4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 1/17

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 2/17

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ1

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

•

• iloczyn skalarny zespolonego sygnału odpowiednio x( t) i jego przesuniętej o τ kopii widmowe podejście do opisu właściwości sygnału:

szereg Fouriera, przekształcenie Fouriera

x( t − τ) ≡ xτ( t) oraz x( n) i jego przesuniętej o m kopii x( n − m) ≡ x ( n) m

∞

• czasowe podejście do opisu właściwości sygnału:

x x

= x t x*

,

t − τ

funkcja korelacji sygnału

( τ)

( ) (

)

∫

dt

−∞

• funkcje korelacyjne - miary podobieństwa sygnałów

∞

*

( x, x ) =

x n x n

m

m

∑ ( ) ( − )

• różnice w definicjach dla różnych klas sygnałów

n =−∞

•

ϕ τ

ϕ

funkcją autokorelacji odpowiednio

( )

m

x

oraz

( )

x

, zespolonego sygnału

Sygnały o ograniczonej energii

o ograniczonej energii x( t) i jego przesuniętej kopii x( t − τ) oraz x( n) i jego

−

•

przesuniętej kopii x( n

m) nazywamy zależność ich iloczynów skalarnych od

w praktyce zachodzi potrzeba porównywania analizowanego sygnału z innym (w szczególnym przypadku ze swoją własną, przesuniętą w czasie kopią), potrzeba przesunięcia τ oraz m

ilościowego określenia stopnia ich podobieństwa (odmienności)

∞

*

ϕ (τ) = x( t) x ( t − τ)

x

∫

dt

• miarą tego podobieństwa jest funkcja autokorelacji (korelacji wzajemnej) określonej w oparciu o definicję iloczynu skalarnego sygnałów

−∞

∞

*

ϕ ( m) =

x n x n

m

x

∑ ( ) ( − )

1 opracowano na podstawie [1-4], wersja z dnia 02.10.2014

n=−∞

materiał nie jest pełnym i ścisłym pod względem formalnym opracowaniem poszczególnych tematów, stanowi funkcja autokorelacji sygnału zespolonego jest zespolona, rzeczywistego-rzeczywista jedynie szkielet, wokół którego budowany jest wykład

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 3/17

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 4/17

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

• właściwości funkcji autokorelacji

- jeśli dla pewnego przesunięcia τ funkcja autokorelacji ϕ (τ ) = 0 to sygnały x( t)

- funkcja autokorelacji sygnału jest funkcją hermitowską

0

x

0

i x( t − τ ) są ortogonalne (dla sygnałów dyskretnych - jeśli dla pewnego przesunięcia

*

0

ϕ (τ) = ϕ (− τ)

x

x

m

ϕ m =

x n

x n − m

0 funkcja autokorelacji

( ) 0

x

0

to sygnały ( ) i (

)

0 są ortogonalne)

*

ϕ ( m) = ϕ (− m)

x

x

- funkcja autokorelacji jest niezmiennicza względem przesunięcia, tzn. funkcja (dla sygnałów rzeczywistych jest funkcją rzeczywistą i parzystą) autokorelacji sygnału x( t) równa jest funkcji autokorelacji sygnału x( t − t ) 0 dla

- wartość funkcji autokorelacji przy τ = 0 ( m = 0 ) jest rzeczywista i równa energii dowolnej wartości przesunięcia t (dla sygnałów dyskretnych - funkcja autokorelacji sygnału

0

∞

∞

sygnału x( n) równa jest funkcji autokorelacji sygnału x( n − n ) 0 dla dowolnej wartości

*

2

ϕ (0) = x( t) x ( t) dt =

x( t) dt = E

x

∫

∫

x

przesunięcia n 0 )

−∞

−∞

∞

∞

- funkcja autokorelacji sygnału o ograniczonej energii jest funkcją o ograniczonej energii

*

2

ϕ (0) =

x

∑ ( n) x ( n) =

x

∑ ( n) = E

x

x

( F-transormowalną)

n=−∞

n =−∞

- dla każdej wartości przesunięcia τ ( m ) moduł funkcji autokorelacji nie przekracza co do modułu wartości energii sygnału

ϕ (τ) ≤ ϕ (0) = E

ϕ m ≤ ϕ 0 = E

x

x

x

( )

( )

x

x

x

(funkcja autokorelacji ma dla τ = 0 ( m = 0 ) dodatnie maksimum)

