n A; A0; B0; jeśli a) A = N;
B = [ 1; 3];
b) A = Z;
B = fx 2 R : x2 = 5g;
c) A = [0; 2];
B = fx 2 R : jx
1j
1g;
d) A = (0; +1);
B = fx 2 R : log 1 x
1g:
2
Zad. 10 Wyznaczyć zbiór pot ¾
egowy 2X w przypadku, gdy
a) X = ;;
d) X = f;; ag;
b) X = fa; b; cg;
e) X = (0; 1);
c) X = ff1g; f1; 2gg;
f ) X = N:
Wskazać zbiory, dla których zbiór 2X ma skończon ¾
a ilość elementów.
Zad. 11 Wyznaczyć moc nast ¾
epuj ¾
acych zbiorów:
a) A = ;;
g) G = (0; 1)
(3; 4);
b) B = f;g;
h) H =zbiór liczb podzielnych przez 5;
c) C = fx 2 R : x2
x = 1g;
i) I =zbiór liczb ca÷
kowitych czterocyfrowych,
d) D = fx 2 R : x2
4 > 0g;
które mo·
zna utworzyć z cyfr 0; 1; 2; 3; 4;
e) E = f2n + 1 : n 2 Ng;
j) G =zbiór przedzia÷
ów postaci (a; b), gdzie
f ) F = f0; 1g
f3; 4g;
a; b 2 Q:
Zad. 12 Wyznaczyć i narysować zbiór:
a) f 1; 2; 4g
f2; 5g ;
e) [ 1; 4]
(2; 5] ;
b) f 1; 3; 4g
(1; 1) ;
f ) [ 2; 1]
[ 2; 4) ;
c) N
R;
d) (2; 5]
( 1; 1) ;
g)
(x; y) 2 R2 : y > x ^ y < 2x ;
2007
EM
ep do analizy matematycznej
4
h)
(x; y) 2 R2 : y
jxj _ x2 + y2 < 1 ;
l)
(x; y) 2 R2 : x
y + 2 < 0 ) jxj + jyj
0 ;
i)
(x; y) 2 R2 : y
jx
1j ^ y < jx + 1j ;
m)
(x; y) 2 R2 : x2 + y2
2x
2y
0 ) x > 1 ;
2
j)
(x; y) 2 R2 : y > 2x _ x > 2y ;
k)
(x; y) 2 R2 : y > x2 ) y = jxj ;
n)
(x; y) 2 R2 : y = log2 (jxj + 1) ^ y
0 :
Zad. 13 Wyznaczyć i narysować zbiory A; B; A [ B; A \ B; A n B; B n A; A0; B0; gdzie: a) A = [ 1; 1]
[0; 1] ; B = R
1 ; 4 ;
2
b) A = (x; y) 2 R2 : y > x ; B = (0; 1)
( 1; 2] :
Zad. 14 Udowodnić, ·
ze dla dowolnych zbiorów A; B; C
X zachodz ¾
a równości:
a) A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) ;
e) (A [ A0)0 = ;;
b) A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) ;
f ) (A n B) [ B = A;
c) (A \ B)0 = A0 [ B0;
g) A
(B [ C) = (A
B) [ (A
C) ;
d) A n (B [ C) = (A n B) n C;
h) (B \ C)
A = (B
A) \ (C
A) :
Zad. 15 Czy dla dowolnych zbiorów A; B; C
X zachodz ¾
a poni·
zsze równości? Uzasadnić odpowiedź.
