MATEMATYKA – Semestr II – Wektory dr Stanisław Kiełtyka

WEKTORY

¾ UKŁAD ORTOKARTEZJAŃSKI

¾ WEKTOR

¾ DZIAŁANIA NA WEKTORACH

¾ KOMBINACJA LINIOWA WEKTORÓW

¾ WARUNEK KOLINEARNOŚCI DWÓCH WEKTORÓW

¾ ILOCZYN SKALARNY

¾ ILOCZYN WEKTOROWY

¾ ILOCZYN MIESZANY TRÓJKI WEKTORÓW

PADER collection

- 1 -

MATEMATYKA – Semestr II – Wektory

dr Stanisław Kiełtyka

UKŁAD ORTOKARTEZJAŃSKI

Układem ortokartezjańskim na płaszczyźnie nazywamy uporządkowaną parę regularnych osi liczbowych Ox i Oy wzajemnie prostopadłych mających wspólny początek O i wspólną jednostkę długości.

Układ taki oznaczamy Oxy

WEKTOR

Parą uporządkowaną punktów (A,B) czyli odcinek skierowany o początku A i końcu B

nazywamy wektorem i oznaczamy symbolem

AB

Wektor charakteryzują trzy parametry:

- kierunek

- zwrot

- długość

Punkt zaczepienia wektora jest dowolny – rozpatrujemy, więc wektory swobodne.

W przypadku gdy A=B wtedy mówimy, że wektor AB ma długość 0 ale kierunek i zwrot nieokreślony.

Kąt między wektorami a i b oznaczamy

Jego miara spełnia nierówność

0 ≤ α ≤ π

PADER collection

- 2 -

MATEMATYKA – Semestr II – Wektory

dr Stanisław Kiełtyka

DZIAŁANIA NA WEKTORACH

SUMA WEKTORÓW

Sumą wektorów a i b oznaczoną przez a + b nazywamy wektor o początku w początku wektora a i o końcu w końcu wektora b , gdy początek wktora b pokrywa się z końcem wektora a .

Dodawanie wektorów jest:

a +

b

=

b

+

ƒ przemienne

a

( a+b ) +c=a +( b+c )

ƒ łączne

ƒ dla każdego wektora a istnieje wektor do niego przeciwny − a .

ILOCZYN WEKTORA I LICZBY

Iloczynem różnej od zera λ i niezerowego wektora a nazywamy wektor:

- o długości

- o kierunku takim jak kierunek a

- kierunek zwrocie takim jak zwrot wektora a gdy λ >0 i przeciwnym gdy λ<0

PADER collection

- 3 -

MATEMATYKA – Semestr II – Wektory

dr Stanisław Kiełtyka

Gdy λ=0 lub a ≡ 0 to

ZADANIE:

Wykazać, że ze środkowych trójkąta można zbudować trójkąt r

Z

:

ar + b + cr = 0

r

r

r

- c + c = 0

r

r

r

r

T

:

s + s + s = 0

1

2

3

sr = cr

r

1

+

a

1

2

r

sr = b

r

1

+

c

2

2

r

r

r

s = a

1

+

b +

1

2

r

r

sr + sr + sr = ar + b + cr

r

r

1

+

a

1

+

b

1

+

c

1

2

3

2

2

2

r

r

r

r

r

s + s + s

r

3

=

a

3

+

b

3

+

c

1

2

3

2

2

2

r

sr + sr + sr

r

r

3

=

( a + b + c )

1

2

3

2

r

r

r

r

s + s + s

= 0

1

2

3

PADER collection

- 4 -

MATEMATYKA – Semestr II – Wektory

dr Stanisław Kiełtyka

KOMBINACJA LINIOWA WEKTORÓW

r

Kombinacją liniową wektorów a i

=1,2...n nazywamy wektor

i

λ ar + λ ar + ... + λ ar

1 1

2 2

n n

gdzie λ

i

= 1,2...n

i

są liczbami rzeczywistymi

r

Wektory a i

=1,2...n nazywamy liniowo zależnymi, jeżeli istnieje ich nie trywialna i

kombinacja liniowa równa zeru:

r

r

r

r

λ a + λ a + ... + λ a = 0

1 1

2 2

n n

tzn. taka w której nie wszystkie współczynniki λ1 są zerami: np.

