Dodatek 1- Uzupełnienie wiadomości o obwodach

magnetycznych

D.1. Wprowadzenie

Obwodem magnetycznym nazywamy przestrzeń, w której zamyka się strumień magnetyczny.

Przykładem takiego obwodu moŜe być stalowy rdzeń, na którym nawinięto cewkę o liczbie zwojów

w (Rys. D.1.). Pod wpływem wymuszonego prądu płynącego w cewce powstaje w rdzeniu pole

magnetyczne. Linie sił pola magnetycznego przebiegające w rdzeniu tworzą strumienie główne

Φ (zamykające się przez rdzeń) oraz rozproszenia Φσ (zamykający się przez powietrze). Zazwyczaj

strumień rozproszenia stanowi kilka procent strumienia głównego i często w rozwaŜaniach bywa

pomijany.

Φ

i

w

Φσ

Φσ

Rys. D.1. Przykład obwodu magnetycznego

W dalszej kolejności rozwaŜać będziemy jedynie strumienie główne, więc załoŜymy, Ŝe strumień

całkowity wytworzony przez prąd w cewce równa się strumieniowi głównemu, który przenika przez

przekroje elementów rdzenia. Dla obwodów magnetycznych występują pewne analogie z obwodami

elektrycznymi, a wielkość Θ = w ⋅ i nazywa się siłą magnetomotoryczną lub przepływem.

D.2. Prawo Ohma dla obwodów magnetycznych

RozwaŜania dotyczące analiz obwodów magnetycznych rozpoczniemy od postawienia zadania

polegającego na określeniu strumienia głównego cewki nawiniętej na stalowym rdzeniu (Rys. D.2.) o

przekroju S zawierającą szczelinę powietrzną δ .

Φ

l

i

Fe

w

lδ

S

Rys. D.2. Obwód magnetyczny ze szczeliną powietrzną

→ →

Zapisując prawo przepływu (Ampera)

∫ H⋅ dl = Θ = w i dla rozpatrywanego obwodu

magnetycznego z Rys. D.2. otrzymamy

H

(D.1)

Fe ⋅ l Fe + H δ ⋅ lδ = Θ

gdzie

H

- natęŜenie pola magnetycznego w Ŝelazie [A/m]

Fe

l - długość linii sił pola magnetycznego w Ŝelazie [m]

Fe

Hδ - natęŜenie pola magnetycznego w szczelinie powietrznej [A/m]

lδ - długość linii sił pola magnetycznego w szczelinie powietrznej [m]

PoniewaŜ obwód magnetyczny jest nierozgałęziony, dlatego ogólna formuła określająca strumień

→ →

magnetyczny Φ = ∫∫ ⋅

B s

d moŜe zostać zastąpiona wyraŜeniem

S

Φ

(D.2)

Fe = Φ δ = Φ

gdzie

Φ

B

[Wb]

Fe =

Fe ⋅ S

Φδ = δ

B ⋅ S [Wb]

a zaleŜność określającą indukcję B naleŜy określić zgodnie z charakterystykami magnesowania stali

Fe

(Rys. D.3.), gdzie µ nosi nazwę przenikalności magnetycznej. Jednostką indukcji magnetycznej jest

Fe

tesla [T]

B

= µ H (3)

Fe

Fe

Fe

BFe

HFe

Rys. D.3. Przykładowa charakterystyka magnesowania Ŝelaza

JeŜeli załoŜyć, Ŝe uwzględniamy liniową aproksymację magnesowania to wówczas będziemy

rozwaŜać cewkę o charakterystyce liniowej, czyli Φ ~ i .

Dokonując przekształceń po zdefiniowaniu zaleŜności na indukcję w szczelinie powietrznej

−

Bδ = µ H (

7

µ = 4π⋅10 [V][s]/[A][m]) otrzymamy

0

δ

0

B

Φ

Fe

H

=

=

(D.4)

Fe

µ

µ S

Fe

Fe

B

Φ

H =

δ

δ

=

(D.5)

µ

µ S

0

0

Podstawiając wyraŜenia (D.4), (D.5) do zaleŜności opisującej prawo przepływu (D.1) dostaje się

następujące wyraŜenie

Φ l Fe + Φ lδ = Θ

µ

(D.6)

S

Fe

µ S

0

Definiując reluktancję R µ (opór magnetyczny) dla elementów obwodu magnetycznego

l

R

Fe

µ

=

(D.7)

Fe

µ S

Fe

l

R

= δ

µδ

µ

(D.8)

S

0

dostaje się dla wyraŜenia (D.6) postać prawa Ohma dla obwodów magnetycznych w następującej

formie

Φ (Rµ

(D.9)

Fe + R µδ ) = Θ

MoŜna, więc obwód magnetyczny z Rys. D.2. Zastąpić równowaŜnym obwodem elektrycznym

(Rys. D.4.)

