Zad. 1. Dopamina jest związkiem chemicznym, który bierze udział w przekazywaniu sygnałów do mózgu. Farmakolog zmierzył ilość dopaminy w mózgu u sześciu szczurów. Poziomy dopaminy były następujące: 6.0, 8.0, 7.0, 7.5, 6.5, 7.0
a) Obliczyć średnią i standardowe odchylenie
b) Wyznaczyć przedział ufności dla średniej na poziomie ufności 0,9
c) Wyznaczyć przedział ufności dla standardowego odchylenia na poziomie ufności 0,98
Rozwiązanie:
Niech Xi będzie zmienna losową opisującą ilość dopaminy w mózgu szczura.
a) = ∑ = 6,0 + 8,0 + 7,0 + 7,5 + 6,5 + 7,0 = ∗ 42 = 7
1
1
= √ = −1 − ! = 6− 1 − 7! = 0,707
b) Przedział ufności dla wartości średniej przy nieznanym odchyleniu standardowym znajdziemy wykorzystując statystykę:
− #
" = √
, która ma rozkład t-Studenta z n-1 stopniami swobody.
Stąd poszukiwany przedział przyjmuje postać:
− #
$ %& √& ≤ ()*!,)+ = 1 − ,
Po kilku prostych przekształceniach otrzymujemy
()*
()*
$ - −
!,) < # < + !,)/ = 1 − ,
√
√
, gdzie:
m <- szacowana wartość średnia
= 7 <- średnia z próbki
n=6 <-rozmiar próbki
S=0,707 <-odchylenie standardowe z próbki
1-α=0,9 <- poziom ufności
()01,) = (2,34;4 = 2,015 <-kwantyl rzędu 0,95 rozkładu t-Studenta z 5 stopniami swobody Zatem:
()*
2,015 ∗ 0,707
−
!,) = 7 −
= 6,42
√
√6
()*
2,015 ∗ 0,707
+
!,) = 7 +
= 7,58
√
√6
Czyli poszukiwany przedział ufności dla wagi wynosi: [6,42; 7,58].
c) Przedział ufności dla odchylenia standardowego znajdziemy wykorzystując statystykę:
" = 6!
, która ma rozkład chi-kwadrat χ2 z n-1 stopniami swobody.
Rozkład χ2 nie jest rozkładem symetrycznym stąd poszukiwany przedział przyjmuje postać:
!
$ %(*!,) ≤ 6! ≤ ()*!,)+ = 1 − ,
Po kilku prostych przekształceniach otrzymujemy
!
!
$ 78(
< 6 < 8
9 = 1 − ,
)*
(*
!,)
!,)
, gdzie:
σ <- szacowane odchylenie standardowe
S2=0,5 <- wariancja obserwacji z próbki
n=6 <-rozmiar próbki
1-α=0,98 <- poziom ufności
(01,) = (2,2;4 = 0,554 <-kwantyl rzędu 0,01 rozkładu χ2 z 5 stopniami swobody ()01,) = (2,33;4 = 15,086 <-kwantyl rzędu 0,99 rozkładu χ2 z 5 stopniami swobody Zatem:
!
8(
= 86 ∗ 0,5
)*
15,086 = 0,446
!,)
!
8(
= 86 ∗ 0,5
*
0,554 = 2,327
!,)
Poszukiwany przedział ufności dla odchylenia standardowego wynosi [0,446; 2,327]
Zad. 2. Na pudelkach zapałek napisane jest: średnio 100 zapałek. Celem zweryfikowania hipotezy H0: m=100 przeliczono zapałki w n=121 w przypadkowo wybranych pudełkach i okazało się, że = 98
oraz S2=81. Zweryfikować hipotezę H0 gdy hipoteza alternatywna jest postaci H1: m<100, na poziomie istotności 6%.
Rozwiązanie:
Hipoteza zerowa H0: = <2
Hipoteza alternatywna HA: < <2
Do weryfikacji hipotezy H0 stosujemy test dla wartości średniej przy nieznanym odchyleniu standardowym oparty na statystyce:
− <
( =
2
√
Statystyka ta ze względu na dużą ilość elementów w próbie przyjmuje postać standardowego rozkładu normalnego N(0,1)
Zbiór krytyczny wynosi = = −∞; −()*], gdzie t1-α jest kwantylem rzędu 1-α rozkładu N(0,1)
α = 6%=0,06 <- poziom istotności
n=121 <- rozmiar próby
= √! = √81 = 9 <- odchylenie standardowe z próbki
̅=98 <- średnia z próbki
µ0=100 <-hipotetyczna wartość średniej
t1-α=t0,94=1,55 <- kwantyl rzędu 0,94 rozkładu N(0,1) odczytany z tablic Zbiór krytyczny wynosi zatem: = = −∞; −1,55]
Natomiast wartość statystyki jest równa:
98 − 100
( =
9
√121 = −2,44
Wniosek: Wartość statystyki t=-2,44 należy do zbioru krytycznego, zatem na poziomie istotności 0,06
odrzucamy hipotezę zerową na rzecz hipotezy alternatywnej. Zatem nie możemy stwierdzić, że średni liczba zapałek w pudełku jest równa 100.
Zad. 3. Tygodniowe wypłaty z pewnego funduszu są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym z tym samym parametrem λ=1/2000. (EX=1/λ, VarX=1/λ2). Obliczyć prawdopodobieństwo, że łączna wypłata z tego funduszu w okresie roku, tzn. 52 tygodni, przekroczy 90000.
Rozwiązanie:
Wykorzystamy Centralne Twierdzenie Graniczne (CTG), które mówi, że zmienna losowa będąca sumą n zmiennych losowych Z=X1+…+Xn o jednakowym rozkładzie ze średnią m i odchyleniem standardowym σ dąży do rozkładu normalnego Z~N(nm, 6√).
Niech Xi zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ=1/2000, opisującą wypłatę z pewnego funduszu w i-tym tygodniu.
1
# = B = C = 2000
6 = D = D2000! = 2000
Niech Z=X1+…+X52 opisuje wypłatę po 52 tygodniach. Z CTG E~GH52 ∗ 2000; 2000 ∗ √52I =
G104000; 14422,21
E − 104000 90000 − 104000
$E > 90000 = 1 − $E < 90000 = 1 − $ K 14422,21 < 14422,21 L
90000 − 104000
= 1 − Φ K
14422,21
L = 1 − Φ−0,97 = Φ0,97 = 0,834
Wykorzystałem następującą własność rodziny rozkładów normalnych: niech X~N(m,σ), wówczas E = N)O ~ N(0,1)
P
Φ - dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego.