ZGINANIE I ŚCINANIE PRZEKROJÓW TEOWYCH
Zad. 1.
Zaprojektować zbrojenie belki o przekroju dwuteowym i schemacie statycznym pokazanym na rysunku. Belka wykonana będzie z betonu B25 (C20/25) i zbrojona stalą klasy A-IIIN (zbrojenie główne) oraz A-II (zbrojenie na ścinanie). Belka będzie uŜytkowana w środowisku o klasie ekspozycji XC2.
1.0 Schemat statyczny
1
2
3
9,000
3,000
H=12,000
g =
4,5
kN/m
wartość obciąŜenia stałego
p =
8
kN/m
wartość obciąŜenia uŜytkowego o zmiennej długości L1 =
9
m
rozpiętość między podporami 1 i 2
L2 =
3
m
wysięg przewieszenia
2.0 Geometria przekroju poprzecznego
bg =
0,35
m
szerokość półki górnej
bs =
0,15
m
szerokość środnika
bd =
0,2
m
szerokość półki dolnej
hg =
0,2
m
wysokość półki górnej
hs =
0,3
m
wysokość środnika
hd =
0,1
m
wysokość półki dolnej
h =
0,6
m
wysokość całego przekroju
Ac =
0,135
m2
=
1350
cm2
pole przekroju elementu
3.0 Dane materiałowe
Pręty zbrojenia głównego A-IIIN:
φ =
1,2
cm
średnica pręta zbrojeniowego
Aφ12 =
1,131
cm2
pole przekroju pręta
fyk =
500
MPa
charakterystyczna granica plastyczności stali fyd =
420
MPa
obliczeniowa granica plastyczności stali ξeff,lim =
0,5
[-]
Strzemiona A-II:
φ =
0,6
cm
średnica pręta zbrojeniowego
Aφ6 =
0,283
cm2
pole przekroju pręta
fyk =
355
MPa
charakterystyczna granica plastyczności stali fyd =
310
MPa
obliczeniowa granica plastyczności stali
fcd =
13,3
MPa
obliczeniowa wytrzymałość betonu na ściskanie fctd =
1
MPa
obliczeniowa wytrzymałość betonu na rozciąganie fck =
20
MPa
charaktrystyczna wytrzymałość betonu na ściskanie fctm =
2,2
MPa
średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie 4.0 Wartości sił wewnętrznych
4.1 ObciąŜenie stałe
4,500
4,
4 5
, 0
5 0
0
4,500
1
2
1
2
3
18,0
R 0
A 0
RB
~ Wyznaczenie reakcji od obciąŜenia stałego g ΣMA = 0
RB*L1 - g(L1+L2)*0,5*(L1 + L2) = 0
RB = 0,5 g (L1 + L2)2/L1
RB =
36
kN
ΣY = 0
RA - g(L1 + L2) + RB = 0
RA = g (L1 + L2) - RB
RA =
18
kN
~ Wykres sił tnących
18,0
, 00
13,5
, 00
T [kN]
1
2
-2
- 2,5
, 00
~ Określenie połoŜenia maksymalnego momentu przęsłowego (zerowanie się sił tnących) Z twierdzenia Talesa: 18 / x = (18 + 22,5) / L1
x =
4
m
~ Wykres momentów zginających
-2
- 0,2
, 50 -2
- 0,2
, 50
M [kNm]
1
2
35,998
~ Maksymalne momenty od obciąŜenia stałego g
* przęsłowy Mmax = RA * x - g * x * 0,5 x =
36
kNm
* podporowy
Mmin = -g * L2 * 0,5 L2 =
-20,25
kNm