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 5/17

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 6/17

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

• przykłady funkcji autokorelacji sygnałów rzeczywistych

• związek funkcji autokorelacji z widmem energii sygnału Φ x ( ) ω

∞

∞

można wykazać, że pomiędzy funkcją autokorelacji sygnału a widmem gęstości energii ϕ (τ) = x( t) x( t − τ)

ϕ m =

x n x n

m

istnieje związek:

x

∑

−

x

∫

dt

( )

( ) (

)

−∞

n=−∞

∞

− ωτ

Φ ( )

ω = ϕ (τ)

x

∫

e j

τ

d

x

x( t)

x( t)

x( n)

−∞

t

t

1

n

∞

0

1

t

ωτ

i

0

ti

0

N-1

ϕ (τ) =

Φ ( )

x

∫

ω e j

ω

d

x

x( t-τ

2π

1)

x( t-τ1)

x( n- m 1)

−∞

t

t

1

n

0 τ

0

1

ti+τ1

τ1

ti+τ1

0

m 1

N-1+ m 1

x( n) x( n- m

τ =

x( t) x( t-τ

x( t) x( t-τ

1)

zakładając w wyrażeniu na odwrotną transformatę Fouriera

0 otrzymamy

1)

1)

t

t

1

n

∞

0 τ

1

1

t

0 τ

i

1

ti

0

m 1 N-1

ϕ

ϕ

E = ϕ (0) =

Φ ( )

x

x

∫

ω ω

d

x(τ)

ϕ

x(τ)

x(τ1)

ϕ

ϕ

x

x(τ1)

x( m)

2π

E

E

−∞

x

x

τ

E

5

τ

x

ϕ x( m 1)

- t

0 τ1

0

i

ti

- ti

τ1

ti

n

- N+1

0

m 1 N-1

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 7/17

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 8/17

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

- podsumowując, energię sygnału można wyznaczyć na trzy sposoby w dziedzinie czasu

- charakterystyczną cechą widmowej reprezentacji energii sygnału jest jej prostota,

∞

polegająca na tym, że energie odpowiadające różnym przedziałom pulsacji sumują się 2

E =

x( t)

jako liczby rzeczywiste, podczas gdy opis widmowy za pomocą transformaty Fouriera x

∫

dt

−∞

sygnału polega na sumowaniu amplitud zespolonych, opisujących wkłady w dziedzinie korelacyjnej

poszczególnych małych przedziałów pulsacji; amplitudy te sumują się jako liczby E = ϕ (0)

zespolone

x

x

w dziedzinie częstotliwości

∞

- opis sygnału przy pomocy funkcji autokorelacji (widma energii) powoduje utratę 1

informacji zawartej w fazowych charakterystykach sygnału

E =

Φ ( )

x

∫

ω ω

d

2π

x

−∞

- na podstawie znajomości funkcji autokorelacji (widma energii) nie można odtworzyć

- widmo energii jest nieujemną, rzeczywistą funkcją ω

czasowej postaci sygnału

- funkcja autokorelacji sygnału rzeczywistego jest funkcją rzeczywistą i parzystą, zatem widmo energii sygnału rzeczywistego też jest funkcją parzystą, wobec czego

∞

- wszystkie sygnały o jednakowym kształcie, różniące się jedynie położeniem na osi E = 1 Φ ( )

czasu, są w ujęciu energetycznym utożsamiane i tym samym nierozróżnialne x

∫

ω ω

d

π

x

0

energia zawarta w skończonym przedziale pulsacji

ω2

1

E (ω ,ω ) =

Φ ( ) d

x

1

2

∫ ω ω

π

x

ω1

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 9/17

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 10/17

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

• funkcja korelacji wzajemnej sygnałów

analogicznie do funkcji autokorelacji wartość funkcji korelacji wzajemnej dla τ = 0

- w odróżnieniu od funkcji autokorelacji, określającej związek pomiędzy danym sygnałem i odpowiednio m = 0 nazywana jest energią wzajemną

i jego przesuniętą kopią funkcja korelacji wzajemnej określa związki pomiędzy dwoma

∞

∞

różnymi sygnałami (np. na wejściu i na wyjściu układu)

ϕ ( ) = E = x( t) y*

0

( t)

ϕ

= E =

y t x*

0

t dt

xy

xy

∫

dt oraz

( )

