Wielomiany. Równania i nierówności wymierne.
Przygotowa la Izabela Wardach 1
WIELOMIANY.
Wielomianem stopnia n jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcj¸
e:
W (x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0
(1)
gdzie n ∈ N∪ {0}, a0, a1,..., an,∈ R, oraz an 6= 0.
Liczby a0, a1,..., annazywamy wspó lczynnikami wielomianu ponadto a0 nazywamy wyrazem wolnym.
Jednomiany anxn, an−1xn−1,...,+a1x i a0 s¸a wyrazami wielomianu.
Funkcj¸
e
W (x) ≡ 0 nazywamy wielomianem zerowym, który to nie ma określonego stopnia.
Pierwiastkiem wielomianu W (x) nazywamy każd¸
a liczb¸
e a tak¸
a, że W (a) = 0. Wielomiany
A(x) i B(x) s¸
a równe, gdy dla każdej liczby a ∈ R mamy A(a) = B(a) ⇔ A(a) ≡ B(a).
Uwaga: dwa wielomiany s¸
a równe ⇔, gdy s¸
a zerowe lub, gdy s¸
a tego samego stopnia i maj¸
a
jednakowe wspó lczynniki przy jednakowych pot¸
egach zmiennej.
Twierdzenie o rozk ladzie wielomianu Jeżeli W (x) i P (x) 6= 0 s¸
a wielomianami, to istniej¸
a takie dwa wielomiany Q(x) i R(x), że: W (x) = Q(x)P (x) + R(x)
(2)
przy czym R(x) - to reszta dzielenia W (x) przez P (x) i R(x) ≡ 0 albo stopień R(x) jest mniejszy niż stopień P (x). Q(x) - to iloraz zupe lny, jeśli R(x) 6= 0.
Twierdzenie Bézout
Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W (x) ⇔, gdy wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian x − a.
Twierdzenie o rozk ladzie wielomianu na czynniki Każdy wielomian W (x) 6= 0 jest iloczynem czynników stopnia co najwyżej drugiego.
Równania algebraiczne:
Niech W (x) oznacza wielomianu stopnia n ≥ 0 zmiennej x. Równanie: W (x) = 0
(3)
nazywamy równaniem algebraicznym stopnia n lub krótko równaniem n-tego stponia.
Pierwiastki wielomianu W (x) s¸
a jednoczecznie pierwiastkami równania.
Twierdzenie o liczbie pierwiastków Równanie algebraiczne n-tego stopnia ma co najwyżej n różnych piewiastków.
1na podstawie:
1. W.Leksiński, B.Macukow, W. Żakowski Matematyka dla maturzystów - definicje, twierdzenia, wzory, przyk lady, WNT, Warszawa 1994.
2. W. Żakowski Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie - algebra i analiza matematyczna, WNT, Warszawa 1994.
1
Twierdzenie o postaci iloczynowej wielomianu Jeżeli wielomian n-tego stopnia W (x) ma n pierwiastków: x1, x2,..., xn, to W (x) = an (x − x1) (x − x2) ... (x − xn) (4)
gdzie ax jest wspó lczynnikem przy xn.
Liczb¸
e a nazywamy nazywamy (pierwiastkiem k-krotnym wielomianu W (x), jeżeli ten wielomian jest podzielny przez (x − a)k i nie jest podzielny przez (x − a)k+1. Liczb¸
e k nazywamy
krotności¸
a pierwiastka a.
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych Jeżeli liczba wymierna różna od zera p/q (u lamek nieskracalny) jest pierwiastkiem równania: anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0 = 0
(5)
o wspó lczynnikach ca lkowitych, przy czym a0an 6= 0, to p jest podzielnikiem wyrazu wolnego a0, a q podzielnikiem wspó lczynnika an.
Nieównaności algebraiczne:
W (x) > 0,
W (x) ≥ 0,
W (x) < 0,
W (x) ≤ 0
(6)
nazywanynierównościami algebraicznymi stopnia n.
Funkcja wymierna:
Funkcj¸
e postaci:
W (x)
y =
x ∈ R − P
(7)
V (x)
gdzie W (x), V (x) oznaczaj¸
a wielomiany (V (x) 6= 0) zmiennej rzeczywistej, P zaś zbiór pierwiastków wielomianu V (x), nazywamy funkcj¸
a wymiern¸
a.
Wykres funkcji:
s
f (x) =
(8)
x
gdzie s, x 6= 0 jest hiperbola, przy czym jeśli s > 0, to wykres znajduje si¸
e w I i III ćwiartce
uk ladu wspó lrz¸
ednych, a jeśli s < 0, to wykres znajduje si¸
e w II i IV ćwiartce uk ladu
wspó lrz¸
ednych.
Wykresem funkcji
s
f (x) =
+ q
(9)
x − p
gdzie s 6= 0 i x 6= p, jest hiperbola, któr¸
a otrzymamy przesuwaj¸
ac wykres funkcji g(x) = s o
x
wektor ~
u = [p, q].
Funkcj¸e postaci
ax + b
f (x) =
(10)
cx + d
gdzie ad − bc 6= 0 ∧ c 6= 0, nazywamy funkcj¸
a homograficzn¸
a. Każd¸
a tak¸
a funkcj¸
e można
zapisać w postaci f (x) =
s
+ q, gdzie s 6= 0.
x−p
2
Rozk lad funkcji wymiernej na u lamki proste: ulamek prosty: mianownik jest pot¸eg¸
a wielomianu nierozk ladalnego, licznik jest stopnia niszego niz mianownik
W (x)
= A1 +
A2
+ ... +
Ak
+
(x−x1)k(x2+px+q)l
x−x1
(x−x1)2
(x−x1)k
B1x+C1 + B2x+C2 + ... + Blx+Cl
x2+px+q
(x2+px+q)2
(x2+px+q)l
3