a) A n (B \ C) = (A n B) \ (A n C) ;
e) (A [ B) n B = A;
b) (A [ B)0 = A0 \ B0;
f ) (A n C)
B = (A
B) \ (C
B) ;
c) A [ (B n C) = (A [ B) n (A \ C) ;
g) (A n B) n C = A n (B n C) ;
d) A n B = (A0 [ B)0 ;
h) A \ (B n C) = (A \ B) n (A \ C) :
S
T
Zad. 16 Wyznaczyć (narysować) kilka zbiorów z podanej rodziny, a nast ¾
epnie wyznaczyć
An i
An,
n2N
n2N
jeśli
a) An =
1 ; 3 + 1 ; n
f ) A
(0; n) ; n
n
n
2 N;
n =
0; 2
1
n
2 N;
b) An = ( 1)n 1 ; n! ; n
n
2 N;
g) An = f1; 2; :::; ng
[0; n] ; n 2 N;
i
c) An =
1 ; 1 ; n
h) A
; 1
n+1 n
2 N;
n =
1
n n
R; n 2 N;
d) A
i) A
n = [n; n + 1]; n 2 N;
n = fx 2 R : cosn x = 1g ; n 2 N;
e) An = [( 1)n; 1 + 1
j) A
2n ]; n 2 N;
n =
(x; y) 2 R2 : x 2 [0; 1] ^ 0
y
xn :
S
T
Zad. 17 Wyznaczyć (narysować) kilka zbiorów z podanej rodziny, a nast ¾
epnie wyznaczyć
At i
At, jeśli
a) At = (0; 1 ); t
g) A
t
2 R+;
t =
(x; y) 2 R2 : y
t jxj ; t 2 R+;
b) At = (0; t ); t
t+1
2 R+;
h) At = (x; y) 2 R2 : y
jx
tj ; t 2 R;
c) At = fx 2 R : jxj < tg ; t 2 R+;
d) A
i) A
t = fx 2 R : xt
1g ; t 2 R;
t =
(x; y) 2 R2 : x2 + y2
t2 ; t 2 R+;
e) At = fx 2 R : sin x = tg ; t 2 R;
j) At = (x; y) 2 R2 : x2 + y2
t2 ^ y
1 t ;
2
f ) At = [ 1; sin t] ; t 2 R;
t 2 R+:
2007
EM
ep do analizy matematycznej
5
3
Funkcja wymierna, wartość bezwzgl ¾
edna
Zad. 18 Rozwi ¾
azać równania i nierówności:
a) x3
1 > 0;
x2 + 1
h)
2;
x
b) x3
5x2 + 6x > 0;
c) x4
2x2 + 3
0;
2
i) x +
> 3;
x
4
1
d)
= 1;
x2
4
2
x
1
5
j) 1 +
<
;
16
4x2
x
4
x + 3
e)
0;
x
3
x
1
1
3
2x2 + x + 1
k)
<
+ 2;
f )
< 0;
x2
4
2
x
2 + x
x2
7x + 12
1
1
3
g)
;
l)
4 <
< 1:
x4
x3
x2
1
2x
Zad. 19 Rozwi ¾
azać nierówność f ( x) < 2 f (x), gdzie f (x) =
:
x + 1
(Odp. x 2 ( 1; 1) [ (0; 1) [ (3; +1))
Zad. 20 Rozwi ¾
azać równania i nierówności:
a) x2 + 2 jx + 5j
10 = 0;
h)
x2
2x > x;
b) jx
2j + jxj = 2;
1
i)
< 2;
c)
x2
4 = 5;
jx
4j
d) jx
4j
2;
1
2
j)
<
;
jx + 2j
jx
1j
e) j2x
3j < x;
f ) jx + 1j + x
1
x2;
k) jx + 2j
3 jxj
2;
p
p
g)
x2 + x + 3 < 3;
l)
x2 + 4x + 4 +
x2 > 4:
Zad. 21 Naszkicować wykres funkcji:
1
a) f (x) =
;
e) f (x) = x2
4 jxj + 4;
x2
p
f ) f (x) =
x2 + 6x + 9;
b) f (x) = j2x
4j ;
p
g) f (x) =
x4
4x2 + 4;
c) f (x) = x2
x ;
( 1
jx
1j dla x < 1;
dla jxj < 1;
d) f (x) =
h) f (x) =
x
x2
x
dla x
1;
2x
1 dla jxj
1:
Zad. 22 Wyznaczyć zbiory A \ B; A [ B; A n B; B n A, jeśli: x
a) A = fx 2 R : j3
xj
1g ; B = x 2 R n f4g :
< 1 ;
x
4
3x + 2
b) A = x 2 R : x2 + 2
