Egzamin z Matematyki.
Ak
ademia
Obron
y
Naro
do
w
ej,
SLZiD
I
rok.
17
zerw
a
2009
r.
Zadanie 1 - 18 pkt. Wydatki pana B na telekomunikację składają się z opłat za telefon, w wysokości 150 zł miesięcznie oraz z opłat za internet, w wysokości 90 zł miesięcznie.
Z początkiem roku abonament telefoniczny zdrożał o 6%, zaś internetowy o 12,5%.
a) O ile procent wzrosły wydatki pana B na telekomunikację?
b) Przypuśćmy, że ceny abonamentów rosną co roku wg stóp procentowych podanych powyżej. Niech S oznacza cenę abonamentu telefonicznego po n latach, zaś W niech n
n
S
oznacza cenę abonamentu internetowego po n latach. Oblicz lim n
(wynik uzasadnij).
n→∞ Wn
Zadanie 2 - 17 pkt. Oblicz pochodną funkcji 2 x 3
a)
− 5 x
f ( x) = 4 x 2 + 7
√
6
b)
g( x) = 3 x 5 ·
x − x
Z
2
Zadanie 3 - 10 pkt. Oblicz całkę oznaczoną (2 x 5 + 6 x 2 − 4) d x
− 1
Zadanie 4 - 16 pkt. Rozwiąż układ równań metodą macierzy odwrotnej:
x
+ 2 y
−
4 z
= 3
3 x
−
3 y
+ 3 z
= 6
2 x
−
z
= 5
Uwaga: za zrobienie zad. 4 metodą inną, niż wskazana w poleceniu, przyznaje się 14 pkt Zadanie 5 - 18 pkt. Dane są macierze B, R i Q:
1
0 3
5 2
− 2
3
B =
R = 2
− 2
1
Q = 2
4
− 1
4
1
4 0
− 2
0
Oblicz wyznaczniki macierzy B oraz R. Podaj macierz transponowaną do macierzy Q.
Znajdź macierze B ×Q, Q×B oraz R×Q (jeśli dany iloczyn macierzy nie jest zdefiniowany
- uzasadnij, dlaczego).
Zadanie 6 - 6 pkt. Określ ilość rozwiązań układu równań (samych rozwiązań, o ile nawet są, podawać nie trzeba). Odpowiedź uzasadnij:
x
+ 2 y
−
6 z
=
− 9
x
+
y
+ 3 z
=
8
3 x
+ 4 y
=
7
Zadanie 7. Uwaga: zad 7 jest w dwu wersjach, trudniejszej i prostszej. Rozwiązujemy tylko jedną wersję. Należy jednoznacznie określić, którą wersję się wybiera.
wersja T - 15 pkt. Wśród prostokątów o przekątnej długości 10 cm znaleźć taki, który ma największe pole powierzchni (podać długości boków).
wersja P - 6 pkt. Na rysunku jest wykres pewnej funkcji. Odczytaj z tego rysunku, w jakich przedziałach pochodna tej funkcji jest dodatnia, a w jakich ujemna.