Zadanie 1.
Wykaza¢, »e ci¡g o wyrazie ogólnym fn( x) = nx 3 jest zbie»ny jednostajnie w R.
x 6+ n 4
Zadanie 2.
{
Dana jest funkcja
0 , x ∈< 0 , 2 >
f ( x) =
.
1 , x ∈ (2 , 4 >
a) Wyznaczy¢ cosinusowy szereg Fouriera tej funkcji.
b) Wyznaczy¢ sum¦ szeregu S( x), narysowa¢ wykres i poda¢, dla jakich x zachodzi f( x) = S( x). Ponadto obliczy¢ S(161).
Zadanie 3.
Zbada¢ zbie»no±¢ jednostajn¡ ci¡gu o wyrazie ogólnym fn( x) = 1 dla x ∈< 1 , ∞).
xn
Zadanie 4.
Rozwi¡za¢ równanie ró»niczkowe ∂ 2 u = y 3 + x cos y z warunkami u(0 , y) = ey, u( x, 0) = ( x + 1)5.
∂x∂y
Zadanie 5.
a) Poda¢ warunki Dirichleta.
b) Poda¢ i udowodni¢ kryterium Weierstrassa.
Zadanie 6.
∑
Wykaza¢ ci¡gªo±¢ funkcji
∞
S( x) =
1
, x ∈ R i wyznaczy¢ jej przybli»enie sum¡ cz¦±ciow¡ z dokªadno±ci¡
n=1 5 n( |x|+ n 2)
10 − 3.
Kolokwium nr 1 (20.11.2007)
Zadanie 1.
Rozwi¡za¢ równanie ró»niczkowe ∂ 2 u = xy 2 − ex.
∂x∂y
Zadanie 2.
{
Dla funkcji
0 , x ∈< − 2 , 0 >
f ( x) =
wyznaczy¢ trygonometryczny szereg Fouriera oraz wyznaczy¢ sum¦ tego sze-1 , x ∈ (0 , 2 >
regu, narysowa¢ jej wykres, poda¢ dla jakich x funkcja f( x) jest równa sumie szeregu.
Zadanie 3.
∑
Funkcji
∞
f ( x) = 3 − x, x ∈< 0 , 3 > odpowiada cosinusowy szereg Fouriera 3 +
6(1 −( − 1) n) cos nπx . Obliczy¢: 2
n=1
π 2 n 2
3
∑
a)
∞
1 −( − 1) n ,
n=1
n 2
∑
b)
∞
1
.
n=1 (2 n− 1)2
Zadanie 4.
Zbada¢ zbie»no±¢ jednostajn¡ z zbiorze R
∑
a) szeregu funkcyjnego
∞
( − 2) n cos nx,
n=1
n!
b) ci¡gu funkcyjnego o wyrazie ogólnym fn( x) = 1 arctg( n 2 x).
n
Zadanie 5.
a) Poda¢ twierdzenie o ró»niczkowaniu szeregu funkcyjnego i analogiczne twierdzenie dla ci¡gu funkcyjnego.
b) Poda¢ i udowodni¢ twierdzenie o ci¡gªo±ci sumy szeregu funkcyjnego.
Zadanie 6.
∑
Uzasadni¢ z denicji, »e szereg
∞
4 nx nie jest zbie»ny jednostajnie w przedziale ( −∞, 0).
n=1
1
Zadanie 1.
3 , x ∈< 0 , 1 >
Wyznaczy¢ transformat¦ Laplace'a funkcji f 1( x) = − 3 , x ∈ (1 , 2 > oraz zbada¢ czy funkcja
0 , x < 0 lub x > 2
f 2( x) = e− 3 xx cos x · h( x) jest funkcj¡ typu wykªadniczego.
Zadanie 2.
Wyznaczy¢ tensor bezwªadno±ci dla ukªadu mas 1kg, 2kg, 3kg rozmieszczonych odpowiednio w punktach (0 , 0 , 0), (3 , 0 , 0), (0 , 1 , 0), napisa¢ równanie kwadryki tensorowej i okre±li¢ jak¡ jest powierzchni¡, wyznaczy¢ równanie prostej przechodz¡cej przez punkt (0 , 0 , 0) wzgl¦dem której moment bezwªadno±ci jest najwi¦kszy i poda¢ jej warto±¢.