1 ; B =
x 2 R n f2g :
< 2 :
x
2
Zad. 23 Wyznaczyć zbiór C = R n (A [ B), jeśli
1
a) A =
x 2 R n f0g :
+ x
2 ; B = fx 2 R; jx + 1j
2g ;
x
2007
EM
ep do analizy matematycznej
6
x2 + 1
b) A =
x 2 R n f0g :
<
1 ; B = fx 2 R : jx
1j
2xg :
2x
Zad. 24 Wyznaczyć dziedzin ¾
e funkcji:
p
p
a) f (x) =
2 + x
x2;
d) f (x) =
x2 + 2x + 1;
p
p
b) f (x) =
3x
x3;
e) f (x) =
4 + 4x
x2;
r
x
1 + x
c) f (x) =
;
f ) f (x) = (x
2)
:
1 + x
1
x
1
Zad. 25 Funkcja f : R n f0g ! R określona jest wzorem f (x) =
+ 1. Rozwi ¾
azać nierówność
x
f (x) > f (2
x) :
4
Funkcja wyk÷
adnicza
Zad. 26 Rozwi ¾
azać równania i nierówności:
q
x+1
x+1
x
x
a)
2
3
1
= 1 ;
x2
3
3
4
8
32
g)
2
>
;
3
2
x+1
x+1
x
b)
2
3
1
< 8;
3
4
8
h) 32x+1 + 5 3x
2 = 0;
1
2
c)
1
2
x > 1 ;
3
27
i) 32x+1 + 5 3x
2 > 0;
p 2 3x
p
p
d) 7x 4 =
7
;
j) 4 x
2 x + 1
0;
e) 5x2 5x+4 = 1 ;
k) 9x
10 3x + 9
0;
25
f ) 5x 5x2 5x3
1 ;
l) 4x
2 52x < 10x:
5
Zad. 27 Wyznaczyć miejsca zerowe funkcji f; jeśli f (x) = 16x + 4x+2 oraz rozwi ¾
azać równanie f (x) = 36:
p
p
Zad. 28 Wyznaczyć dziedzin ¾
e, zbiór wartości funkcji danej wzorem f (x) = 3 x + 3
x: Naszkicować jej
wykres.
Zad. 29 Wyznaczyć zbiory: A = fx 2 R : f (x)
0g ; A \ Z; A \ N; jeśli
a) f (x) = 22x 4
17 2x 4 + 1;
b) f (x) = 3x+1 + 3x 1
30:
Zad. 30 Naszkicować wykres funkcji:
8
8
<
3x
dla x < 1;
< (1)x dla x < 0;
2
a) f (x) =
0
dla x = 1;
b) f (x) =
1
dla x 2 [0; 2);
:
: p
2x
dla x > 1;
x
dla x
2:
5
Funkcja logarytmiczna
Zad. 31 Rozwi ¾
azać równania i nierówności:
a) log4(x + 3)
log4(x
1) = 2
log4 8;
e) log23 x
log3 x3 + 2 = 0;
5x + 4
b)
log4(x2 1) = 2;
log
f ) log 1
> 1;
4(x
2)
2
x
2
c) log3 (3x
8) = 2
x;
g) log3 (3x
8)
2;
d) log (2x
4x)
log 8 = log 2x 1
1
;
h) log
4
2(8
x)
log2(x
2) < 2;
2007
EM
ep do analizy matematycznej
7
i) log
1
1
1
3 (x + 1) + log3
< log
x
3 27;
n)
+
1;
log x
1
log x
j)
3
log
p
1 x
< 1;
2
o) log5 x + log25 x = log 1
3;
5
k)
log2 jxj + 1
1
2
p) 8log2 x = 4x;
l) ln2 x
ln x < 0;
q) log2 x + log2 x2 + log2 x3 > logx 64;
m) log21 x
1
0;
r) log 1 x + 2 log3 x < 3:
3
3
Zad. 32 Wyznaczyć dziedzin ¾
e funkcji f; jeśli
p
a) f (x) = log x2
4 ;
d) f (x) =
ln (x
2);
b) f (x) = log (x + 2)
log (3
x)
e) f (x) = log1 x 2 + x
x2 ;
p
c) f (x) = ln
x
2;
f ) f (x) = log(2x 4x) :
log x
Zad. 33 Dana jest funkcja f określona wzorem f (x) = log0;5 x2
5x + 4
log0;5 (5x
5) :
a) Wyznaczyć dziedzin ¾
e i miejsca zerowe funkcji f .