PADER collection

- 5 -

MATEMATYKA – Semestr II – Wektory dr Stanisław Kiełtyka

r

r

r r

a

2 + b

3 + 2c = 0

4

1

43

2

są liniowo

zalezne

r

r

r

2c = 2

−

b

3

-

a

Wektory są liniowo zależne, jeżeli jeden z tych wektorów można przedstawić za pomocą pozostałych.

Dwa wektory nazywamy kolinearnymi, jeżeli są liniowo zależne.

Zatem dwa wektory są kolinearne, gdy jeden z nich jest wektorem zerowym lub gdy jeden z nich powstaje z drugiego w wyniku pomnożenia przez liczbę (równoległe).

PADER collection

- 6 -

MATEMATYKA – Semestr II – Wektory

dr Stanisław Kiełtyka

WARUNEK KOLINEARNOŚCI DWÓCH WEKTORÓW

r

r

Kolinearność wektorów a = [a , a , a b

]

= [b ,b ,b

]

x

y

z

x

y

z

ma miejsce gdy:

a

ay

a

x

z

=

=

b

b

b

x

y

z

PADER collection

- 7 -

MATEMATYKA – Semestr II – Wektory dr Stanisław Kiełtyka

ILOCZYN SKALARNY

r r

r r

Iloczynem skalarnym dwóch wektorów

b

,

a

oznaczonym przez a

o b

nazywamy liczbę

równą iloczynowi długości tych wektorów i cosinusa kąta między nimi zawartego.

r r

r r

r r

a o

b

= a ⋅b⋅cos< a

( , )

b

r

r

r r

W przypadku gdy a =

b

lub

0

=

a

0

o

b

= 0

Własności iloczynu skalarnego

r r r

1.

r

a o b

= b

o a

r r r

r r r r

2.

a o (

b + c

) =

a

o

b

+

a

o c

r r

r r r r

3. λ ⋅ a

( o )

b

= (λ ⋅ )

a o

b = a

o(b ⋅λ)

r r

r 2

r

r r

4.

a o a

= a

a

= a ⋅a

Wersorem (lub wektorem jednostkowym) nazywamy każdy wektor o długości 1.

W przestrzeni R3 wersory osi Ox, Oy, Oz oznaczać będziemy odpowiednio i, j, k.

Z def. Iloczynu skalarnego mamy:

i ⋅ i

= j ⋅ j= k

⋅ k

=1

i ⋅ j= i ⋅ k

= j⋅ k

= 0

r

r

ar o b

= ar ⋅ b ⋅ cos

α

||

r r r

b o a

= b ⋅ ar ⋅ cos(-

α

PADER collection

- 8 -

MATEMATYKA – Semestr II – Wektory

dr Stanisław Kiełtyka

r

r

Iloczyn skalarny dwóch wektorów a = [a

, a , a

i

]

b = [b

, b , b

]

x

y

z

x

y

z

jest równy

sumie iloczynów jednoimiennych współrzędnych wektorów.

r

r

a o b = a b + a b + a b

x

x

y

y

z

z

Dowód

Wektory można przedstawić w postaci

r

r

a = a

i + a j+ a

oraz

k

b

= b i + b j + b

k

x

y

z

x

y

z

r r

a o b = (a i + a j+ a k)⋅ (b i + b j+ b )

k

x

y

z

x

y

z

r r

a

o

b = a

b + a b + a b

x x

y y

z z

Warunek prostopadłości wektorów

r

r

r

r

Jeżeli a ≠

b

i

0

≠ 0 oraz a = [a ,a ,a

b

,

]

= [b , b , b ]

x

y

z

x

y

z

to

r

r

r r

a ⊥

b ⇔ a

⋅b = 0

a

tzn.

b + a

b + a

b = 0

x x

y y

z z

Mówimy, że przestrzeń i wprowadzony w niej układ ortokartezjański Oxyz mają orientację dodatnią (lub są zorientowane w prawo) jeżeli układ Oxyz ma dla patrzącego z półprzestrzeni zawierającej dodatnią półoś Oz orientację dodatnią.

