Podstawy teoretyczne.
1. Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy pochodnej funkcji w punkcie styczności: jeżeli punkt styczności ma współrzędne P = (x , y ) , a styczna ma równanie y = ax + b , to a = f '(x ) .
0
0
0
2. Styczna do wykresu funkcji f(x) w punkcie P = (x ,y ) ma równanie: 0
0
y = f '(x ) ⋅ x − x + y .
0
(
0 )
0
3. Punkt styczności należy zarówno do wykresu funkcji, jak i do stycznej. Z tego prostego faktu korzysta się bardzo często.
Przykładowe zadania.
Zadanie 1.
Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = x3 + x2 − 3x + 5 , prostopadłej do prostej o równaniu x − 2y + 7 = 0
Rozwiązanie.
1
7
x − 2y + 7 = 0 ⇔ y =
x +
2
2
Styczna ma być prostopadła do tej prostej, czyli musi mieć równanie y = 2
− x + b .
Oznacza to, że jeśli punkt P = (x ,y ) jest punktem styczności, to f'(x ) = 2
− .
0
0
0
f '(x) = 3x2 + 2x − 3
f '(x ) = 3x2 + 2x − 3 = 2
−
0
0
0
3x2 + 2x − 1 = 0
0
0
∆ = 4 + 12 = 16
− 2 − 4
− 2 + 4 1
x =
= 1
− lub x =
=
0
6
0
6
3
Punkt styczności należy do wykresu funkcji f (x) = x3 + x2 − 3x + 5 ; jego współrzędne spełniają równanie funkcji.
Jeżeli x = 1
− , to y = (− )
1 3 + (− )
1 2 − 3 ⋅ (− )
1 + 5 = 8 .
0
0
3
2
1
1
1
1
1
1
112
Jeżeli x = , to y = + − 3 ⋅ + 5 =
+ + 4 =
0
3
0
3
3
3
27
9
27
Zadanie ma dwa rozwiązania:
1. y = 2
− x + b , P = (− ,
1 8) jest punktem styczności.
1
8 = 2 ⋅ (− )
1 + b ⇔ b = 10
Pierwsza styczna ma równanie: y = 2
− x + 10
1 112
2. y = 2
− x + b , P
jest punktem styczności.
2 =
,
3 27
112
1
112
2
94
= 2 ⋅ + b ⇔ b =
− =
27
3
27
3
27
Druga styczna ma równanie: y = 2
− x +
27
Zadanie 2.
Dana jest funkcja f (x) = x3 + x . Udowodnij, że dla dowolnego x ≠ 0 , styczne 0
do wykresu tej funkcji poprowadzone w punktach x i − x są prostymi 0
0
równoległymi.
Rozwiązanie.
f '(x) = 3x2 + 1
Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie x jest równy:
0
a = f '(x ) = 3x2 + 1
1
0
0
Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie − x jest równy: 0
a = f '(−x ) = (
3 −x )2 + 1 = 3x2 + 1
2
0
0
0
a = a , czyli styczne są prostymi równoległymi, co kończy dowód.
1
2
Zadanie 3.
4
f (x) =
. Udowodnij, że pole trójkąta wyznaczonego przez punkty przecięcia x
dowolnej stycznej do wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych, oraz punkt S = (0 0
, ) nie zależą od wyboru punktu styczności.
Rozwiązanie.
4
f '(x) = −
. Niech P = (x ,y ) , x ≠ 0 będzie punktem styczności.
2
x
0
0
0
4
y =
.
0
x0
Styczna do wykresu funkcji w punkcie P ma równanie:
y = f '(x ) ⋅ (x − x ) + y
0
0
0
4
4
y = −
⋅ (x − x ) +
2
0
x
x
0
0
4
4
4
y = −
⋅ x +
⋅ x +
2
2
0
x
x
x
0
0
0
4
8
y = −
⋅ x +
2
x
x
0
0
Współrzędne punktów przecięcia stycznej z osiami układu współrzędnych:
8
a) z osią OY: A = 0,
x0
4
8
4
8
b) z osią OX: 0 = −
⋅ x +
⇔
⋅ x =
⇔ x = 2x . Stąd B = (2x ,0)
2
2
0
x
x
x
x
0
0
0
0
0
Pole trójkąta ASB, gdzie S = ( 0
,
0 ) :
1
8
1 16x
P =
⋅ SA ⋅ SB = ⋅
⋅ 2x
0
= ⋅
= 8, czyli pole nie zależy od wyboru
2
2 x
0
2
x
0
0
punktu styczności, co należało udowodnić.