4.2 ObciąŜenie zmienne p na ropiętości L1
8,000
8,000
1
2
1
2
3
R
R
A
B
~ Wyznaczenie reakcji od obciąŜenia zmiennego p RA = RB = 0,5 p L1 =
4
kN
~ Wykres sił tnących
36,0
, 00
T [kN]
1
2
-3
- 6,0
, 00
~ Wykres momentów zginających
M [kNm]
1
2
81,000
~ Maksymalne momenty od obciąŜenia zmiennego p
* prz
2
ęsłowy
Mmax = p L1 / 8 =
81
kNm
* podporowy
Mmin =
0
kNm
4.3 ObciąŜenie zmienne p na rozpietosci L2
8,000
8,000
1
2
1
2
3
4,000
RA
RB
~ Wyznaczenie reakcji od obciąŜenia zmiennego p ΣM
2
B = 0
0,5 p * L2 - RA * L1 = 0
R
2
A = 0,5 p * L2 / L1
RA =
4
kN
ΣY = 0
RA + p * L2 - RB = 0
RB =
28
kN
24,0
, 00
T [kN]
1
2
-4
- ,0
, 00
-4,000
~ Wykres momentów zginających
-3
- 6,0
, 00 -3
- 6,0
, 00
M [kNm]
1
2
~ Maksymalne momenty od obciąŜenia zmiennego p
* przęsłowy
Mmax =
-
kNm
* podporowy Mmin = -RA * L1 =
-36
kNm
4.4 Obwiednia sił tnących i momentów zginających 54,000
37,500
14,000
13,500
T [KN]
1
2
-22,500
-62,500
-56,250 -56,250
-20,250 -20,250
M [kNm]
1
2
~ Maksymalny moment przesłowy od obciąŜenia stałego i zmiennego Mmax = Mmax(g, x= 4) + Mmax(p, x=4,5) =
117
kNm
Maksymalny moment przęsłowy od obciąŜeń stałego i zmiennego występuje w połowie rozpiętości L1
i wynosi 116,44 kNm (wartość odczytana z programu). Do obliczeń moŜna przyjąć warość 117 kN
poniewaŜ obliczeniowo znajdujemy się po strone bezpiecznej (moment obliczony jest większy od rzeczywistego).
~ Maksymalny moment podporowy od obciąŜeia stałego i zmiennego Mmin =
-56,25
kNm
5.0 Wymiarowanie przekroju z uwagi na zginanie 5.1 Określenie wysokości uŜytecznej przekroju
~ Otulenie prętów zbrojenia
cmin =
2
cm
minimalna grubość otulenia dla klasy ekspozycji XC2
∆c =
0,5
cm
odchyłka otuliny
cnom = cmin + ∆c =
2,5
cm
całkowita grubość otuliny
~ Wysokość uŜyteczna przekroju
d = h - c - φstrz - 0,5φgł =
56,3
cm
pręty ułoŜone w jednym rzędzie
5.1 Maksymalny moment przęsłowy
~ Minimalne pole przekroju zbrojenia głównego
f
ctm
0,26
⋅ bd ⋅
A
max
s ,
1 min =
d
f yk
0,0013 bd ⋅ d
0,26 bd d fctm/fyk =
1,288
cm2
0,0013 bd d =
1,464
cm2
As1,min =
1,464
cm2
~ Określenie rodzaju przekroju
Mf = hg bg αcc fcd (d – 0,5hg) = 431,053 kNm moment płytowy
αcc = 1
Mf = 431,053
>
Mmax =
117
kNm
przekrój pozornie teowy
µ =
M sd
eff
=
0,079
[-]
b
d 2
f
g ⋅
⋅ cd
ξ
1
1
2 µ
eff
= −
− ⋅ eff =
0,083
< ξeff,lim =
0,5
[-]
przekrój pojedynczo zbrojony
ξ
d b
f
eff ⋅
⋅ g ⋅
As 1 =
cd
=
5,161
cm2
> As1,min =