Zadanie 3.
Wyznaczy¢ macierz operacji liniowej A danej wzorem A( ⃗x) = ⃗x × ⃗a, ⃗a = 3 ⃗e 1 + ⃗e 2 + ⃗e 3w bazie ortonormalnej. Ponadto
− 2
√
1
2
√
5
3
3
5
wyznaczy¢ wspóªrz¦dne wektora
−
⃗a w bazie B′ znaj¡c macierz przej±cia P = 0
2
5
√
3
.
3
5
1
√
2
4
√
5
3
3
5
Zadanie 4.
Sprawdzi¢, czy operacja A: V 3 → V 3 dana wzorem A( ⃗x) = 2 ⃗x + ⃗a jest liniowa (gdzie ⃗a - dowolny, niezerowy wektor).
Zadanie 5.
Rozwi¡za¢ równanie ∂ 2 u = ∂u z warunkami ∂u(0 , t) = ∂u(3 , t) = 0, u( x, 0) = cos( πx).
∂x 2
∂t
∂x
∂x
Zadanie 6.
a) Poda¢ denicj¦ macierzy podobnej.
b) Poda¢ 4 wªasno±ci macierzy ortogonalnej.
c) Udowodni¢, »e wielomian charakterystyczny macierzy A jest niezmiennikiem bazy.
Poprawa kolokwium nr 1 (05.01.2009)
Zadanie 1.
{
∑
∑
Funkcji
1 , x ∈< 0 , π
∞
− 2 sin nπ
∞
( − 1) n+1 sin nπ
f ( x) =
2
odpowiada szereg Fouriera 3 +
2
cos nx. Obliczy¢
2
.
2 , x ∈ ( π , π >
2
n=1
nπ
n=1
n
2
Zadanie 2.
Zbada¢ zbie»no±¢ jednostajn¡ ci¡gu funkcyjnego o wyrazie ogólnym fn( x) = cos 2 x − 1, x ∈< − 6 , 5).
n
Zadanie 3.
{
Dana jest funkcja
1 , x ∈< 0 , 2 >
f ( x) =
.
0 , x ∈ (2 , 3 >
a) Wyznaczy¢ dla funkcji f cosinusowy szereg Fouriera.
b) Wyznaczy¢ sum¦ S( x) tego szeregu i narysowa¢ jej wykres oraz poda¢ dla jakich x zachodzi f( x) = S( x). Ponadto korzystaj¡c z okresowo±ci sumy obliczy¢ S(65).
Zadanie 4.
∑
Zbada¢ dla jakich
∞
x ∈ ( − π , π ) szereg
(tg x) n jest zbie»ny.
2
2
n=1
n 2
2
2
x 1
Zadanie 1. Wyznaczy¢ macierz operacji liniowej danej wzorem A( ⃗x) = ⃗u × ⃗x, ⃗u = 1 , ⃗x = x
2
.
2
x
B
3
B
∫
Zadanie 2. Dany jest funkcjonaª
2
J [ y] =
x 4
1 y′ dx z warunkami y(1) = − 1, y(2) = 6. Sprawdzi¢, czy na ekstremali ϕ( x) = x 3 − 2 jest speªniony warunek Jacobiego.
Zadanie 3.
Wyznaczy¢ element tensora bezwªadno±ci znajduj¡cy si¦ w drugim wierszu pierwszej kolumny dla masy o g¦sto±ci ρ( x, y, z) = 1 rozªo»onej w obszarze V = {( x, y, z) ∈ R 3 : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9 , 1 ≤ z ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ x}.
x
Zadanie 4.
a) Wykaza¢, »e równanie charakterystyczne operacji liniowej A nie zale»y od bazy B.
b) Poda¢ wªasno±ci macierzy ortogonalnej dotycz¡ce jej kolumn i zapisa¢ j¡ korzystaj¡c z umowy sumacyjnej Einsteina.