( ) ( )

yx

yx

∫

- dla sygnałów o ograniczonej energii odpowiednio x( t) i y( t) oraz x( n) i y( n)

−∞

−∞

∞

∞

funkcje korelacji wzajemnej między sygnałami x( t) a y( t) oraz x( n) a y( n) ϕ ( ) = E =

x n y*

0

n

ϕ

=

y n x*

0

n

yx

∑

xy

xy

∑ ( ) ( ) oraz ( )

( ) ( )

określają wyrażenia

n=−∞

n=−∞

∞

∞

ϕ (τ) =

• właściwości funkcji korelacji wzajemnej

x( t) y*( t − τ)

ϕ m =

x n y* n

m

xy

∑

−

xy

∫

dt

( )

( ) (

)

- w przeciwieństwie do funkcji autokorelacji ϕ

(τ) ≠ ϕ (τ), można wykazać, że

−∞

n=−∞

xy

yx

ϕ

τ = ϕ* − τ

podobnie funkcja korelacji wzajemnej między sygnałami y( t) a x( t) oraz y( n) ( )

( )

xy

yx

a x( n)

- funkcje korelacji wzajemnej sygnałów rzeczywistych nie są funkcjami parzystymi

∞

∞

zmiennej τ oraz nie muszą przybierać wartości maksymalnych dla τ = 0

ϕ (τ) = y( t) x*( t − τ)

ϕ

m =

y n x* n

m

yx

∑

−

yx

∫

dt

( )

( ) (

)

- wartości funkcji korelacji wzajemnej nie przekraczają co do modułu pierwiastka

−∞

n =−∞

z iloczynu energii obydwu sygnałów

ϕ (τ) ≤ E E

ϕ

τ ≤ E E

xy

x

y oraz

( )

yx

x

y

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 11/17

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 12/17

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

Sygnały analogowe o ograniczonej mocy średniej

- jeśli ϕ

(τ ) = 0

x t

y t − τ

xy

0

to sygnały ( ) i (

)

0 są ortogonalne

• dla sygnałów o ograniczonej mocy średniej całka definiująca funkcję autokorelacji

- funkcje korelacji wzajemnej sygnałów o ograniczonej energii są całkowalne

∞

w kwadracie, a więc F-transformowalne

*

ϕ (τ) = x( t) x ( t − τ)

x

∫

dt

- właściwości funkcji korelacji wzajemnej sygnałów dyskretnych są analogiczne do

−∞

właściwości funkcji korelacji wzajemnej sygnałów analogowych

jest rozbieżna, zatem definicja funkcji autokorelacji dla tej klasy sygnałów wymaga

• widma energii wzajemnej sygnałów ciągłych

modyfikacji

Φ ( )

ω = X ( )

ω *

Y ( )

ω

Φ

ω = Y ω

*

X

• funkcją autokorelacji ψ (τ)

x t o ograniczonej mocy średniej nazywamy

xy

( )

( ) ( )

ω

yx

x

sygnału ( )

wielkość graniczną

•

T

związek widma energii wzajemnej z funkcjami korelacji wzajemnej 1

ψ

lim

x t x* t

dt

x (τ) =

( ) ( − τ)

T →∞

∫

∞

∞

T

2 − T

− ωτ

− ωτ

Φ ( )

ω = ϕ (τ)

Φ

ω = ϕ

τ e j dτ

xy

∫

e j

τ

d

xy

oraz

( )

( )

yx

∫ yx

dla sygnałów okresowych

−∞

−∞

t +

0

0

T

∞

∞

1

*

1

ψ (τ) =

x( t) x ( t − τ) dt

ωτ

1

ωτ

x

∫

ϕ (τ) =

Φ ( )

ϕ

τ =

Φ

ω e j

ω

d

T

xy

∫

ω e j

ω

d oraz

( )

( )

yx

∫

0

2π

xy

2π

yx

0

t

−∞

−∞

gdzie t 0 wartość dowolna

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 13/17

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 14/17

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

• właściwości funkcji autokorelacji

- funkcja autokorelacji ψ (τ)

x

jest niezmiennicza względem przesunięcia, tzn. funkcja

- wartość funkcji autokorelacji ψ (τ)

τ =

x

przy

0 jest rzeczywista i równa mocy sygnału

autokorelacji sygnału x( t) równa jest funkcji autokorelacji sygnału x( t − t ) 0 dla

