a.
1
lim
1
x→ 0 2 − 2 x Rozpatrujemy granice jednostronne: x → 0 −
x → 0+
1
1
→ −∞
→ + ∞
x
x
1
1
2 x → 0
2 x → + ∞
1
1
1
→
→ 0
1
1
2 − 2 x 2
2 − 2 x 1
1
1
lim
=
lim
= 0
1
1
x→ 0 − 2 − 2 x 2
x→ 0+ 2 − 2 x Granica lewostronna jest ró»na od granicy prawostronnej, zatem granica 1
lim
nie istnieje.
1
x→ 0 2 − 2 x sin πx
sin πx
b.
1
π
1
1
lim
sin
x = lim
2
= lim
2
·
=
x→ 0 xπ
2
x→ 0
πx
x→ 0
πx
2
2
2
√
3
c.
10 − x − 2
1
lim
= −
- skorzysta¢ ze wzoru: a 3 − b 3 = ( a − b)( a 2 + ab + b 2) ⇒ a − b = a 3 −b 3
x→ 2
x − 2
12
a 2+ ab+ b 2
d.
1
1
lim
=
= −∞
x→ 2 − x 2 − 4
0 −
!
e.
1
1
1
sin x
1 + sin x
lim
+
= lim
+
= lim
= + ∞
x→ π −
cos x
ctg x
x→ π −
cos x
cos x
x→ π −
cos x
2
2
2
f. lim e− 1 x 2 = 0
x→ 0
g. lim e− 1 x 2 = 1
x→∞
h.
sin x
lim e x = e 0 = 1 - patrz Zadanie 1, przykªad r x→∞
i.
x
π
lim arctan
= −
x→ 0 −
|x|
4
j.
1
lim ( e x − 1) arctan x = 0
x→−∞
k.
1
lim exp
x→ 1
x − x 3
l.
x
lim
x→ 0 1 + exp 1 x 1
x − 4
lim arctan
= 0
x→∞
( x − 2)2
n.
1
π
lim arctan
= −
x→ 1+
1 − x
2
o.
1 − x
π
lim arcsin
= arcsin ( − 1) = −
x→∞
1 + x
2
2