A. Zaborski, Zwi zki ró niczkowe sił przekrojowych Zwi zki ró niczkowe pomi dzy siłami przekrojowymi dla łuku płaskiego

Rozpatrzmy równowag elementu o długo ci ds pr ta o osi krzywej płaskiej, obci onego obci eniem ci głym q - normalnym do osi, oraz p - stycznym do osi. Zarówno obci enie jak i siły przekrojowe zaznaczamy zgodnie z przyj t konwencj znakowania.

q(s+β∆s)∆s

p(s+ ∆s)∆s

Q(s)

A

Q(s+∆s)

M(s)

M(s+∆s)

N(s)

N(s+∆s)

ρ

∆ϕ

Obci enia mo emy zast pi wypadkowymi, które zgodnie z tw. Lagrange’a oraz po zaniedbaniu małych wy szego rz du przedstawia rysunek obok. Wyci ty element powinien znajdowa si w równowadze.

Obliczaj c sum rzutów sił na pionow o symetrii, mamy: dQ( s + α Q∆ s)

∆ϕ

dN ( s + α N∆ s)

∆ϕ

− q( s + β ∆ s)∆ s −

∆ s cos

− 2 N( s) +

∆ s sin

= ,

0

ds

2

ds

2

dla sumy rzutów sił na o poziom : dQ( s + α Q∆ s)

∆ϕ dN( s +α N∆ s)

∆ϕ

p( s + γ ∆ s)∆ s − 2 Q( s) +

∆ s sin

+

∆ s cos

= ,

0

ds

2

ds

2

a dla sumy momentów wzgl dem punktu A: dM ( s + α M ∆ s) dQ( s + α Q∆ s)

∆ϕ

ρ

−

∆ s + 2 Q( s) +

∆ s ρ tan

− p( s + γ ∆ s)∆ s

− ρ = 0

ds

ds

2

cos ∆ϕ2

Dziel c równania przez ∆ s i uwzgl dniaj c, e dla małego k ta ∆ϕ jest:

∆ϕ

∆ϕ

ϕ

∆

∆ϕ

ϕ

∆ ∆ϕ

∆ s

cos

→ s,

1 in

→

,tan

→

,

→

,

2

2

2

2

2

2

2ρ

oraz e dla ∆ s → 0

f ( s + α ∆ s) → f ( s) , otrzymamy ostatecznie: dM ( s) = Q( s) ds

dQ( s) N( s)

+

= − q( s) ds

ρ

dN ( s) Q( s)

−

= − p( s) ds

ρ

Pochodna momentu zginaj cego po współrz dnej łukowej jest równa sile poprzecznej (z dokładno ci do znaku: zale nie od przyj tej konwencji znakowania). W przekroju zerowania si siły poprzecznej moment zginaj cy osi ga warto ekstremaln .

Uwaga: Znaki w wyprowadzonych równaniach zale od przyj tej konwencji znakowania obci e i sił przekrojowych.