Działania w zbiorze macierzy
1. Dodawanie macierzy
Ujęcie poglądowe
_______________________________________________________________________
Dwie macierze można dodać wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same wymiary. Po prostu dodaje się odpowiadające sobie wyrazy. Na przykład
2
3
4
5 6 7
2 + 5
3 + 6
4 + 7
7 9 1
1
A + B =
+
=
=
1 −1 0
3 4 5
1+ 3 −1+ 4 0 + 5
4 3
5
a b
0 0
0 0 a b a b
C + 0 = 0 + C = c d + 0 0 = 0 0 + c d = c d
e
f
0 0
0 0
e
f
e
f
Zauważmy, że w przypadku dodawania C + 0 przyjęliśmy takie wymiary macierzy zerowej, które czynią dodawanie sensownym.
Takie wyrażenie, jak
2
3
4
0
1
0
− 2
+
1 −1 0 3 − 1 4
4
jest pozbawione sensu, bo te macierze mają różne wymiary.
_________________________________________________________________________________
Ujęcie formalne ogólne
_________________________________________________________________________________
Definicja
Sumą macierzy A = [aij]m × n i B = [bij]m × n nazywamy macierz C m × n = [ci j]m × n , gdzie ci j = ai j + bi j.
Piszemy:
C = A + B lub [cij]m × n = [aij]m × n + [bij]m × n lub [aij + bij ]m × n = [aij]m × n + [bij]m × n .
a
a
...
a
b
b
...
b
a 11 + b
a
11
12 + b
...
a
b
12
n
1
+
11
12
n
1
11
12
n
1
n
1
a
a
...
a
b
b
...
b
a 21 + b
a
21
22 + b
...
a
b
22
2 n +
21
22
2 n + 21
22
2 n =
2 n .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
a
a
...
a
b
b
... b
a
b
a
b
...
a
b
m 1 +
m 1
m 2 +
m 2
mn +
m 1
m 2
mn
m 1
m 2
mn
mn
1
Definicja
Macierzą przeciwną do A = [ai j]m × n nazywamy macierz: –A = [ –ai j]m × n .
Definicja
Różnicą A – B macierzy A, B nazywamy macierz C = A + (–B).
2. Mnożenie macierzy przez liczbę
Ujęcie poglądowe
__________________________________________________________________
Każdą macierz można pomnożyć przez dowolną liczbę (skalar). Wystarczy tylko pomnożyć każdy wyraz macierzy przez ten skalar. Na przykład:
2
3
4
3⋅ 2
3 ⋅ 3
3 ⋅ 4
6
9
12
3 ⋅A = 3⋅
=
=
1 −1 0
3⋅1 3⋅ (− )
1
3 ⋅ 0
3 − 3
0
Jest 0 ⋅A = A ⋅ 0 = 0.
liczba 0 macierz zerowa
Poniższy przykład pokazuje, w jaki sposób odejmujemy macierze (oczywiście tego samego wymiaru), a mianowicie: X – Y = X + (-1) Y.
1 2
3
2
1 2
− 3 − 2
− 2 0
C−D = 3 4 + (-1) 1
0 = 3 4 + −1
0 = 2
4 .
5 6
−1 −
3
5 6
1
3
6
9
___________________________________________________________
Ujęcie formalne ogólne
_____________________________________________________________________________
Definicja
Iloczynem macierzy A = [ai j]m × n przez liczbę rzeczywistą β nazywamy macierz C = [ci j]m × n = [β ai j ]m ×n
Piszemy: C = β⋅A lub [ci j]m × n = β [ai j]m × n = [β ai j ]m ×n .
2
a
...
a
β a 11
β a
...
12
β a
11
12
n
1
n
1
a
a
...
a
β a 21 β a
...
22
β a
β 21
22
2 n =
2 n .
...
...
...
...
...
...
...
...
a
a
...
a
β a 1 β a
...
2
β a
m 1
m 2
mn
m
m
mn
Twierdzenie
Jeżeli A, B, 0 (macierz zerowa) są macierzami tego samego wymiaru, α, β liczbami rzeczywistymi, to:
a) α(A + B) = α A + αB ,
b) (α + β) A = αA + β A ,
c) 1⋅A = A ,
d) 0 ⋅A = 0 .
