Szeregi funkcyjne Zadanie 1 Wykazać zbieżność jednostajną podanych szeregów funkcyjnych na podanych zbiorach:

∞ 6 n(1 −x 2) a) X

,

A = R ,

n!

n=1

∞

nx

b) X

,

A = R ,

x 2 + n 6

n=1

∞ x 2

x

c) X

sin

,

A = [0 , 2] , n

n

n=1

∞

1

d) X

,

A = [3 , ∞) , 8 + n 3 x 2

n=1

∞ sin nx

e) X

,

A = R .

2 nn!

n=1

∞

1

Zadanie 2 Wykazać, że funkcja f ( x) = X

jest cigła na zbiorze R. Ile

6 n( n + x 2) n=1

początkowych wyrazów szeregu funkcyjnego należy zsumować, aby obliczyć f ( x) z do-kładnością większą niż 10 − 3?

Odp. Wystarczy zsumować trzy pierwsze wyrazy.

Uzupełnienie do ciągów funkcyjnych: A. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym fn( x) = 2 n 2 xe−n 2 x 2, x ∈ [0 , 1]. Sprawdzić, czy zachodzi równość

Z

1

Z 1

lim fn( x) dx = lim fn( x) dx .

0

n→∞

n→∞

0

Czy na tej podstawie można wyciągnąć wniosek o istnieniu lub braku zbieżności jedno-stajnej ciągu {fn} na przedziale [0 , 1]?

1

B. Pokazać, że dla ciągu funkcyjnego o wyrazie ogólnym fn( x) =

arc tg nx nie zachodzi n

w punkcie x = 0 równość d

!

d

lim fn( x) = lim fn( x) .

dx n→∞

n→∞

dx

Zadanie 3 Rozwinąć w szereg Fouriera w przedziale [ −π, π] funkcję f ( x) = ex.

Odp.

sinh π

∞ " 2( − 1) n 2 n( − 1) n+1

#

f ( x) ∼

+ X

sinh π cos nx +

sinh π sin nx ,

π

π(1 + n 2)

π(1 + n 2)

n=1

f ( x) = S( x) dla x ∈ ( −π, π) .

1

Szeregi funkcyjne Zadanie 4 Rozwinąć w przedziale [0 , 1] ([0 , π]) funkcję f ( x) = ex w szereg a) cosinusów; b) sinusów.

Odp. a) W przedziale [0 , 1]:

∞ 2[ e( − 1) n − 1]

f

X

1( x) ∼ e − 1 +

cos nπx,

π 2 n 2 + 1

n=1

f ( x) = S( x) dla x ∈ [0 , 1] .

W przedziale [0 , π]:

eπ − 1

∞ 2[ eπ( − 1) n − 1]

f

X

1( x) ∼

+

cos nx,

π

π(1 + n 2)

n=1

f ( x) = S( x) dla x ∈ [0 , π] .

b) W przedziale [0 , 1]:

∞ 2 πn[1 − e( − 1) n]

f

X

1( x) ∼

sin nπx,

1 + n 2 π 2

n=1

f ( x) = S( x) dla x ∈ (0 , 1) .

W przedziale [0 , π]:

∞ 2 n[1 − eπ( − 1) n]

f

X

1( x) ∼

sin nx,

π(1 + n 2)

n=1

f ( x) = S( x) dla x ∈ (0 , π) .

∞

1

Zadanie 5 Obliczyć sumę szeregu X

korzystając z rozwinęcia:

(2 n − 1)2

n=1

a) funkcji f ( x) = |x|, x ∈ [ −π, π] w trygonometryczny szereg Fouriera

0

dla x ∈ ( −π, 0) b) funkcji f ( x) =

w trygonometryczny szereg Fouriera x

dla x ∈ [0 , π)

c) funkcji f ( x) = 3 − x, x ∈ [0 , 3] w cosinusowy szereg Fouriera.

∞

1

π 2

Odp. X

=

.

(2 n − 1)2

8

n=1

2