**. FFT- szybka transformata Fouriera 1.przedstawienie przebiegów czasowych w dziedzinie częstości ma bardzo duŜe znaczenie praktyczne (np. rozpoznawanie mowy, obrazów), 2.Przekształcenie całkowe Fouriera ma podstawową wadę, wymaga nieskończonego czasu całkowania.
T
Na rysunkach pokazano wpływ ograniczenia się do czasów skończonych obserwacji (okno Prostokątne) na obserwowany przebieg czasowy.
Z ( jω) = X ( jω)∗ Y ( jω) Iloczynowi w dziedzinie czasu odpowiada splot w dziedzinie częstość.
1/T
Mamy juŜ skończony czas obserwacji. Teraz zastąpimy całkowanie, sumowaniem próbkowanego sygnału:
∞
∞
X ( jω) = ∫ x( t) − jω t e
X ( jω) = ∫ x( t) − j t e ω
0
−∞
zamieniamy na sumę przy załoŜeniu Ŝe, znane jest N próbek sygnału: π k n
N-
j
X ( jk )
2
1
=
−
∑ x e N k n
= 01 , 2
, ,........ N
.
−1
n=0
Jest to wzór na dyskretne przekształcenie Fouriera.
Podobnie moŜna wyznaczyć odwrotne dyskretne przekształcenie Foruriera: π k n
k-
j
x( n)
1
2
1
=
−
∑ X e N n k
= 01 , 2
, ,........ N
.
−1
N k=0
Aby wyliczyć dyskretną transformatę Fouriera naleŜy obliczyć 2
N wyraŜeń typu:
2π
2π k n
− j
− j
W = e
W kn
N
= e N
pomnoŜyć je przez odpowiednie x oraz zsumować. Bardzo duŜo obliczeń. ale jest na to n
bardzo prosty sposób, jeŜeli przyjmiemy, Ŝe ilość próbek czasowych jest liczbą typu: N = 2 l
l − liczba c
ałałkowi
róŜnych wartości wyraŜeń typu
kn
W
będzie tylko N a nie aŜ
2
N . I tak jeŜeli ilość próbek czasowych x jest np. 128 naleŜy obliczyć tylko 128 róŜnych kn
W
a nie 16.384 jak w
n
przypadku dowolnym. Liczba mnoŜeń ogranicza się do: N log N g
dy
= 2 l
N
2
FFT
N log N
log N
10
np.: N = 102
4
2
10
=
wówczas
2
2
=
=
=
= 0
.0098 ≈ 1%
FT
2
N
N
1024
k= 1
2
3
1
4
0
n= 0,1,2,3,4,5,6,7
5
7
6
k= 2
k= 3
1,5
6
1
3
2,6
0,4
4
0
7
5
3,7
2
k= 4
k= 5
2
7
5
1,3,5,7
4
0
0,2,4,6
1
3
6
k= 6
k= 7
3,7
6
5
7
2,6
0,4
0
4
1
3
1,5
2
Jak naprawdę obliczać w matlabie: clear all
T=100;
dt=.01;
t=0:dt:T;
k=length(t); % k=10001
q=log2(k); % q=13.2879
r=floor(q); % r=13
l=2^r; % l=8192
m=l/2; % m=4096
w1=5; % częstość w Hz x=sin(2*pi*w1*t); % sinusoida figure(1);plot(x(1:l)); % rysunek1
f=(dt^(-1)*(0:m-1))/l; % skala częstości z=fft(x,l); % fft figure(2);plot(z); % rysunek-motylek p=(z.*conj(z))*l; % gęstość widmowa figure(3);plot(f,p(1:m)); % rysunek3