b) Rozwi ¾
azać nierówność f (x)
1:
Zad. 34 Wyznaczyć dziedzin ¾
e funkcji f oraz przedzia÷
y, w których f przyjmuje wartości dodatnie:
a) f (x) = log x2 + 2x + 1 ;
3x + 5
b) f (x) = log 1
:
2
x
3
x2
3x
9
Zad. 35 Wyznaczyć zbiór B =
x 2 Z : log
0 ^ x < 5 :
x
4
6
Funkcje trygonometryczne
Zad. 36 Obliczyć:
a) sin( 17 )
2 cos(3 + 5 ) + tg( 25 ) =
b) ctg(3 3 ) + sin(150 ) + cos( 120 ) =
4
3
2
4
Zad. 37 Rozwi ¾
azać równania i nierówności:
p
a) 2 sin(2x) =
3;
g) jsin x + 1j
1;
b) sin x
cos x = 0;
h) sin2 x
sin x
0
p
c) cos(3x) <
3 ;
i) cos2 x > 1 ;
2
4
d) sin x
1 ;
j) 6 cos2 x
5 sin x
2 > 0;
2
2
e) 1
jcos xj > 0;
k) 4 sin2 x
4 jcos xj
1 > 0;
f ) jtg xj > 1;
l) cos4 x + 2 cos2 x
1
0:
Zad. 38 Naszkicować wykres funkcji:
a) f (x) = 2 sin jxj ;
c) f (x) = sin x cos x;
b) f (x) = jcos 2xj + 1;
d) f (x) = cos2 x:
2007
EM
ep do analizy matematycznej
8
7
Funkcje cyklometryczne
Zad. 39 Obliczyć:
a) arcsin(sin ) + arcsin(sin 7 ) =
c) arccos(cos 3 )
arcctg(sin(
))
6
6
4
2
p
b) arctg(
3) + 3 arcsin 1 + 2 arccos 0 =
d) sin(arcsin 1) cos(arcsin 0) =
Zad. 40 Rozwi ¾
azać równania i nierówności
a) arcsin x = 1;
c) arcsin (3x + 9)
;
6
b) arccos(x
1) = 1 ;
d)
:
2
jarctg xj < 4
Zad. 41 Wyznaczyć dziedzin ¾
e funkcji:
1
a) f (x) = arcsin(x2
x
1);
c) f (x) = arccos( x2 + x
1)
;
2
p
b) f (x) = arccos(j2 log x
3j);
d) f (x) =
arcsin x
:
4
Zad. 42 Naszkicować wykres funkcji:
sgn x
dla jxj < 1;
jarctg xj dla x 6= 0;
a) f (x) =
d) f (x) =
arcsin x dla jxj
1;
arccos x
dla x = 0;
b) f (x) = jarcsin xj ;
e) f (x) =
1 arcctg(x + 2);
2
c) f (x) =
2 arctg jxj ;
f ) f (x) = arcsin x + arccos x;
Zad. 43 Wykazać, ·
ze
V
a)
arcsin( x) =
arcsin x;
x2[ 1;1]
V
b)
arctg( x) =
arctg x;
x2R
V
c)
arcsin x + arccos x =
;
2
x2[0;1]
V
d)
arctg x + arcctg x =
;
2
x2R
V
e)
arctg x = arcctg 1 :
x
x>0
8
Obraz, przeciwobraz
Zad. 44 Naszkicować wykres funkcji, wyznaczyć Df ; f [Df ]; f [A]; f 1[B]; jeśli 3x
dla x <
2;
a) f (x) =
A = [ 3; 1]; B = ( 1; 0);
x2
4 dla x
2;
p
b) f (x) = x
2 +
x2
6x + 9; A = [ 1; 0]; B = (0; 2);
c) f (x) = x2
2x ; A = [ 1; 3) [ f0g; B = ( 1; 1);
2 2
d) f (x) = 2jxj; A = ( 2; 1); B = [4; +1);
jarctg xj
dla x
1;
e) f (x) =
A = [ 1; 1]; B = [0; );
ln(x
3) dla x
4;
6
x
f ) f (x) =
1
1 ; A = [1; +
2
1); B = ( 1; 1];
2007
EM
ep do analizy matematycznej
9
x2
1
g) f (x) =
; A = ( 1; 2); B = [ 3; 3];
jx + 1j
h) f (x) = 3 sin 2x + 1; A = (0; ); B = [4; +
2
1):
x
Zad. 45 Funkcja f : R ! R określona jest wzorem f (x) = 1
: Wyznaczyć taki zbiór A
2
R, ·
ze obraz
f [A] = (0; 4] :
9
W÷
asności funkcji: monotoniczność, ró·
znowartościowość, parzystość,
okresowość
Zad. 46 Korzystaj ¾
ac z de…nicji zbadać monotoniczność podanych funkcji: a) f (x) = x3 + 3x;
x2
4 dla x
0;
e) f (x) =
1
dla x < 0;
b) f (x) = x2
1;
f ) f (x) = ln(x2
1); x > 1;
p
c) f (x) = 1
3x + 2;
g) f (x) = 2arctg( x) + 1;
p
1
d) f (x) = x +
x;
h) f (x) =
:
1
arcsin x
Które spośród badanych funkcji s ¾
a ró·
znowartościowe?
