Drgania prętów liniowo-sprężystych
Wytrzymałościowe aspekty drgań pręta nieważkiego
Pominięcie zjawiska rozproszenia energii (tłumienia) drgań, które
łagodzi skutki dynamicznego działania sił.
Uproszczenie zwiększające pewność oceny wytrzymałości.
Drgania pręta o jednym stopniu swobody
Drgania podłużne pręta – masa skupiona m połączona z nieważkim liniowo-sprężystym prętem rozciąganym i ściskanym, wykonująca ruch
okresowy
Drgania poprzeczne (giętne) – masa skupiona m połączona z nieważkim liniowo-sprężystym prętem zginanym, wykonująca ruch okresowy
Drgania skrętne pręta – ciało o masowym momencie bezwładności Im połączone z prętem skręcanym, wykonujące ruch okresowy.
Współrzędna uogólniona u( t) określająca położenie masy skupionej bądź ciała w dowolnej chwili t ruchu jest odpowiednio wydłużeniem pręta, ugięciem w miejscu występowania masy skupionej lub kątem
skręcania pręta (obrotu ciała).
x
u(t)
u(t)
x
x
EI, l
m
GIS, l
m
EA, l
l/2
l/2
drgania
x
m
I
EI
m
podłużne
u(t)
pręta
drgania poprzeczne
drgania skrętne pręta
(giętne) pręta
Wydłużenie, ugięcie bądź kąt skręcenia jako uogólnione przemieszczenie u stat, które spowodowała odpowiadająca mu siła uogólniona F, przyłożona w sposób quasi-statyczny do liniowo-sprężystego pręta, jest określone wzorem:
u
= f F
stat
11
Liczba wpływowa f 11 – przemieszczenie u stat dla siły uogólnionej F = 1.
Drgania podłużne lub poprzeczne – siła skupiona przyłożona do masy
i mająca odpowiednio kierunek równoległy lub prostopadły do osi pręta.
Drgania skrętne – moment skręcający przyłożony do ciała, które
wykonuje ruch obrotowy.
Po wychyleniu masy z położenia równowagi lub nadaniu jej pewnej
prędkości początkowej wykonuje ona drgania swobodne (własne):
u( t) = a sin(ω t
0
+ϕ)
a, φ – amplituda i kąt fazowy drgań swobodnych (zależne od warunków początkowych)
ω0 – częstość kołowa drgań swobodnych (pulsacja).
u
a
t
φ/ω0
T = 2π/ω0
Częstość kołowa drgań własnych podłużnych lub poprzecznych
1
ω =
0
f m
11
a skrętnych:
1
ω =
0
f I
11 m
Częstość kołowa ω0 jest związana z okresem drgań T zależnością: π
ω
2
=
0
T
Na skutek działania okresowo zmiennej siły uogólnionej F=F 0 cos ωt na masę (ciało), wykonuje ona drgania wymuszone opisywane równaniem:
u
f F
stat
11
0
A =
=
u( t) = A sin(ω t −ϑ )
2
2
ω
ω
1 −
1 −
2
2
ω
ω
0
0
A, ϑ – amplituda i kąt przesunięcia fazowego drgań wymuszonych, ω
– częstość kołowa siły wymuszającej.
Istotnym efektem dynamicznego działania okresowo zmiennej siły o
amplitudzie F 0 jest zwiększenie amplitudy drgań wymuszonych A w stosunku do u stat, spowodowanego statycznym działaniem siły F.
Współczynnik wzmocnienia amplitudy drgań wynosi:
A
1
µ =
=
2
ustat
ω
1 −
2
ω0
Zależy on od ilorazu częstości siły wymuszającej ω i częstości drgań własnych ω0.
Gdy ω = ω0, następuje rezonans i nieskończenie duże wzmocnienie amplitudy drgań wymuszonych.
Tłumienie (linia przerywana) w rzeczywistym układzie drgającym
łagodzi wzrost amplitudy
µ = A/ustat
drgania nietłumione
drgania tłumione
1
ω/ ω 0
1
Wzmocnienie µ amplitudy przemieszczeń powoduje proporcjonalne zwiększenie amplitudy naprężeń zmiennych w pręcie.
Częstość siły wymuszającej ω jest zwykle znana. Częstość drgań własnych ω 0 stanowi cechę drgającego pręta (układu liniowo-sprężystego.