T

T

1

1

ψ τ =

*

2

dowolnej wartości przesunięcia t

lim

x t x t dt = lim

x t

dt = P

0

x ( )

( ) ( )

( )

→∞

∫

2

→∞

∫

x

T

T

T

T

2

− T

− T

- funkcja autokorelacji ψ (τ)

x

sygnału o ograniczonej mocy średniej jest

- funkcja autokorelacji sygnału ψ (τ)

F -transformowalna w sensie granicznym

x

jest funkcją hermitowską

*

ψ τ

ψ (τ) = ψ (− τ)

- funkcja autokorelacji

( )

T jest również funkcją

x

x

x

sygnału okresowego o okresie 0

okresową o okresie T

(dla sygnałów rzeczywistych jest funkcją rzeczywistą parzystą) 0

x( t)

- dla każdej wartości przesunięcia τ moduł funkcji autokorelacji ψ (τ) x

nie przekracza

t

co do modułu wartości mocy sygnału

0

-3 T 0

-2 T 0

- T 0

T 0

2 T 0

3 T 0

ψ (τ) ≤ ψ (0) = P

ψ

x

x

x

x(τ)

(funkcja autokorelacji ma zawsze dla τ = 0 dodatnie maksimum) τ

- jeśli dla pewnego przesunięcia τ

ψ τ =

x t

0

0 funkcja autokorelacji

( ) 0

x

0

to sygnały ( )

-3 T 0

-2 T 0

- T 0

T 0

2 T 0

3 T 0

i x( t − τ )

0 są ortogonalne

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 15/17

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 16/17

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

PODSTAWY ANALIZY KORELACYJNEJ (cd)

• związek funkcji autokorelacji z widmem mocy sygnału

∞

1

właściwości energetyczne sygnałów o ograniczonej energii opisuje w dziedzinie pulsacji

- dla τ = 0

ψ (0) =

Ψ ( )

ω dω = P

x

∫ x

x

widmo energii

2π −∞

właściwości energetyczne sygnałów o ograniczonej mocy średniej opisuje w dziedzinie

- widmo mocy również nie zawiera informacji o strukturze fazowej sygnału pulsacji widmo mocy

•

x t

y t

- widmem mocy sygnału o ograniczonej mocy średniej x( t) nazywamy granicę funkcje korelacji wzajemnej sygnałów ( ) i ( ) o ograniczonej mocy średniej T

1

1

*

Ψ ( )

ω = lim

Φ ( )

ω

ψ (τ) = lim

x( t) y ( t − τ) dt

x

xy

T →∞

∫

→∞

T

T

T

T

2 − T

gdzie Φ

x t

T (

)

ω jest widmem energii wycinka sygnału

( )

T

o długości T

T

1

ψ (τ) = lim

y( t) x*( t − τ) dt

yx

T →∞

∫

można wykazać, że funkcja autokorelacji ψ (τ)

x t

x

sygnału ( ) i jego widmo mocy

T

2

Ψ ( )

ω

− T

x

stanowią parę transformat Fouriera (w sensie granicznym)

• dla sygnałów okresowych

∞

− ωτ

t +

t +

0

0

T

0

0

T

Ψ ( )

ω = ψ (τ)

1

1

x

∫

e j

τ

d

x

ψ (τ) =

x( t) *

y ( t − τ) dt ψ (τ) =

y( t) *

x ( t − τ) dt

xy

∫

yx

∫

−∞

T

T

0

0

∞

0

t

0

t

1

ωτ

ψ (τ) =

Ψ ( )

x

∫ ω ej ω

d

2π

x

właściwości funkcji korelacji wzajemnej sygnałów o ograniczonej mocy średniej są

−∞

analogiczne do właściwości funkcji korelacji wzajemnej sygnałów o ograniczonej energii

4. Podstawy analizy korelacyjnej sygnałów.doc, 17/17

BIBLIOGRAFIA

1. Szabatin J.: Przetwarzanie sygnałów. Materiały dydaktyczne Politechniki Warszawskiej, 2003, www.ise.pw.pl/~szabatin.

2. Baskakow S.I.: Sygnały i układy radiotechniczne. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1991.

3. Gonorowskij I.S.: Radiotechniczeskije cepi i signały. Sowietskoje Radio, Mockva, 1977.

4. Proakis J.G., Manolakis D.G.: Digital signal processing. Principles, Algorithms, and Applications. Third Edition. Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, New Jersey, 1996.