Rozważmy sytuację, w której cięgno przerzucone jest przez bęben. Dane są: R – promień bębna, ϕ – kąt opasania, µ –
współczynnik tarcia pomiędzy cięgnem a bębnem.
dα
(cięgno czynne)
ϕ
α
Siły działające na cięgno
R
cięgno
S
bęben
(cięgno bierne)
S
O
Określić chcemy zależność pomiędzy siłami przyłożonymi do końców cięgna tak, aby nie nastąpił poślizg cięgna względem bębna. W tym celu rozważamy wycinek bębna z zaznaczeniem sił działających na cięgno. Z warunków równowagi sił na kierunek styczny i normalny mamy: dα
2
S + dS
α
α
d
d
W = −( S + dS) cos
+ dT + S cos
= 0 ,
(2.32a)
t
2
2
dN
α
α
d
d
W = − dN + S sin
+ ( S + dS)sin
= 0 .
(2.32b)
n
2
2
dα
dT
Rozkład sił działających na elementarny fragment cięgna n
dα
S
t
2
Prof. Edmund Wittbrodt
α
α
Przy założeniu małych kątów
d
d
dα
d
dα możemy przyjąć uproszczenia: sin
≈
, cos
≈ 1, dS
≈ 0 , co po podstawieniu do
2
2
2
2
(2.32) daje układ równań:
dT − dS = 0 , dN − Sdα = 0
(2.33)
Aby rozwiązać ten układ, który zawiera trzy niewiadome, przyjmujemy graniczny stan równowagi, a zatem dT = µ dN .
(2.34)
Z układu trzech równań (2.33a, 2.33b) i (2.34) otrzymujemy dS = µ dα ,
(2.35)
S
co po scałkowaniu daje
µα
S = Ae
,
(2.36)
gdzie A jest stałą całkowania.
Stałą całkowania A określimy z następujących warunków brzegowych (rys.): gdy: α = 0, S = S 0; α = ϕ, S = S, które po podstawieniu do (2.36) dają:
A = S 0, α = ϕ.
Prof. Edmund Wittbrodt
Zatem wzór (2.36) przyjmuje ostateczną postać (dla tarcia granicznego) µϕ
S = S e
0
,
(2.37)
gdzie: S – siła przyłożona do cięgna czynnego (ciągnącego), S = S 0 – siła przyłożona do cięgna biernego (ciągnionego), µ – współczynnik tarcia, ϕ – kąt opasania bębna.
Moment przenoszony przez przekładnię pasową obliczamy (dla tarcia granicznego, maksymalny): M = S R( µϕ
e
o
− )
1
Prof. Edmund Wittbrodt
Podczas toczenia walca po płaszczyźnie mamy do czynienia z innym rodzajem oporów. Tłumaczymy je odkształcalnością podłoża i samego walca. W związku z powyższym reakcja normalna podłoża jest przesunięta o wielkość f.
y
Siły działające na toczący się walec r
P x
Q
Z sumy momentów względem punktu O mamy T
O
− Pr + Nf = 0 ,
f
N
f
P = N
skąd
r .
(2.38)
Jeżeli toczenie odbywa się bez poślizgu, to suma rzutów sił na kierunek osi x równa jest W = P − T = 0 , x
a zatem
T = P .
(2.39)
Toczenie odbywa się bez poślizgu dopóki siła tarcia spełnia warunek T ≤ µ N .
(2.40)
Z sumy rzutów na kierunek osi y mamy N = Q .
(2.41)
Prof. Edmund Wittbrodt
Po podstawieniu (2.41), (2.39), (2.38) do (2.40), otrzymujemy warunek toczenia się walca bez poślizgu w postaci f ≤ µ r
.
(2.42)
W tabeli podano wartości współczynników oporu toczenia f dla niektórych par materiałów.
Wartości współczynników oporu toczenia f dla niektórych par materiałów rodzaje materiałów
f [mm]
koło żeliwne po żeliwie
0,05
koło stalowe po stali
0,05
koło drewniane po drewnie
0,5–1,5
koło drewniane po kamieniu
1,3
koło ze stali hartowanej po
0,005–0,01
stali hartowanej
koło samochodowe po asfalcie
2,4
koło samochodowe po gruncie
10–15
trawy
Prof. Edmund Wittbrodt