Wyznaczenie częstości drgań własnych – podstawowe zadanie teorii
drgań.
Przykład. Częstość drgań własnych ω 0 dla jednorodnego pręta rozciąganego/ściskanego z zawieszoną na końcu masą skupioną
l
l
1
1
2
l
f 11 =
∫ N dx
11
=
∫ dx =
EA
EA
EA
0
N 11≡
0
1
a następnie
1
1
EA
ω0 =
=
=
f m
l
ml
11
m
EA
Drgania są jedną z przyczyn niebezpiecznego zjawiska, zwanego
zmęczeniem materiału.
Drgania pręta sprężystego o masie rozłożonej w sposób ciągły
Opis drgań pręta liniowo-sprężystego o masie rozłożonej w sposób
ciągły, jako układu o nieskończenie wielu stopniach swobody, jest o wiele bardziej skomplikowany. Istnieje w tym przypadku nieskończony ciąg częstości kołowych drgań własnych, a więc możliwe jest
nieskończenie wiele rezonansów.
Pręty pokazane na rysunkach są wykonane z jednorodnego materiału o
gęstości ρ oraz stałych materiałowych (modułach sprężystości E i G).
Przekrój każdego z tych prętów zmienia się słabo wzdłuż osi x i jest określony funkcją A( x) ( x jest współrzędną określającą położenie przekroju w pręcie nieodkształconym). W przypadku drgań skrętnych
pręt ma przekrój kołowy, w przypadku drgań giętnych przekrój jest
symetryczny względem osi y. Zakłada się, że w trakcie odkształcania prętów ich przekroje pozostają płaskie.
Zewnętrzne, rozłożone obciążenie osiowe q( x, t) ( t oznacza czas) powoduje drgania wzdłużne pręta. Opisuje je funkcja u( x, t), określająca przemieszczenie osiowe u każdego przekroju pręta w dowolnej chwili t ruchu.
Zewnętrzne, rozłożone obciążenie momentami osiowymi m( x, t) powoduje drgania skrętne pręta. Opisuje je funkcja φ( x, t), określająca kąt obrotu φ każdego przekroju pręta (kąt skręcenia) w dowolnej chwili t ruchu.
Zewnętrzne, rozłożone obciążenie prostopadłe do osi pręta q( x, t) wzbudza jego drgania giętne (poprzeczne). Opisuje je funkcja υ( x, t), określająca ugięcie (przemieszczenie prostopadłe do osi x pręta) υ
środka geometrycznego każdego przekroju pręta w dowolnej chwili t ruchu.
q(x,t )
x
x
drgania wzdłużne
u(x,t )
φ(x,t )
m(x,t )
x
x
drgania skrętne
q(x,t )
υ (x,t )
x
drgania gi
x
ętne (poprzeczne)
y
Równanie drgań podłużnych pręta.
Rozważmy element dx pręta wykonującego drgania podłużne.
Równanie równowagi elementu pręta o długości dx, na który działa obciążenie zewnętrzne q( x, t), siła normalna N( x, t) oraz siła bezwładności d’Alemberta dB( x, t), będzie miało postać: q(
∂ N x t
x, t ) dx + dB( x, t)+ N ( x, t) ( , )
+
dx − N ( x, t) = 0
∂
x
gdzie:
∂
dB(
u x t
x, t ) = −ρ (
A x)
2
( , )
dx
2
t
∂
Naprężenia normalne w pręcie określa funkcja σ( x, t), a odkształcenia względne ε( x, t). Siłę normalną N( x, t) oraz jej pochodną można z zastosowaniem prawa Hooke’a wyliczyć następująco:
∂
,
N ( x, t) = (
A x)σ ( x, t) = (
A x) Eε ( x, t) = E (
A x) u( x t)
x
∂
∂ N( x, t) ∂
=
,
E (
A x) ∂ u( x t)
∂ x
∂ x
∂ x
x
dx
q(x,t)
N
∂ x, t
N ( x, t)
( )
+
) dx
N(x,t)
dB
x
∂
u(x,t)
∂
,
u( x, t)
u( x t )
+
) dx
x
∂
Równanie drgań podłużnych pręta o masie rozłożonej:
ρ (
2
∂
,
∂
∂
,
A x) u( x t) −
E
=
2
(
A x) u( x t)
q
( x, t)
t
∂
x
∂
x
∂
E
Po wprowadzeniu oznaczenia a = ρ , oraz uwzględnieniu A = const,:
2
∂ u( x, t)
2
∂
2
u( x, t)
q( x, t)
− a
=
t 2
∂
x 2
∂
ρ A
Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego drugiego rzędu ze
względu na czas t, oraz powyższe zależności, musi spełniać dwa następujące warunki początkowe:
u
∂ ( x, t)
= u&0( x)
u( x, t)
= u ( x)
t
0
=
,
0
t
∂
t =0
gdzie u
u& x
0 ( x ) określa przemieszczenia, a
0 (
) - prędkości wszystkich
przekrojów pręta w chwili początkowej ruchu t = 0.