Przykład
Rozwiąż równanie -3(A + X) + 5(2X + B) = A – B o niewiadomej X, gdy
1 − 1
2
0
2 0 − 2
1
A =
, B =
.
3
2
−1 4
0 2
1
3
Zauważmy że X musi być macierzą wymiaru 2 × 4 (w przeciwnym przypadku nie moż-
na byłoby dodać jej do A).
Zadanie można rozwiązać w różny sposób, np.
1. Oznaczyć poszczególne wyrazy literami i po podstawieniu danych macierzy w miej-sce A i B wykonać obliczenia.
2. Wykonać działania i na końcu podstawić dane macierze.
Postąpimy wg drugiego sposobu, wykorzystując powyższe twierdzenie.
-3(A + X) + 5(2X + B) = A – B
-3A – 3X + 10X + 5B = A – B
-3A + 7X + 5B = A – B
3A –3A + 7X + 5B = 3A + A – B
7X + 5B = 3A + A – B
7X + 5B = 4A – B
7X = 4A – B – 5B
7X = 4A – 6B
4
6
X =
A –
B.
7
7
3
6
4
6
Wystarczy obliczyć
A,
B,
A –
B i otrzymamy macierz X.
7
7
7
7
Wykonamy te operacje.
4
4
8
−
0
4
4 1
−1 2 0
A =
= 7
7
7
,
7
7 3
2
−1 4
12
8
− 4 16
7
7
7
7
12
12
6
0
−
6
6 2
0
− 2
1
B =
= 7
7
7 ,
7
7 0 2
1
3
12
6
18
0
7
7
7
4
4
8
−
12
12
6
8
4
20
6
0
0
−
−
−
−
4
6
A –
B = 7
7
7
– 7
7
7 = 7
7
7
7 .
7
7
12
8
− 4 16
12
6
18
12
4
10
2
0
−
−
−
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
8
4
20
6
−
−
−
Zatem X = 7
7
7
7 .
12
− 4 − 10 − 2
7
7
7
7
3. Mnożenie macierzy
Ujęcie poglądowe
______________________________________________________________________
Pokażemy, jak obliczać wyrazy iloczynu na przykładzie macierzy A o wymiarach 2×3
oraz macierzy D o wymiarach 3×2. Macierz AD ma wymiary 2×2; ma tyle wierszy ile ma macierz A i tyle kolumn ile macierz D.
−1
0
1 2 3
Niech A =
, D = 5
− 2 .
4 5 6
0
− 4
c
c
Oznaczmy wyrazy macierzy C = AD nast
11
12
ępująco:
.
c
c
21
22
4
Na przykład, wyraz c12 leży w pierwszym wierszu i w drugiej kolumnie macierzy AD.
Otrzymujemy go z pierwszego wiersza macierzy A i drugiej kolumny macierzy D.
Pierwszy wiersz A druga kolumna D Pierwszy wiersz i druga kolumna AD
*
0
1 2
3
* c
11
* − 2
* *
*
*
*
* − 4
Żeby otrzymać wyraz c11 z pierwszego wiersza macierzy A i drugiej kolumny macierzy D, mnożymy odpowiadające sobie wyrazy i dodajemy iloczyny. Iloczyny wynoszą 0, -4, -12.
Po dodaniu ich otrzymujemy -16. Pokazuje to schemat:
Aby pomnożyć macierze wygodnie je pisać w następujący sposób:
−1
0
5 − 2
0
− 4
1 2 3
9
−16
4 5 6
21 − 34
Strzałki podpowiadają z którego wiersza i z której kolumny otrzymujemy dany wyraz.
−1
0
5 − 2
0
− 4
1 2 3
9
−16
4 5 6
21 − 34
Dalsze wyrazy macierzy AD liczymy tak:
c11 = 9 = 1 ⋅(-1) + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 0, c12 = -16 = 1 ⋅0 + 2(-2) + 3 (-4), c21 = 21 = 4(-1) + 5 ⋅5 + 6⋅ 0, c22 = -34 = 4 ⋅ 0 + 5(-2) + 6(-4).
5
−1
0
1 2 3
9
−16
A⋅ D =
⋅ 5
− 2 =
.