Kolokwium nr 2 (07.01.2009)
Zadanie 1.
[
]
[
]
Zbada¢, czy operacja dana wzorem
3 x
x
A( ⃗
x) =
2
dla ⃗x =
1
jest liniowa.
x 1 x 2
x 2
Zadanie 2.
∫
Wyznaczy¢ ekstremal¦ funkcjonaªu
3
J [ y] =
[12 xy + yy′ + ( y′)2] dx z warunkami y(0) = 6, y(3) = 0. Ponadto zbada¢, czy 0
na tej ekstremali funkcjonaª osi¡ga ekstremum silne, wiedz¡c, »e na tej ekstremali jest speªniony warunek Jacobiego.
Zadanie 3.
Wyznaczy¢ element tensora bezwªadno±ci znajduj¡cy si¦ w 1 wierszu i 3 kolumnie dla masy o g¦sto±ci ρ( x, y, z) =
1
x 2+ y 2
√
rozªo»onej w obszarze V = {( x, y, z) ∈ R 3 : 1 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 , 0 ≤ z ≤ x 2 + y 2 , x ≥ 0 }.
Zadanie 4.
a) Wykaza¢, »e warto±ci wªasne operacji symetrycznej A: V 2 → V 2 s¡ liczbami rzeczywistymi.
b) Zapisa¢ wzór na AB′ = P − 1 ABP z wykorzystaniem umowy sumacyjnej Einsteina.
Sprawdzian (09.11.2008)
Zadanie 1.
[
]
[
]
Poda¢ denicj¦ macierzy podobnych i zbada¢, czy macierze 5
0
0
1
A =
, B =
s¡ podobne.
0
− 1
2
1
Zadanie 2.
− 2
W bazie B = {⃗e
1 , ⃗
e 2 , ⃗e 3 } wektor ⃗x =
1
. Wyznaczy¢ macierz przej±cia z bazy B do B′ oraz wspóªrz¦dne wektora 3
B
⃗
x w bazie B′, je»eli B′ = {⃗e 1 ′, ⃗e 2 ′, ⃗e 3 ′} i ⃗e 1 ′ = 1
√ ⃗e
⃗
e
⃗
e
⃗
e
⃗
e
( ⃗
e
2 2 −
1
√ 2 1, ⃗e 2 ′ = 1
√ 6 1 + 1
√ 6 2 − 2
√ 6 3, ⃗e 3 ′ = 1
√ 3 1 + ⃗e 2 + ⃗e 3).
Zadanie 3.
Rozwi¡» równanie ró»niczkowe ∂ 2 u = xy 2 − ex, z warunkami u(0 , y) = ey, u( x, 0) = ( x + 1)5.
∂x∂y
3
Poda¢ 4 wªasno±ci macierzy ortogonalnej.
Sprawdzian
Zadanie 1.
Rozwi¡za¢ równanie ró»niczkowe ∂ 2 u − 1 ∂u = 0.
∂x∂y
2 x ∂y
Zadanie 2.
[
]
[
]
Pokaza¢, »e macierze
1
0
2
0
A =
i B =
s¡ podobne.
0
2
− 1 1
Zadanie 3.
2
0
1
0
1
− 2
√
√
3
5
3
5
Dane s¡ bazy
B
1
− 5 √
1 =
,
.
⃗e 1 =
0
, ⃗
e 2 =
0
, ⃗
e 3 =
1
B 2 = ⃗e 1 ′ =
, ⃗
e
0
, ⃗
e
3
2 ′ =
3 ′ =
3
5
1
0
0
− 2
1
√
4
√
3
5
3
5
Wyznaczy¢ macierz przej±cia z B 1 do B 2. Sprawdzi¢, czy macierz przej±cia jest ortogonalna.
Zadanie 4.
a) Poda¢ zwi¡zek mi¦dzy wspóªrz¦dnymi wektora w bazie B i B′ i macierz¡ przej±cia P .
b) Denicja macierzy podobnych.
c) Denicja macierzy ortogonalnych.
4