dr Krzysztof Żyjewski MiBM rok I,

23 maja 2014

Zadania przygotowujące (przykładowe) do kolokwium V

1. Oblicz całki nieoznaczone:

√

a) R

x2

dx,

b) R

dx

,

c) R x3ex2dx,

d) R cos3 x sin xdx,

x3+7

x ln5 x

√

e) R

ex

√

dx,

f) R

x ln xdx,

g) R x2 ln2 xdx,

h) R (x2 + 3) cos 3xdx, ex+3

i) R ex sin 2xdx,

j) R

x2−3 dx,

k) R

1

dx,

l) R

2x−1

dx,

x(x+1)2

x2−6x+13

x2−4x+4

m) R

sin x dx,

n) R

dx

,

o) R sin2 x cos5 xdx,

p) R cos 5x sin 2xdx,

2+cos x

sin4 x+4 cos2 x

√

√

r) R

xdx

√

dx,

s) R

x2 − 6x − 7dx,

t) R

1

√

dx,

u) R

4x+5

√

dx.

3 x+x

x2−6x+2

4x2+4x+5

2. Oblicz podane całki oznaczone z wykorzystaniem wzoru Newtona-Leibniza e2

2

a) R ln x dx;

b) R e2x dx.

x

1+ex

1

0

3. Korzystając z interpretacji całki oznaczonej oblicz pole obszaru D ograniczonego: a) y = x2 + 4x, y = x + 4 oraz osia Ox; b) y = x, y = 1 x, y = 1 .

4

x

4. Oblicz objętość bryły powstałej z obrotu figury N wokół osi OX, gdzie N :

√

a) y =

xe2x, y = 0, x = 1;

3

5. Oblicz długość łuku krzywej: y = 2 (x − 1) 2 dla 1 ≤ x ≤ 4.

3

6. Rozwiąż rownania różniczkowe: a) 6xdx − ydy = yx2dy − 3xy2dx; b) y2 = x dy + y;

dx

√

c)

1 − x2y0 = −p1 − y2;

d) xy0 − y = 2x3;

e) dy − 2 y = (x + 1)3.

dx

x+1

7. Rozwiąż zagadnienie Cauchy’ego: (xy0 − y = x2 + x,

y(1) = 2.

8. Oblicz całki niewłaściwe:

∞

2

a) R 1 dx;

b)

R

1

dx;

x4

x2+4

1

−∞

1

1

c) R 1

R

√ dx;

d)

1

√

dx.

3 x

1−x2

0

0