Zad. 47 Zbadać ró·
znowartościowość podanych funkcji:
1
a) f (x) =
;
c) f (x) = arcsin(2x
1);
x2 + 1
x + 1 dla x < 1;
b) f (x) =
x3
dla x
1
d) f (x) = log(jx
1j + 2):
Zad. 48 Zbadać parzystość-nieparzystość podanych funkcji: x
a) f (x) =
;
f ) f (x) = sin x + cos x;
x2 + 4
2x + 1
b) f (x) = sin(x3
x);
g) f (x) = x
;
2x
1
c) f (x) = x jxj ;
1
h) f (x) = x +
;
x
1
d) f (x) = cos
;
x
x
1
i) f (x) = log
;
x + 1
x4 + 1
e) f (x) =
;
j) f (x) =
sin x
jarcsin(tg x)j :
Zad. 49 Wyznaczyć okres funkcji f i naszkicować jej wykres a) f (x) = 2 sin 3x;
e) f (x) = cos( x);
b) f (x) = 3 cos( 1 x
3);
f ) f (x) = sin x + jsin xj ;
2
c) f (x) = tg 1 x;
g) f (x) = sin2 x;
2
d e f
d) f (x) =
ctg(2x + 1);
h) f (x) = bxc = maxfk 2 Z : k
xg:
Zad. 50 Naszkicować wykres funkcji f : R ! R; jeśli wiadomo , ·
ze jest okresowa o okresie podstawowym
T = 1 oraz f (x) = j1
2xj dla x 2 [0; 1] : Wyznaczyć zbiór A = x 2 R : f (x) 1
.
2
2007
EM
ep do analizy matematycznej
10
Zad. 51 Które z podanych stwierdzeń s ¾
a prawdziwe? Uzasadnić odpowiedzi negatywne, podaj ¾
ac odpowied-
nie przyk÷
ady.
a) Istnieje nieparzysta funkcja okresowa o okresie T =
:
2
b) Istnieje parzysta funkcja ró·
zowartościowa.
c) Istnieje funkcja jednocześnie parzysta i nieparzysta.
d) Jeśli funkcja jest ściśle monotoniczna, to jest ró·
znowartościowa.
e) Jeśli funkcja jest ró·
znowartościowa, to jest ściśle monotoniczna.
f ) Jeśli funkcja jest parzysta, to jest ró·
znowartościowa.
10
Funkcja z÷
o·
zona, funkcja odwrotna
Zad. 52 Wyznaczyć funkcje z÷
o·
zone: f
f; g
g; f
g; g
f oraz ich dziedziny, jeśli
1
a) f (x) =
, g (x) = 2x;
c) f (x) = jxj , g (x) = x2
x;
x
1
p
1
p
b) f (x) =
x, g (x) = x2;
d) f (x) =
; g (x) =
2x
1:
x
Zad. 53 Wyznaczyć funkcje z÷
o·
zone: f
g; g
f , ich dziedziny oraz przeciwdziedziny, jeśli
p
a) f (x) = sin x + 1, g (x) =
x;
d) f (x) = ex 2; g(x) = x2;
b) f (x) = ln x, g (x) = x2 + 1;
e) f (x) = arctg x; g (x) = x3;
1
c) f (x) =
, g (x) = arcsin x;
x + 2
f ) f (x) = jxj ; g(x) = arccos x:
Zad. 54 Wyznaczyć funkcje z÷
o·
zone: f
g
h; g
f
h; h
f
g oraz ich dziedziny, jeśli
f (x) = ln x;
g (x) = x
1;
h(x) = e2x:
Zad. 55 Rozwi ¾
azać nierówność g (2x) + (f
g) (x)
4; jeśli f (x) = x2, g (x) = 2x:
Odp. x 2
1 ; +
2
1
Zad. 56 Wyznaczyć Df ; f [Df ] oraz (o ile to mo·
zliwe) funkcj ¾
e odwrotn ¾
a do f; jeśli
p
a) f (x) = x3
1;
g) f (x) =
2x3
1;
b) f (x) = x3
3x2 + 3x + 27;
x
h) f (x) = ln(
);
x + 1
1
c) f (x) =
; x
1;
x2 + 1
i) f (x) = log3 x;
