Równanie kp Obliczając energię elektronu w krysztale, stosujemy następujące przybliżenia: 1. przybliżenie adiabatyczne (zakładamy, że atomy nie drgają – rdzenie atomowe są sztywno utwierdzone w swoich miejscach: ∆ R

)

i = 0

2. przybliżenie jednolektronowe (zakładamy, że w krysztale o periodycznym potencjale znajduje się tylko jeden elektron: 2





2

− h ∇ +

ψ



= ψ

V

ˆ ( r )

( r )

E ( r )

 2

kr

m



Wygodnym wyjściem do obliczenia energii elektronu w krysztale stanowi funkcja Blocha: ψ ( r) = ei k r ⋅ u ( r) k

2





2

− h ∇ + Vˆ ( r ) ei k ru ( r ) = E( k ) ei k ru ( r )

 2

kr

m

k

k



Żeby rozwiązać powyższe równanie, musimy obliczyć pochodne:

∇ ei k ru = ikei k ru + ei k r∇ u

∇2( eik ru)= ∇( ikeik ru + eik r∇ u)= − k 2 eik ru + ikeik r∇ u + ikeik r∇ u + eik r∇2 u =

= − ei k r (− k 2 u + i 2 k∇ u

2

+ ∇ u)

Wstawiamy to, co uzyskaliśmy:



2

2

2

2

h

h

h



i k r

2

i

k

k

e

−

∇ −

∇ +

+ Vˆ ( r )

kr

 u = ei k r Eu

 2 m

m

2 m



2

h k 2

dzielimy obustronnie przez i k r e

oraz odejmujemy

u :

2 m



2

2



 h



h

h

2

i

k





2 k 2 

−

∇ + Vˆ ( r)

kr

 −

∇ u = E −

u





 2 m



m





2 m  ← równanie kp





|

||

||

ˆ

H - ten wyraz jest taki sam, zaburzenie Hˆ E ' - łatwa do policzenia różnica 0

zb

jak w równaniu wyjściowym

Wyrażenie − h

i ∇ jest równoważne działaniu operatora pędu pˆ : pˆ = − ∇

h

i

Trzeba też zauważyć, że funkcji u ( r ) o tym samym k może być wiele, dlatego trzeba je ponumerować.

k

Ostatecznie dostajemy równanie kp w postaci, od której wzięło swoją nazwę: 2

2

2

 h

h





h k 

2

−

∇ + kp + Vˆ

ˆ

( r ) u ( r ) = E −

u

( r )





 2

kr

n,

m

m

k





2

n,

m

k



n odróżnia niezdegenerowane stany energetyczne dla danego wektora falowego k