4 5 6
21 −
34
0
− 4
Zachodzą ogólne twierdzenia
a)
Mnożenie macierzy nie jest przemienne.
b)
Mnożenie macierzy jest łączne (A B) C = A (B C), czyli można najpierw mnożyć A przez B i wynik przez C bądź mnożyć A przez wynik mnożenia macierzy B i C; wszyst-ko pod warunkiem, że te mnożenia są wykonalne.
c)
Transpozycja zmienia porządek iloczynu, to znaczy, że (AB)T = B TAT
Macierz zerowa działa dokładnie tak, jak można by oczekiwać: wynik mnożenia czego-kolwiek przez macierz zerową jest macierzą zerową.
__________________________________________________________________
Ujęcie formalne ogólne
_______________________________________________________________________
Definicja
Niech Am × t = [ai j]m × t , B t × n = [bi j] t × n.
Iloczynem AB macierzy A i B nazywamy macierz Cm × n = [cij]m × n ,
t
gdzie ci j = w o k = ∑ w k .
i
j
s
s
s = 1
w
1
w 2
Przyjmując, że A = , B = [ k , k , … , k ],
1
2
n
...
w
m
wtedy
w
w 1 o k
w
1
1 o k
...
w
2
1 o k
1
n
w
w 2 o k
w
1
2 o k
...
w
2
2 o k
2
n
AB =
⋅
[ k , k , … , k ]=
.
1
2
n
...
...
...
...
...
w
w o k
w
1
o k
...
w
2
o k
m
m
m
n
m
6
Twierdzenie
Niech A, B, C, I (macierz jednostkowa) , 0 (macierz zerowa) będą takimi macierzami, dla których podane działania są wykonalne. Wtedy:
a) A (B + C) = A B + A C,
b) (A + B) C = A C + B C,
c) A (α B) = (αA) B = α (A B),
d) A (B C) = (A B) C,
e) A ⋅ I = I ⋅ A = A,
f) 0 ⋅ A = A ⋅ 0 = 0.
Macierz jednostkowa zawsze jest macierzą kwadratową, ale - podobnie jak w przypadku macierzy zerowej - jej dokładne wymiary powinny być wywnioskowane z kontekstu. Macierzą jednostkową o wymiarach 3 x 3 jest
1 0 0
1 0
I3 = 0 1 0 , I2 =
0 1
0 0 1
W macierzy jednostkowej na głównej przekątnej są jedynki, a poza tą przekątną zera.
Ćwiczenia
1. Dane są macierze:
2 4
1
− 2 4
− 2
0
2
5
0
A2 x 3 =
, B2 x 2 =
, C3 x 2 = 3 6 , D2 x 3 =
.
− 2
3
−
5
− 5
,
0
1
−1 0 1
1
2
Wyznacz (o ile to możliwe) macierz:
a) A + 2B , b) 2A – 2B , c) (A – B) ⋅ C , d) C ⋅ D, e) D ⋅ C, f) A ⋅ C, g) CT ⋅ A, h) (DT – 2 C) ⋅ B, i) B2 , j) A2 , k) CT – A, l) (B – C) ⋅ A, ł) B2 ⋅ D, m) C ⋅ B2 ⋅ D, n) (2D + A) ⋅ C2 , o) D ⋅ C ⋅ B, p) 2A ⋅ 3D, q) C ⋅ D ⋅ AT , r) A ⋅ B, s) C ⋅ B.
Uwaga
Przyjmujemy, że X2 = X ⋅ X.
2
2
2
1
− 2 − 3
2. Oblicz:
+
.
−1 0
1
1
7
2
3
1
x
3. Podaj warunki , przy których A⋅X = B, gdy A = −1 1 0 , B = 3 , X = y .
−1 2 1
0
z
4. Rozwiąż równania i układy równań:
2
5
2
1
a
−
1
a
2
a) 3 A –
= 5A –
, b) 2 –
+ 4 = ,
− 1 0
0 −
1
b
2
b
1
1 2
3
a
2
5
c) (2A)T =
, d) [a 2 1] ⋅ 0 1 2 ⋅ 2 = 0 ,
− 3 0
0 0 1
0
1
2
0
1
X − 2 Y =
1
− 2
5
− 2
3
e)
A + 4
= - , f)
.
2
0
− 1
2
1
2 X + Y =
1
− 2
− 4
1
2
3
1 0
5. Oblicz wartość wyrażenia f(X) = X2 – 4X + 5 I, gdy X =
, I =
.
−1 1
0 1
8