R F

µ e

=

Θ i

w

R µδ

Φ

Rys. D.4. Schemat zastępczy obwodu magnetycznego z Rys. D.2.

Podobnie jak dla obwodów elektrycznych w obwodach magnetycznych istnieje pojęcie

przewodności tylko magnetycznej, będącej odwrotnością reluktancji i nazywa się ją permeancją.

Jednostką permeancji jest Henr [H].

Λ = 1 (D.10)

Rµ

Prawo Ohma dla obwodów magnetycznych moŜe mieć równieŜ postać

Φ = Λ Uµ (D.11)

gdzie Uµ jest tzw. napięciem magnetycznym.

D.3. Rozgałęzione obwody magnetyczne

Poprzez analogię obwodów magnetycznych do obwodów elektrycznych moŜna tworzyć zastępcze

równowaŜne obwody i dla nich zastosować prawa Kirchhoffa w celach analiz rozpływu strumieni w

obwodach magnetycznych. Ilustruje to następujący przykład rozgałęzionego obwodu magnetycznego

(Rys. D.5.) i odpowiadający temu obwodowi równowaŜny schemat elektryczny (Rys. D.6), dla

l

l

którego

i

R

µδ =

δ

µ =

oraz R

.

i

µ S

µ S

Fe

i

0

l

l

1

2

Φ

Φ

1

2

l

i

3

1

s

w

w

l

1

2

δ

i 2

s l4

s

s

µ Fe

Rys. D.5. Przykładowy rozgałęziony obwód magnetyczny

Φ

Φ

1

2

R

Θ =

µ3

w i

Θ =w i

1

1 1

2

2 2

R µδ

R

R

1

µ

µ2

Rµ4

Rys. D.6. Schemat zastępczy obwodu magnetycznego z Rys. D.5.

D.4. Indukcyjności własne i wzajemne cewek

Dla ilustracji analiz głównych strumieni sprzęŜonych cewek zostanie rozpatrzony układ dwóch

cewek nawiniętych na wspólnym rdzeniu ze szczeliną powietrzną (Rys. D.7. – Dla uproszczenia

przyjęto µ

).

rFe → ∞

lδ

l

S

S

Fe

R µδ

Φ

Φ

1

2

Φ1

i

Φ2

1

i 2

Θ =w i

2

2 2

w

Θ =w i

⇔

1

1 1

w

2

1

µ rFe → ∞

Rys. D.7. Układ dwóch cewek sprzęŜonych i odpowiadający im schemat zastępczy

Strumieniem skojarzonym cewki nazywać będziemy iloczyn strumienia i liczby zwojów

Ψ = w Φ , Ψ = w Φ (D.12)

1

1

1

2

2

2

PoniewaŜ strumienie Φ i Φ mogą być wzbudzane zarówno przez prądy cewek 1 i 2, dlatego

1

2

moŜna dokonać superpozycji strumieni pochodzących od tych prądów

Φ = Φ + Φ (D.13)

1

11

12

Φ = Φ + Φ (D.14)

2

21

22

gdzie

Φ - strumień zamykający się przez cewkę 1, wzbudzony przez cewkę 1

11

Φ - strumień zamykający się przez cewkę 1, wzbudzony przez cewkę 2

12

Φ - strumień zamykający się przez cewkę 2, wzbudzony przez cewkę 1

21

Φ - strumień zamykający się przez cewkę 2, wzbudzony przez cewkę 2

22

ZaleŜność określająca strumienie skojarzone przybiera, zatem formę

Ψ = w Φ + w Φ , (D.15)

1

1

11

1

12

Ψ = w Φ + w Φ (D.16)

2

2

21

2

22

Zgodnie ze schematem zastępczym z Rys. D.7.

Θ

Φ

(D.17)

11 = Φ1

= 1 = Θ Λ

i 2 =

1

0

µ

R δ

Θ

Φ

(D.18)

12 = Φ1

= 2 = Θ Λ

1

i =

2

0

µ

R δ

Θ

Φ

(D.19)

21 = Φ 2

= 1 = Θ Λ

i 2 =

1

0

µ

R δ

Θ

Φ

(D.20)

22 = Φ 2

= 2 = Θ Λ

1

i =

2

0

µ

R δ

więc

2

Ψ = (w ) Λ i + (w w )Λ i = L i + L i , (D.21)

1

1

1

1

2

2

11 1

12 2

2

Ψ = (w w )Λ i + (w ) Λ i = L i + L i (D.22)

2

1

2

1

2

2

21 1

22 2

Z powyŜszej zaleŜności widać, Ŝe dla liniowego obwodu magnetycznego strumienie sprzęŜone są

liniową kombinacją prądów, a współczynniki L

i L

noszą nazwę indukcyjności własnych,

11

22

natomiast L

= L nazywa się indukcyjnościami wzajemnymi cewek.