p
d) f (x) =
x2
1; x <
1;
j) f (x) = arctg log2(3x
1);
p
e) f (x) =
x2
1; x > 1;
k) f (x) = cos(x
1); x 2 [1; 3];
1
dla x < 0;
1
dla x < 0;
f ) f (x) =
x2
p
l) f (x) =
x
p
x
1 dla x
0;
x + 1 dla x
0:
11
Powtórzenie wiadomości o funkcjach
Zad. 57 Wyznaczyć dziedzin ¾
e funkcji f , jeśli
2007
EM
ep do analizy matematycznej
11
p
p
4x
2x+1
g) f (x) = ln (x + 1) + arccos
2x;
a) f (x) =
;
jx + 4j
1
h) f (x) = log(x+1) 3 + 2x x2 ;
b) f (x) = log (cos (log x)) ;
2
1
x + 1
i) f (x) = pp
;
c) f (x) = arcsin
;
x
2
3
3 tg x
p
p
d) f (x) =
log (1
x) +
x2 + x + 1;
j) f (x) = log(arcsin(2 cos x))
p
;
x2+3x
1
1
p
e) f (x) =
+
;
1
x3
log
k) f (x) =
;
3(x2
4)
x
3
arcsin 5log 2
x+2
r
2x
1
1
f ) f (x) = log2
+
x;
4
x
x2
l) f (x) = arccos (2x
4) + arcsin (jxj
1) :
Zad. 58 Wyznaczyć dziedzin ¾
e i zbiór wartości funkcji f , jeśli
p
a) f (x) =
2 + x
x2;
d) f (x) = ex2 1;
1
b) f (x) =
;
e) f (x) = log (1
2 cos x) ;
sin xp
p
c) f (x) = 1 +
log (arctg x);
f ) f (x) =
arcsin
x:
Zad. 59 Rozwi ¾
azać nierówności:
2
a) log
1
jxj
1
cos ;
c) 4
2 x
;
3
x + 1
d) log(4x
2x+1 + 1)
arcsin 0;
cos x
2
b)
> arctg 0;
log
e)
3 log 4
x2
ctg x > x
2
x2; :
0;5 (x + 5)
Zad. 60 Rozwi ¾
azać nierówność
f (x)
(f
f ) (x) < (f
g) (x)
(f
f
g) (x) ;
1
jeśli f (x) =
oraz g (x) = x3:
x
Zad. 61 Naszkicować wykres funkcji f i podać jej podstawowe w÷
aśności, jesli
a) f (x) = x jx + 2j ;
d) f (x) = arcsin(sin x);
b) f (x) = jsin 2xj ;
e) f (x) =
2x+1 + 3;
arcsin( x) gdy jxj
1;
log( x)
gdy x < 0;
c) f (x) =
f ) f (x) =
0
dla
jxj > 1;
arctg(x
1) dla
x
0:
12
Relacje
Zad. 62 Sprawdzić, które spośród poni·
zej zde…niowanych relacji s ¾
a funkcjami:
a)
1 =
(x; y) 2 (0; +1)
( 1; 0) : x2 = y2 ;
d)
4 = ;;
b)
2 =
(x; y) 2 R
( 1; 0) : x2 = y2 ;
e)
5 = [f1g
( 1; 0)] [ [f2g
(0; +1)];
c)
3 =
(x; y) 2 ( 1; 0)
R : x2 = y2 ;
f )
6 = f(x; y) 2 R
( 1; 0) : jyj = 2g ;2007 EM
ep do analizy matematycznej
12
g)
7 =
(x; y) 2 R
( 1; 0] : y2 + y
0 ;
h)
8 =
(x; y) 2 R2 : y2 + y
0 :
Zad. 63 Sprawdzić, czy podzbiór f
A
B jest funkcj ¾
a odwzorowuj ¾
ac ¾
a zbiór A w zbiór B, jeśli:
a) A = R; B = R n f0g oraz
V
V
(x; y) 2 f , 2xy = 1;
x2R y2Rnf0g
b) A = R; B = R oraz
V V (x;y) 2 f , x2 y2 = 1;
x2R y2R
c) A; B s ¾
a dowolnymi zbiorami, yo jest dowolnym elementem zbioru B oraz V V (x;y) 2 f , y = yo:
x2A y2B
Zad. 64 Zbadać, czy funkcja f jest injekcj ¾
a, surjekcj ¾
a, bijekcj ¾
a; wyznaczyć przeciwdziedzin ¾
e funkcji f i (o
ile istnieje) funkcj ¾
e odwrotn ¾
a f 1.