Ponieważ równanie drgań podłużnych pręta o masie rozłożonej, jak i
kolejne, jest również równaniem różniczkowym drugiego rzędu ze
względu na x, jego rozwiązanie ogólne musi spełniać dwa warunki brzegowe. W przypadku pręta o długości l utwierdzonego lewym końcem i ze swobodnym końcem prawym będą one miały postać:
∂ u( x, t)
u( x, t)
= 0 ,
= 0
x =0
∂ x x= l
Pierwszy warunek brzegowy – przekrój na lewym utwierdzonym końcu
pręta nie może się przemieszczać
Drugi warunek brzegowy –w przekroju na prawym swobodnym końcu
pręta nie może być naprężeń (a więc także siły osiowej).
Równanie drgań skrętnych pręta.
Rozważmy element o długości dx pręta wykonującego drgania skrętne.
Równanie równowagi elementu pręta o długości dx, na który działa zewnętrzny moment skierowany osiowo o intensywności m( x), moment skręcający Ms( x, t) oraz moment sił bezwładności dMB( x, t), będzie miało postać:
m(
∂ M x t
x, t ) dx + dM B ( x, t)+ M s ( x, t) s ( , )
+
dx − M s ( x, t) = 0
∂
x
przy czym:
∂ϕ
2
∂ ϕ x, t
M
=
,
,
dM
,
= −ρ
B ( x t )
IS ( x)
( ) dx
s ( x t )
( x t)
GIS
x
∂
t 2
∂
IS( x) – biegunowy moment bezwładności przekroju.
m(x,t)
M
∂
Ms
M
s
+
dx
s
x
∂
x
dMB
x
dx
Równanie drgań skrętnych pręta o masie rozłożonej:
2
∂ ϕ ,
∂
∂ϕ ,
ρ I
−
=
,
S ( x )
( x t)
GI
2
S ( x )
( x t) m
( x t)
t
∂
x
∂
x
∂
G
Po wprowadzeniu oznaczenia a = ρ , oraz IS( x) = IS = const,
∂ ϕ
2
( x, t)
∂ ϕ
2
2
( x, t) m( x, t)
− a
=
t 2
∂
x 2
∂
ρ I
S
Rozwiązanie ogólne równania drgań skrętnych pręta o masie rozłożonej, musi spełniać dwa następujące warunki początkowe:
ϕ
∂ ( x, t)
ϕ(
= ϕ&0( x)
x, t )
= ϕ ( x)
t
0
=
,
0
t
∂
t =0
φ 0( x) – kąt obrotu wszystkich przekrojów pręta w chwili t = 0, ϕ& ( x
0
) – prędkość kątowa obrotu wszystkich przekrojów pręta dla t = 0.
Rozwiązanie ogólne równania drgań skrętnych pręta o masie rozłożonej musi spełniać ponadto dwa warunki brzegowe.
Pręt o długości l utwierdzony lewym końcem, ze swobodnym końcem prawym:
∂ϕ( x, t)
ϕ( x, t) = 0,
= 0
x =0
∂ x
x = l
Pierwszy warunek brzegowy – przekrój na lewym utwierdzonym końcu
pręta nie może się obrócić.
Drugi warunek brzegowy –w przekroju na prawym swobodnym końcu
pręta nie może być momentu skręcającego (a więc także naprężeń
stycznych).
Drgania podłużne i drgania skrętne pręta opisywane są formalnie
analogicznymi równaniami różniczkowymi.
