Politechnika Poznańska ► Instytut Konstrukcji Budowlanych ► Zakład Mechaniki Budowli 2007/08
Obliczanie przemieszczeń w układach statycznie niewyznaczalnych
Dany jest wykres momentów zginających w belce przedstawionej na rysunku. Wyznaczyć: a) obrót przekroju B, b) przemieszczenie pionowe przekroju C.
W obliczeniach pominąć wpływ sił normalnych i poprzecznych.
m
6 kN/m
N k
5
A
EJ
2EJ
C
B
,2
4
23,583 kN
6,417 kN
2,0
1,5
1,5
[m]
7,75
1,07
Mnp [ kNm ]
4,25
M =2,876
3,43
C
2,0
Rozwiązanie: Przemieszczenia wyznaczamy za pomocą równania pracy wirtualnej. Stosujemy twierdzenie redukcyjne: n
n
M
0
M
1⋅δ
= ∑
n
M ⋅
P d
x
∫
= ∑ M ⋅ P d
∫
x
EJ
EJ
x
x
gdzie: δ - szukane przemieszczenie (liniowe lub kątowe), 1 - obciąŜenie wirtualne adekwatne do szukanego przemieszczenia, n
M - momenty zginające wywołane odpowiednim obciąŜeniem wirtualnym w układzie statycznie niewyznaczalnym, 0
M - momenty zginające wywołane odpowiednim obciąŜeniem wirtualnym w układzie statycznie wyznaczalnym (spełniającym wymagania układu podstawowego metody sił), n
M - momenty zginające wywołane zadanym obciąŜeniem zewnętrznym w układzie statycznie p
niewyznaczalnym (w tym przypadku dane :), EJ - sztywność na zginanie.
a) obrót przekroju B: 1
1,0
A
EJ
2EJ
B
2,0
3,0
[m]
1,0
1,0
M0 [ - ]
0
M n
ϕ
= ∑ M
P
∫ ⋅
dx
=
A
EJ
x
1
1
2
2
⋅
⋅
+
⋅2 1⋅⋅ ⋅(7,75− ,
4 25)
2 6 2
1
1
2 6 3
,
1 438
− ⋅
⋅2 1
⋅
+
⋅ 3
1
⋅ ⋅ ⋅7,75
− ⋅
⋅3 1
⋅
=
−
EJ
2
3
8
2 EJ
2
3
8
EJ
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor 1
Politechnika Poznańska ► Instytut Konstrukcji Budowlanych ► Zakład Mechaniki Budowli 2007/08
Obliczanie przemieszczeń w układach statycznie niewyznaczalnych
b) przemieszczenie pionowe przekroju C: 1
1,5
A
EJ
2EJ
C
2EJ
1,0
2,0
1,5
1,5
1,5
1,5
M0 [ m ]
Potrzebna do obliczeń wartość momentu zginającego wywołanego obciąŜeniem zewnętrznym w punkcie C:
M
= ,
6 417 1
⋅ ,5-6 1
⋅ ,5⋅0,75= 8
,
2 76 k
Nm
C
M n
v
= ∑ M 0
P
∫ ⋅
dx
=
C
EJ
x
1
1
2
⋅
=
⋅2⋅ 5
,
1 ⋅ ⋅(7,75− ,
4 25)
2 6 2
− ⋅
⋅2⋅ 5
,
1
+
EJ
2
3
8
1
1
2
1
2 6⋅( 5
,
1 )2
1
9
,
0 84
+
⋅ ⋅ 5
,
1 ⋅ 5
,
1 ⋅ ⋅7,75− ⋅ 8
,
2 76
− ⋅
⋅ 5
,
1 ⋅ ⋅ 5
,
1
=
2 EJ
2
3
3
3
8
2
EJ
Przyjęcie innego schematu belki do wyznaczenia wykresu 0
M prowadzi do nieco dłuŜszych obliczeń: 1
1,5
A
EJ
2EJ
C
2EJ
1,0
2,0
1,5
1,5
M0 [ m ]
1,5
1,5
1
1
2 6⋅22
v
=
⋅2⋅ 5
,
1 ⋅ ⋅ 7,75− ,
4 25
− ⋅
⋅2⋅ 5
,
1
+
C
(
)
EJ
2
3
8
1
1
2
2
⋅
1
⋅
+
⋅ 5
,
1 ⋅ 5
,
1 ⋅ ⋅( 8
,
2 76−7,75)
2 6 ( 5
,
1 )
1
2
2 6 ( 5
,
1 )
1
9
,
0 85
+ ⋅
⋅ 5
,
1 ⋅ ⋅ 5
,
1
+ ⋅ 5
,
1 ⋅ 5
,
1 ⋅ ⋅ 8
,
2 76 + ⋅
⋅ 5
,
1 ⋅ ⋅ 5
,
1
=
2 EJ
2
3
8
2
2
3
3
8
2
EJ
...lub krótszych:
1
A
EJ
2EJ
C
2EJ
0,5
0,5
2,0
1,5
1,5
M0 [ m ]
0,75
1
1
2
1
1
2
2 6⋅( 5
,
1 )2
1
9
,
0 85
v
=
⋅ ⋅ 5
,
1 ⋅ ,
0 75
⋅ ⋅ 8
,
2 76− ⋅ ,
7 75
+ ⋅ 5
,
1 ⋅ ,
0 75⋅ ⋅ 8
,
2 76 + ⋅
⋅ 5
,
1 ⋅ ⋅ ,
0 75⋅2
=
C
2 EJ 2
3
3
2
3
3
8
2
EJ
...ale do tego samego wyniku :) www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor 2