1,464
cm2
f yd
ilość potrzebnych prętów φ12:
n = As1 / Aφ12 =
4,564
szt
przyjęto
5
szt
As1,prov = n Aφ12 =
5,655
cm2
pole zastosowanego zbrojenia
ρL = As1,prov/Ac * 100%=
0,42
%
stopień zbrojenia
5.2 Maksymalny moment podporowy
~ Minimalne pole przekroju zbrojenia głównego
f
ctm
0,26
⋅ bg ⋅
A
max
s ,
1 min =
d
f yk
0,0013 bg ⋅ d
0,26 bg d fctm/fyk =
3,175
cm2
0,0013 bg d =
2,562
cm2
As1,min =
3,175
cm2
~ Określenie rodzaju przekroju
Mf = hd bd αcc fcd (d – 0,5hg) = 136,458 kNm moment płytowy
αcc = 1
Mf = 136,458
>
Mmax =
56,25
kNm
przekrój pozornie teowy
µ =
M sd
eff
=
0,067
[-]
b
d 2
f
g ⋅
⋅ cd
ξ
1
1
2 µ
eff
= −
− ⋅ eff =
0,069
< ξeff,lim =
0,5
[-]
przekrój pojedynczo zbrojony
ξ
d b
f
eff ⋅
⋅ g ⋅
As 1 =
cd
=
2,464
cm2
< As1,min =
3,175
cm2
f yd
ilość potrzebnych prętów φ12:
n = As1,min / Aφ12 =
2,807
szt
przyjęto
3
szt
As1,prov = n Aφ12 =
3,393
cm2
pole zastosowanego zbrojenia
ρL = As1,prov/Ac * 100%=
0,25
%
stopień zbrojenia
6.0 Wymiarowanie przekroju z uwagi na ścinanie Przyjęto zbrojenie strzemionami dwucietymi φ6 ze stali klasy A-II Asw = 2Aφ6 =
0,565
cm2
6.1 Podpora A z prawej strony
V
ρ
σ
1 = [0,35 k ⋅ f
⋅ ,
1
( 2 + 40
) + 0 1
, 5
b
]
⋅ d
Rd
ctd
L
cp
s
k = 1,6 - d =
1,037
>1
ρL = 0,0042 < 0,01
przyjęto, Ŝe wszystkie pręty z przęsła są zakotwione na długość lbd + d poza rozpatrywany przekrój σcp =
0
MPa
napręŜenie ściskające wywołane działaniem siły podłuŜnej
41,917
kN
V d
Sd =
46,975
kN
siła tnąca w odległości d od podpory
V d
Sd > VRd1 - odcinek II rodzaju
ctg θ
VRd = ⋅ f cd ⋅ bs ⋅ z ⋅
2
ν
2
1 + ctg θ
ν = 0,6 (1 - fck/250) =
0,552
[-]
z = 0,9 d =
0,5067
m
ramię sił wewnętrznych w przekroju
ctg θ =
1
[-]
VRd2 = 278,999 [kN]
V d
Sd < VRd2 - warunek SGN jest spełniony
~ wyznaczenie rozstawu strzemion
A
d
sw
⋅ f
A
ywd
sw
⋅ f
1
1
VRd = Vsd =
⋅ z ⋅ ctg
⇒
s =
ywd
⋅ z ⋅
3
θ
1
1
ctg
1
θ
s
d
1
Vsd
s1 =
18,91
cm
przyjęto strzemiona w rozstawie s1 =
18
cm
~ określenie długosci odcinka II rodzaju VSd −
c =
VRd 1 =
0,967
m
odległośc liczona od osi podpory
g + p
~ stopień zbrojenia strzemionami
ρ ,min = 0,08 fck
w
=
0,0010
[-]
f yk
= Asw 1
ρ w
=
0,0021
[-]
> ρw,min
s 1 ⋅ bs
6.2 Podpora B z lewej strony
V
ρ
σ
1 = [0,35 k ⋅ f
⋅ ,
1
( 2 + 40
) + 0 1
, 5
b
]
⋅ d
Rd
ctd
L
cp
s
k = 1,6 - d =
1,037
>1
ρL = 0,0025 < 0,01
przyjęto, Ŝe wszystkie pręty z podpory są zakotwione na długość lbd + d poza rozpatrywany przekrój σcp =