Równanie drgań giętnych pręta.
Niech q( x, t) będzie rozłożonym obciążeniem prostopadłym do osi pręta, T( x, t) – siłą poprzeczną, a Mg( x, t) – momentem gnącym w przekroju pręta.
I( x) – moment bezwładności przekroju pręta względem linii obojętnej zginania.
Równanie różniczkowe zmieniającej się w czasie osi ugiętej belki
2
∂ υ ,
EI ( x)
( x t) = − M ,
2
g ( x t )
x
∂
M
∂
M
g
+
dx
g
Mg
x
∂
T
x
y
T
∂
T +
dx
x
∂
Zależność między T( x, t) i Mg( x, t): υ
T (
M
x t
g
x t
x, t ) ∂
( , )
∂
2
=
= −
EI ( x) ∂ ( , )
2
∂ x
∂ x
∂ x
Rozważmy element o długości dx.
Warunek równowagi rzutów sił na oś y, z uwzględnieniem siły bezwładności d’Alemberta dB( x, t) dB(
∂ T x t
x, t )+ T ( x, t)
( , )
+
dx − T ( x, t)+ q( x, t) dx = 0
∂
x
przy czym:
2
∂ υ ,
dB( x, t) = −ρ (
A x)
( x t) dx
t 2
∂
Po podstawieniu otrzymamy równanie drgań giętnych (poprzecznych)
pręta (belki) o słabo zmiennym przekroju i masie rozłożonej
2
2
∂
∂ υ ,
2
∂ υ ,
EI
+ ρ
=
2
( x) ( x t)
2
(
A x)
( x t) q
2
( x, t)
x
∂
x
∂
t
∂
oraz równanie drgań poprzecznych belki o stałym przekroju
4
∂ υ( x, t)
2
∂ υ( x, t)
EI
+ ρ A
= q
4
2
( x, t)
x
∂
t
∂
Powyższe dwa równania noszą nazwę technicznego równania drgań
poprzecznych belki, w celu odróżnienia od równania, w którym uwzględnia się wpływ odkształceń postaciowych spowodowanych siłą
poprzeczną oraz momentów sił bezwładności od obrotu elementów belki wokół osi z. Techniczne równanie drgań poprzecznych jest dostatecznie dokładne dla belek, których długość jest równa lub większa od
dziesięciu wysokości przekroju belki.
Ponieważ techniczne równanie drgań poprzecznych jest równaniem
różniczkowym drugiego rzędu ze względu na t i czwartego rzędu ze względu na x, jego rozwiązanie ogólne musi spełnić dwa warunki początkowe i cztery warunki brzegowe – na każdym brzegu po dwa.
Warunki początkowe będą miały postać:
υ
∂ ( x, t)
υ(
=υ&0( x)
x, t )
=υ ( x)
t
0
=
,
0
t
∂
t =0
gdzie υ ( x
υ& x
0
) określa przemieszczenie (ugięcie), a 0( ) - prędkość środka
masy każdego przekroju belki w chwili początkowej ruchu t = 0.
Najczęściej spotykane przypadki warunków brzegowych:
Przypadek 1 – końcowa podpora przegubowa, która
uniemożliwia ugięcie i powoduje, że Mg = 0
x
υ( ,
0 t ) = 0
υ x t
υ x t
y
M
x t
EI x
g (
2
2
∂
∂
, ) =
( ) ( , )
( , )
=
⇒
=
0
0
2
2
∂ x
∂ x
x =0
x =0
Przypadek 2 – utwierdzenie końca pręta, które
uniemo
x
żliwia ugięcie oraz obrót przekroju pręta
∂υ( x, t)
y
υ( ,
0 t ) = 0 ,
= 0
∂ x
x =0
Przypadek 3 – swobodny koniec pręta, na którym nie
może wystąpić moment gnący, ani siła poprzeczna
x
υ x t
υ x t
M
x t
EI x
y
g (
2
2
∂
∂
, ) =
( ) ( , )
( , )
=
⇒
=
0
0
2
2
∂ x
∂ x
x =0
x =0
υ
υ
T (
3
3
∂ x t
∂ x t
x, t ) = EI ( x)
( , )
( , )
=
⇒
=
0
0
3
3
∂ x
∂ x
x =0
x =0