a) f : [2; +1) ! R;
f (x) =
x2 + 4x
3;
f ) f : R2 ! R;
f (x; y) = x + y;
b) f (x) = x ;
x 1
g) f : R2 ! R2;
f (x; y) = (x; xy) ;
x2;
x
0;
c) f (x) =
h) f : R2 ! R2;
f (x; y) = (x
y; x + 2y) ;
log (x + 1) ; x > 0;
d) f (x) = 2
jx + 2j ;
i) f : C ! C;
f (z) = z + 1
2i;
e) f : Z ! Z;
f (k) = 2k + 1;
j) f : C ! C;
f (z) = iz:
Zad. 65 Zbadać, czy
X
X jest relacj ¾
a równowa·
zności. Jeśli tak, to wyznaczyć (opisać, narysować,
„policzyć”) klasy abstrakcji tej relacji.
a) X = R f0g ;
x y , xy > 0;
b) X = R;
x y , xy
0;
c) X = R;
x y , x
y > 1;
W
d) X = Z;
n m ,
n
m = 3k;
k2Z
e) X = R;
x y , x
y 2 Z;
f ) X = R;
x y , x2 = y2;
g) X = 2R;
A B , A
B;
h) X = 2N;
A B , A \ B = ;;
i) X = R2;
(x1; y1) (x2; y2) , x21 + y21 = x22 + y22;
j) X = R2;
(x1; y1) (x2; y2) , x1 = x2;
k) X = R2;
(x1; y1) (x2; y2) , x1 = y2;
l) X = R+
R+;
(x1; y1) (x2; y2) , y1 = y2 ;
x1
x2
m) X = C2;
z1 z2 , Im z1 = Im z2;
n) X = C2;
z1 z2 , arg z1 = arg z2;
o) X = zbiór ludzi,
x y , x jest ojcem y;
2007
EM
ep do analizy matematycznej
13
p) X =zbiór prostych w R2;
l k , l ? k;
q) X =zbiór prostych w R2;
l k , l k k;
r) X =zbiór wektorów w R2;
x y , x k y i kxk = kyk ;
s) X = zbiór studentów P×, x y , x i y ucz ¾
a si ¾
e na tym samym wydziale P×;
t) X = zbiór punktów pewnej mapy,
P Q , h (P ) = h (Q) ; gdzie h (P ) = wysokość n.p.m. punktu P: Jak nazywamy klasy abstrakcji relacji zde…niowanych w czterech ostatnich podpunktach?
Zad. 66 Zbadać, czy
X
X jest relacj ¾
a porz ¾
adku (liniowego porz ¾
adku), jeśli
a) X = N;
n m , n j m (n jest dzielnikiem m);
b) X = 2R;
A B , A \ B = ;;
c) X = R;
x y , x
y 2 Q;
d) X = R;
x y , x
y:
Zad. 67 Wyznaczyć elementy maksymalne, minimalne, najwi ¾
eksze i najmniejsze (o ile istniej ¾
a) w zbiorze
uporz ¾
adkowanym (X; ), jeśli
a) X = f2; 4; 6; 8; 12; 16g;
n m , n j m;
b) X =rodzina przedzia÷
ów postaci ( a; a), gdzie a jest dowoln ¾
a liczb ¾
a dodatni ¾
a,
A B , A
B;
c) X = 2R;
A B , A
B;
d) X =zbiór s÷
ów w danym j ¾
ezyku;
s1 s2 , s1 wyst ¾
epuje w s÷
owniku przed s2;
e) X = f1; 2; 3; 4; 5; 6g;
x y , x ! y wg schematu:
1 ! 2 ! 3
#
4 ! 5 ! 6
f ) X = f1; 2; 3; 4g;
x y , x ! y wg schematu:
1 ! 2
"
#
4 3
g) X = fa; b; c; d; e; f; gg;
x y , x ! y wg schematu:
a ! b
f
#
#
"
c
! d ! e ! g
2007
EM