F
Prawo powszechnego ciążenia (Newtona) 12
m 1
m 1⋅ m 2 r 12
r
m
F
, G
2
12=− G
⋅
=6,67⋅10−11 N⋅ m 2
2
12
r
r
kg2
12
12
F
α
~ r 2
dm1
dm2
r
m
m
1
2
dm
r
F
1⋅ dm2
12
12=− G ∬
⋅
2
r
m ,m
r
12
F
M r
1
2
12
γ=
=− G
⋅
m
r
o
r 2
Dla mas o dowolnym kształcie
Natężenie pola grawitacyjnego
a) Masa rozłożona sferycznie (m na zewnątrz) b) Masa rozłożona sferycznie (m wewnątrz) F=0
M
F
⋅ m
= G r 2
dS
dS
r
dθ
1
2
1= dθ 2
⇒
=
r
r
12
22
¿/ dh , ρ , m
F 1= F 2
Przykład. Ciało w tunelu o głębokości h.
F r ⋅ d s= F r ⋅ d r= F r ⋅ dr Siła grawitacji jest siłą zachowawczą r
F
C
r
B
B
∫ F r ⋅ d s=∫ F r⋅ d s=∫ F r ⋅ dr d r
ϕ
A
A
r A
B
A
d s
∫ F r ⋅ d s=−∫ F r ⋅ d s A
B
rB
Praca siły grawitacyjnej nie
zależy od drogi po której ciało
B
jest przemieszczane!!!
r A
A
C
Wykład 13: Grawitacja Energia potencjalna ciala w polu grawitacyjnym r
r
Mm
Mm
E = W =∫ F ' d r=∫ G
dr=− G
p
E p
r
∞
∞
r 2
r
r
r
r
r
r
2
2
∞
2
1
2
W
=∫ F d r=−∫ F ' d r=−∫∫=−−∫∫ =
r 1 r 2 r
r
r
∞
∞
∞
1
1
1
−− E p0 E pk =− ΔE p Ponieważ W = ΔE ⇒ ΔE ΔE =0
kin
kin
p
Pole grawitacyjne jest polem zachowawczym !!!
c) Energia potencjalna na małej wysokości E h = E R h − E R =− G Mm ≈ G M mh= mgh p
p
p
R h
R 2
1
1
df
1
1
≈
∣
⋅ h=
−
h
x h
x
dx h=0
x
x 2
d) Rzut ukośny
Wykład 13: Grawitacja Natężenie pola grawitacyjnego na powierzchni planety
F
M
R
=
γ = G
=
g
m
R 2 R
e) Pierwsza prędkość kosmiczna
mv2I
Mm
= G
⇒ v = gR
R
R 2
I
f) Druga prędkość kosmiczna
2
GMm
mv
E =−
, E = II
p0
R
kin 0 2
Ekoń=0
⇒ vII=2 gR=2⋅ vI≈11.2 km/ s g) Siła grawitacyjna a ciężar ciała
F
Fodśr
g
Przykład. Satelita geostacjonarny. Uwzględnienie ruchu Ziemi.