12

21

D.5. Obwody magnetyczne z magnesem trwałym

Magnesy trwałe charakteryzuje się za pomocą krzywej odmagnesowania, czyli części pętli

histerezy z II ćwiartki wykresu B = f ( H ) . Dla magnesów z ziem rzadkich typu NdFeB oraz SmCo moŜna przyjmować liniową aproksymację ch-ki odmagnesowania (Rys. D.8.), gdzie B jest indukcją

r

remanentu (rzędu 1.0÷1,3[T]), natomiast H jest natęŜeniem koercji (rzędu 800÷1000[kA/m]).

c

Bm

B r

Hm

H c

Rys. D.8. Charakterystyka demagnesowania magnesów z ziem rzadkich

Do analizy przypadku obwodu magnetycznego z magnesem trwałym rozwaŜymy przykład rdzenia

stalowego, na którym nawinięto cewkę (dla rdzenia zaniedbamy spadki napięć magnetycznych) w

obwodzie, którego znajduje się magnes trwały o przekroju S oraz szczelina powietrzna δ .

Φ

l Fe

i

l m

w

lδ

S

µ rFe → ∞

Rys. D.9. Obwód magnetyczny z magnesem trwałym

Zapisując prawo przepływu dla analizowanego obwodu magnetycznego z Rys. D.9. otrzymujemy

H

(D.23)

Fe ⋅ l Fe + H m ⋅ l m + H δ ⋅ lδ = Θ

gdzie

H - natęŜenie pola magnetycznego w magnesie [A/m]

m

l - długość linii sił pola magnetycznego w magnesie [m]

m

PoniewaŜ zakładaliśmy, Ŝe µ

więc zaleŜność (D.23) upraszcza się do postaci

Fe → ∞

H

(D.23)

m ⋅ l m + H δ ⋅ lδ = Θ

Charakterystykę odmagnesowania z Rys. D.8. moŜna aproksymować następującą zaleŜnością

B = B + µ

lub B = B + µ 1

( + χ) H (D.24)

0 µ

H

m

r

rm

m

m

r

0

m

gdzie

µ - przenikalność magnetyczna względna magnesu (dla magnesów z ziem rzadkich wynosi ona

rm

1.02 ÷ 1.1 przez co objętość magnesu moŜe być z pewnym przybliŜeniem traktowana jak

powietrze)

χ - podatność magnetyczna

Po przekształceniach zaleŜności B = f ( H ) dla szczeliny i magnesu otrzymuje się wyraŜenia opisujące natęŜenia pola magnetycznego

= δ

B

Hδ

(D.25)

µ0

B − B

m

r

H =

(D.26)

m

µ0 µ rm

PoniewaŜ obwód magnetyczny (Rys. D.9) jest nierozgałęziony, więc Φ

. Ze względu

m = Φδ = Φ

na jednakowy przekrój dla szczeliny i magnesu równieŜ indukcje w szczelinie i magnesie są sobie równe ( B = Bδ = B ). MoŜna, zatem prawo przepływu (D.23) dla tego obwodu magnetycznego, m

zapisać w następującej formie

B − B

B

r l

(D.27)

m +

lδ = Θ

µ0 µ rm

µ0

Wprowadzając oznaczenie

m

= l

l'

moŜna zapisać zaleŜność na indukcję w szczelinie i magnesie

m

µ rm

następująco

µ

'

B = Θ

0

+

l

B

m

(D.28)

l' m + l

r l' m +

δ

lδ

Po wprowadzeniu zaleŜności na strumień Φ = B ⋅ S do (D.28) i wykonaniu formalnych

przekształceń matematycznych otrzymamy prawo Ohma dla obwodu magnetycznego, w którym

umieszczony jest magnes trwały

'

'

l m + l

l

Φ

δ = Θ+ B m

µ

(D.29)

S

r µ

0

0

co moŜna równieŜ przedstawić następująco

Φ Rµ = Θ+ F (D.30)

m

gdzie

l

l'

