Najwa»niejsze zagadnienia na egzamin z teorii matematyki dla studentów I roku TCH WIiTCH, semestr zimowy 2011/2012

1. Ci¡gi liczbowe.

1.1. Poj¦cie ci¡gu liczbowego.

1.2. Monotoniczno±¢ ci¡gu.

1.3. Ograniczono±¢ ci¡gu.

1.4. Granica ci¡gu.

1.5. Twierdzenie o jednoznaczno±ci granicy ci¡gu + dowód.

1.6. Twierdzenie o trzech ci¡gach + dowód.

1.7. Symbole nieoznaczone.

1.8. Ci¡gi liczbowe specjalne i ich granice + dowód.

2. Granica i ci¡gªo±¢ funkcji jednej zmiennej rzeczywistej.

2.1. Denicja Heinego i Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie.

2.2. Granice jednostronne, twierdzenie o istnieniu granicy.

2.3. Twierdzenie o granicy funkcji zªo»onej.

2.4. Twierdzenie o trzech funkcjach, wniosek z twierdzenie o trzech funkcjach.

2.5. Granice specjalne.

2.6. Poj¦cie ci¡gªo±ci funkcji.

2.7. Punkty nieci¡gªo±ci.

2.8. Twierdzenia o funkcjach ci¡gªych.

3. Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej.

3.1. Denicja ilorazu ró»nicowego i jego interpretacja geometryczna.

3.2. Denicja pochodnej funkcji w punkcie, obliczanie pochodnych funkcji z denicji.

3.3. Denicja stycznej do wykresu, interpretacja geometryczna pochodnej funkcji.

3.4. Warunek konieczny istnienia pochodnej.

3.5. Pochodne jednostronne, warunek konieczny i wystarczaj¡cy istnienia pochodnej.

3.6. Twierdzenia o pochodnej funkcji.

3.7. Twierdzenie Rolle'a.

3.8. Twierdzenie Lagrange'a + dowód, wnioski z twierdzenia Lagrange'a.

3.9. Reguªa de l'Hospitala, przeksztaªcenia symboli nieoznaczonych.

3.10. Denicja ekstremum lokalnego funkcji, warto±ci najwi¦kszej i najmniejszej funkcji.

3.11. Twierdzenia Fermata.

3.12. Warunek wystarczaj¡cy istnienia ekstremum.

3.13. Denicja punktu przegi¦cia, funkcji wypukªej oraz wkl¦sªej.

3.15. Warunek konieczny i wystarczaj¡cy istnienia punktu przegi¦cia.

3.16. Warunki wystarczaj¡ce wypukªo±ci.

3.17. Denicja asymptot funkcji.

3.18. Warunek wystarczaj¡cy istnienia asymptoty uko±nej.

4. Caªka nieoznaczona.

4.1. Denicja pierwotnej i caªki nieoznaczonej.

4.2. Twierdzenie o caªkowaniu przez cz¦±ci.

4.3. Twierdzenie o caªkowaniu przez postawienie.

4.4. Wzory redukcyjne.

4.5. Denicja uªamków prostych.

4.6. Twierdzenie o rozkªadzie funkcji wymiernej na uªamki proste.

4.7. Caªkowanie uªamków prostych.

4.8. Caªkowanie funkcji trygonometrycznych.

4.9. I podstawienie Eulera.

4.10. II podstawienie Eulera.