0
MPa
napręŜenie ściskające wywołane działaniem siły podłuŜnej VRd1 =
39,863
kN
V d
Sd =
55,475
kN
siła tnąca w odległości d od podpory
V d
Sd > VRd1 - odcinek II rodzaju
VRd = ⋅ f cd ⋅ bs ⋅ z ⋅
2
ν
2
1 + ctg θ
ν = 0,6 (1 - fck/250) =
0,552
[-]
z = 0,9 d =
0,5067
m
ramię sił wewnętrznych w przekroju
ctg θ =
1
[-]
VRd2 = 278,999 [kN]
V d
Sd < VRd2 - warunek SGN jest spełniony
~ wyznaczenie rozstawu strzemion
A
d
sw
⋅ f
A
ywd
sw
⋅ f
1
1
VRd = Vsd =
⋅ z ⋅ ctg
⇒
s =
ywd
⋅ z ⋅
3
θ
1
1
ctg
1
θ
s
d
1
Vsd
s1 =
18,34
cm
przyjęto strzemiona w rozstawie s1 =
18
cm
~ określenie długosci odcinka II rodzaju VSd −
c =
VRd 1 =
1,81
m
odległośc liczona od osi podpory
g + p
~ stopień zbrojenia strzemionami
ρ ,min = 0,08 fck
w
=
0,0010
[-]
f yk
= Asw 1
ρ w
=
0,0021
[-]
> ρw,min
s 1 ⋅ bs
6.3 Podpora B z prawej strony
V
ρ
σ
1 = [0,35 k ⋅ f
⋅ ,
1
( 2 + 40
) + 0 1
, 5
b
]
⋅ d
Rd
ctd
L
cp
s
k = 1,6 - d =
1,037
>1
ρL = 0,0025 < 0,01
przyjęto, Ŝe wszystkie pręty z podpory są zakotwione na długość lbd + d poza rozpatrywany przekrój σcp =
0
MPa
napręŜenie ściskające wywołane działaniem siły podłuŜnej VRd1 =
39,863
kN
V d
Sd =
30,475
kN
siła tnąca w odległości d od podpory
V d
Sd < VRd1 - odcinek I rodzaju (strzemiona konstrukcyjne)
~ Rozstaw strzemion na odcinakch I rodzaju smax = 0,75d =
42,225
cm
>
40
cm
7.0 Nosność zbrojenia głównego przy ścinaniu sprawdzenia poniŜszego warunku dokonuje się na odcinkach II rodzaju M Sd
F
=
+ ∆ F ≤ A 1 ⋅ f
td
td
s
yd
z
V
∆ F
V
td = 0 5
,
Rd 32
Sd
ctgθ −
ctgα
VRd 3
gdy nie stosuje się prętów odgiętych wzór upraszcza się do postaci
∆ F
V
td = 0 5
,
Sd ⋅ ctg θ
7.1 Podpora A z prawej strony
M d
Sd =
28,372
kNm
moment odpowiadajacy max sile tnacej w odległości d od podpory z = 0,9d =
0,5067
m
ramię sił wewnętrznych
V d
Sd =
46,975
kN
As1 =
5,655
cm2
pole zbrojenia głównego
fyd =
420
MPa
granica plastyczności stali zbrojenia głównego
∆Ftd = 23,488 kN
Ftd =
79,481
<
As1 fyd = 237,504 kN
nośność zbrojenia głównego jst wystarczająca 7.2 Podpora B z lewej strony
M d
Sd =
23,101
kNm
moment odpowiadajacy max sile tnacej w odległości d od podpory z = 0,9d =
0,5067
m
ramię sił wewnętrznych
V d
Sd =
55,475
kN
As1 =
3,393
cm2
pole zbrojenia głównego
fyd =
420
MPa
granica plastyczności stali zbrojenia głównego
∆Ftd = 27,738 kN
Ftd =
73,329
<
As1 fyd = 142,503 kN
nośność zbrojenia głównego jst wystarczająca