R = R +

m

µ

R - zastępcza reluktancja obwodu magnetycznego (

µ

)

m =

µδ =

δ

µ

µδ

R

; R

; R

m

µ

µ S

µ S

0

0

'

l

F - siła magnetomotoryczna magnesu ( F

)

m = B

m

m

r µ0

Zastępczy schemat obwodu magnetycznego z magnesem trwałym z Rys. D.9. wygląda, więc

następująco

Φ

F m

=

Θ i

w

R m

µ

R µδ

Rys. D.10. Schemat zastępczy obwodu magnetyczny z magnesem trwałym

W stanie bezprądowym indukcja B = B i przedstawia się następująco

0

'

B

m

(D.31)

0 =

l

B r l' m +lδ

Z zaleŜności (D.31) wynika tzw. punkt pracy magnesu trwałego

Bm

B r

B0

H m

H c

Rys. D.11. PołoŜenie punktu pracy magnesu trwałego

Dla zmieniającej się szczeliny punkt pracy B przesuwa się w zaleŜności od wielkości szczeliny

0

lδ zgodnie z poniŜszym rysunkiem

Bm

lδ δ

< 0

B

lδ =δ

r

0

lδ δ

> 0

H m

H c

Rys. D.12. Przesunięcie punktu pracy magnesu trwałego wskutek zmian szczeliny powietrznej

Poddając magnes trwały zewnętrznemu oddziaływaniu pola magnetycznego wytworzonego przez

cewkę z prądem moŜemy, równieŜ doprowadzić do zmiany połoŜenia punktu pracy wskutek

domagnesowania ( i > 0 ) lub odmagnesowania ( i < 0 ) magnesu.

Zgodnie z wcześniej wyprowadzoną zaleŜnością (D.28)

w µ0

B =

i + B = k i + B (D.32)

'

0

0

l m + lδ

widać, Ŝe punkt pracy będzie się równieŜ przesuwał pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego

wzbudzanego przez prąd cewki.

Bm

i 0

>

B r

i = 0

i <0

B0

Hm

H c

Rys. D.13. Przesunięcie punktu pracy magnesu trwałego wskutek oddziaływania cewki z prądem

Z Rys. D.13. moŜna zauwaŜyć, Ŝe pod wpływem oddziaływania demagnesujacego zewnętrznego

pola magnetycznego wytworzonego przez cewkę z prądem moŜe dojść nawet do całkowitego

odmagnesowania magnesu, co będzie skutkować jego zniszczeniem.

D.6. Energia pola magnetycznego

Poprzednie rozwaŜania, w których określono wartości indukcji oraz natęŜenia pola magnetycznego

dla elementów obwodu magnetycznego były zaleŜnościami uwzględniającymi jednowymiarowy (1-D)

rozkład pola magnetycznego, co dla prostych obwodów magnetycznych jest wystarczającym

przybliŜeniem z technicznego punktu widzenia. Na podstawie znajomości rozkładu indukcji oraz

natęŜenia pola magnetycznego, moŜna wyznaczyć gęstość energii pola magnetycznego ( w ) zawartej

g

w jednostce objętości dowolnej przestrzeni g

B

w

H B

d (D.33)

g = ∫

0

Energia pola magnetycznego będzie, więc zaleŜna od objętości V dla przestrzeni g i w ogólnym g

przypadku wyraŜać się będzie zaleŜnością

B

E = ∫ w V

d

= ∫(∫ H d B)d V (D.34)

g

g

V

Vg 0

Na podobnej zasadzie moŜna zdefiniować gęstość objętościową ko-energii, jako

H

w

B d H (D.35)

0 g = ∫

0

oraz ko-energię

H

E = ∫ w d V = ∫ (∫ B d H )d V (D.36) 0

0 g

g

V

g

V

0

O ile definicja gęstości energii jest zawsze poprawna o tyle definicja gęstości objętościowej ko-energii jest słuszna jedynie dla elementów obwodu magnetycznego posiadających swe charakterystyki

w I ćwiartce zaleŜności B = f ( H ) . Charakterystyki magnesów trwałych są opisywane funkcjami z II ćwiartki zaleŜności B = f ( H ) , dlatego wiec naleŜy dla magnesów trwałych zmodyfikować m

m

definicję gęstości objętościowej ko-energii do postaci

Hm

w

B d H (D.37)

0 m = ∫

m

m

H c

Ko-energia pola magnetycznego zawarta w magnesie o objętości V wyraŜać się będzie

m

następującą zaleŜnością

H m

E = w

V

d

( B d H ) V

d

∫

= ∫ ∫

(D.38)

0

0 m

m

m

m

V

m

V

H c

W celu przeprowadzenia dalszych analiz zaleŜności energetycznych dla pola magnetycznego

podeprzemy się obwodem magnetycznym z Rys. D.9. Zgodnie z załoŜeniami do tego przykładu w

przestrzeni rdzenia stalowego nie ma spadków napięć magnetycznych, więc cała energia pola

magnetycznego koncentrować się będzie w przestrzeni magnesu trwałego oraz szczeliny powietrznej.