W przeciwnym razie mówimy, że przestrzeń i układ mają orientację ujemną (lub są zorientowane w lewo).

PADER collection

- 9 -

MATEMATYKA – Semestr II – Wektory dr Stanisław Kiełtyka

ILOCZYN WEKTOROWY

r

r

Iloczynem wektorowym a ×

b uporządkowanej pary dwóch wektorów niekolinearnych r

r

b

i

a

w przestrzeni zorientowanej nazywamy wektor: r r

r r

r r

- którego długość a × b = a ⋅ b ⋅sin < (a, ) b

r

r

- który jest prostopadły do wektorów

b

i

a

tzn.

r

r

r

a

(r ×

b ) r

⊥

(

,

a

ar × )

b ⊥

b

r

r

r

r

r

r

- zwrot wektora a ×b jest taki, że uporządkowana trójka{ , a ,

b a × }

b ma orientacją

zgodną z przyjętą orientacją przestrzeni.

r

r

r

r

- jeżeli wektory

b

i

a

są kolinearne to a ×

b = 0

Własności iloczynu wektorowego

r

r

r

r

1. a ×b = −b× a

r

r

r

r

r

r r

2. a ×(b + )

c = a ×b + a × c

r

r

r

r

r

r

3. λ ⋅ a

( × )

b = (λ⋅ )

a × b = (λ ⋅ )

b × a

r r

r r

4. długość wektora a ×

tj.

b

a × b jest równa liczbowo polu równoległoboku r

r

rozpiętego na wektorach

b

i

a

.

5. i × j= k

j× k

= i k × i = j

PADER collection

- 10 -

MATEMATYKA – Semestr II – Wektory

dr Stanisław Kiełtyka

6. i × i = j ×

j = k

× k = 0

r

r

Jeżeli a = [a

, a , a

i

]

b = [b

, b , b

]

x

y

z

x

y

z

wtedy

r

ar × b = [a b − a b ,

a b − a b , a

b − a b ]

y z

z

y

z

x

x

z

x

y

y

x

Posługując się symbolem wyznacznika możemy zapisać i

j

k

r

ar ×b = a

a

a

x

y

z

b

b

b

x

y

z

r

r

ar × b

= ar ⋅ b ⋅ sin

α = S

h

= sinα

rb

r

h

= b ⋅ sinα

PADER collection

- 11 -

MATEMATYKA – Semestr II – Wektory

dr Stanisław Kiełtyka

ILOCZYN MIESZANY TRÓJKI WEKTORÓW

r

r

r

Iloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów

,

a

[

,

b

]

c w przestrzeni

r

r

r

zorientowanej nazywamy liczbę

,

a

(

,

b

)

c określoną

r r r

r r

)

c

b

a

(

= a

(

× )

b cr

o

Tw.

r

r

r

Jeżeli a = [a

, a ,a

,

]

b = [b

, b , b

,

]

c

= [c

, c , c

]

x

y

z

x

y

z

x

y

z

a

a

a 

 x

y

z 

( a

c

b

)

=  b b b

x

y

z 



c

c

c 

 x

y

z 

Stąd wynikają własności iloczynu wektorowego mieszanego.

1. ( a

c

b

)

=

c

b

(

a

) = (

c a )

b

2. ( a

c

b

)

= (

-

a

b c )

= −( a

c

)

b

3. ( a

× )

b o c

= a

o ( b

× c

)

Wartość bezwzględna iloczynu mieszanego trzech wektorów jest równa liczbowo objętości równoległościanu rozpiętego na tych wektorach.

PADER collection

- 12 -

MATEMATYKA – Semestr II – Wektory dr Stanisław Kiełtyka

w ⊥ b

w ⊥ a

S

h

8

7

6

4

6 4

78

r r

r r

( a

× )

b

o c

= a

× b ⋅ cr ⋅ cosα

4

1

4

2 3

rw

r

r r

w = a × b

= S

h = cos

α

⇒

h

= cr ⋅ cosα

cr

PADER collection

- 13 -