Zadanie 4.
Znajdź równanie wspólnej stycznej do wykresów funkcji f (x) = x2 + 4x + 8
oraz g(x) = x2 + 8x + 4 .
Rozwiązanie.
Prosta y = ax + b ma być styczną do wykresów obydwu funkcji. Punkty styczności mogą być jednak różne.
Oznaczmy:
- punkt styczności do wykresu funkcji f: P = (m,m2 + m 4
+ 8)
f
- punkt styczności do wykresu funkcji g: P = (p,p2 + p 8 + 4)
g
Wiadomo, że a = f'(m) = '
g (p)
f '(x) = 2x + 4
,
f '(m) = m
2
+ 4
'
g (x) = 2x + 8
,
'
g (p) = p
2 + 8
Równanie stycznej w punkcie P :
f
y = f '(m) ⋅ (x − m) + f (m)
y = ( m
2
+ 4)(x − m) + m2 + m
4
+ 8
y = ( m
2
+ 4)x − m
2 2 − m
4
+ m2 + m
4
+ 8
y = ( m
2
+ 4)x − m2 + 8
Równanie stycznej w punkcie P :
g
y = g'(p) ⋅ (x − p) + g(p)
y = ( p
2 + 8)(x − p) + p2 + p
8 + 4
y = ( p
2 + 8)x − p
2 2 − p
8 + p2 + p
8 + 4
y = ( p
2 + 8)x − p2 + 4
Ponieważ obie styczne są tą samą prostą, musi być spełniony układ równań:
m
2
+ 4 = p
2 + 8
m = p + 2
⇔
− m2 + 8 = −p2 + 4
p2 − m2 + 4 = 0
p2 − (p + 2)2 + 4 = 0
p2 − p2 − p
4 − 4 + 4 = 0
p = 0
Szukane równanie stycznej: y = ( p
2 + 8)x − p2 + 4
⇔ y = 8x + 4, co jest
rozwiązaniem zadania.
Zadanie 5.
π
Dla jakich wartości α ∈ ,
0
wykres funkcji f (x) = x3 − x − cos 2α − sin α + 3
2
jest styczny do prostej y = 2x ?
Jeżeli P oznacza punkt styczności, to ma on współrzędne P = (p, p 2 ) .
f '(x) = 3x2 − 1 .
Wiemy, że f '(p) = 2 , czyli p
3 2 − 1 = 2 ⇔ p2 = 1 ⇔ (p = 1
− ,p = )
1
1
2
Mamy dwa punkty styczności:
P = − −
=
1
( ,1 2) , P
,
1
( 2)
2
a) Punkt P = − − należy do wykresu funkcji f, czyli: 1
( ,1 2)
(−1)3 − (−1)− cos2α − sinα + 3 = 2
−
− cos2α − sin α + 5 = 0
− 1
( − 2sin2 α) − sin α + 5 = 0
2sin2 α − sin α + 4 = 0
Pomocnicza niewiadoma : t = sin α
2t2 − t + 4 = 0
∆ = 1 − 4 ⋅ 2 ⋅ 4 < 0 − równanie nie ma rozw.
b) Punkt P = ,
1
( 2) należy do wykresu funkcji f, czyli:
2
13 − 1 − cos 2α − sin α + 3 = 2
− (1 − 2sin2 α)− sinα + 1 = 0
2sin2 α − sin α = 0
sin (
α 2sin α − )
1 = 0
1
sin α = 0 ∨ sin α = 2
π
Ponieważ α ∈ ,
0
, więc rozwiązaniem równania, a zarazem i całego
2
π
zadania jest α =
.
6