Φ Fe

l m

S

N

lδ

S

Fe

Rys. D.14. Przestrzenie szczeliny powietrznej oraz magnesu trwałego

Ko-energię dla tego przypadku moŜna, zatem przedstawić, jako sumę ko-energii szczeliny i

magnesu

E = E δ + E (D.39)

0

0

0 m

gdzie

E

(D.40)

0δ = ∫ w 0 δ dV

δ

V

E

w

dV (D.41)

0 m = ∫

0 m

m

V

PoniewaŜ indukcje w szczelinie i magnesie moŜna zapisać zgodnie z wcześniejszymi załoŜeniami

następująco

= B + µ

δ

B = µ H ; B

, więc gęstości ko-energii dla rozwaŜanego przypadku

0 µ

H

0

δ

m

r

rm

m

przybierają formę

Hδ

2

1

w

= ∫ B d H = µ H (D.42)

0 δ

δ

δ

2

0

δ

0

Hm

w

= B d H

∫

= B ( H − H ) 1

+ µ µ ( 2

H − H2 ) (D.43)

0 m

m

m

r

m

c

2

0

rm

m

c

H c

ZaleŜności (D.42) oraz (D.43) opisujące gęstości ko-energii w szczelinie i magnesie moŜna

równieŜ wyrazić, jako funkcje indukcji. Po formalnych przekształceniach matematycznych otrzymuje

się następujące ogólne formuły przedstawiające gęstości objętościowe ko-energii oraz funkcje ko-

energii dla szczeliny i magnesu

2

B

1

w δ =

δ (D.44)

0

2 µ0

B 2

1

m

w

(D.45)

0

=

m

2 µ0µ rm

1

E

(D.46)

0

=

2

δ

∫ δ

µ B d V

2 0 δ V

1

E

B 2 d V (D.47)

0 m =

∫

µ

2 0µ

m

rm

m

V

Dla rozwaŜanego przykładu z Rys. D.9., gdzie indukcje w szczelinie i magnesie są sobie równe

( B = Bδ = B ) zaleŜność (D.39) opisująca ko-energie upraszcza się do następującej formuły m

2

2

2

B

B

B S

E =

Vδ +

V =

(lδ + l' ) (D.48)

0

2µ

2

m

µ µ

2

m

µ

0

0

rm

0

Wyznaczając strumień zgodnie z formułą (D.30) obowiązującą dla schematu zastępczego z Rys.

D.10., moŜna indukcje dla tego przypadku przedstawić następująco

Φ Θ+ F

w i

m

+ F

B =

=

=

m

(D.49)

S

R S

R S

µ

µ

Po podstawieniu zaleŜności (D.49) do wzoru (D.48) i wykonaniu formalnych przekształceń,

otrzymujemy zaleŜność na ko-energię w następującej formie

2

E = w

2

2

1

m

m

i

i

(D.50)

0

2

+ w F + F

1

R

2

µ

Rµ

Rµ

w 2

Definiując indukcyjność dla cewki, jako L =

oraz strumień w stanie bezprądowym

Rµ

F

(pochodzący od magnesu), jako Φ

m

, ko-energię opisaną zaleŜnością (D.50) moŜna zapisać

0 = Rµ

równieŜ następująco

2

2

1

1

E = L i + wΦ i + RµΦ (D.51)

0

2

0

2

0

Na podstawie zaleŜności na strumień z formuły (D.30) moŜna zdefiniować tzw. charakterystykę

cewki, czyli zaleŜność strumienia skojarzonego z cewką ( Ψ ) od prądu ( i )

2

w

w F

Ψ( i) = wΦ =

i +

m = L i + wΦ = L i + Ψ (D.52)

0

0

R

R

µ

µ

gdzie Ψ jest strumieniem skojarzonym z cewka w stanie bezprądowym

0

Analizując zaleŜność (D.51) zauwaŜamy, Ŝe ko-energia układu złoŜonego z cewki oraz magnesu

trwałego posiada dwa człony, jeden zaleŜny, a drugi niezaleŜny od prądu odpowiadający ko-energii

zgromadzonej w układzie w stanie bezprądowym

E = E

i

( )

Θ

+ E (D.53)

0

0

0 m

gdzie

E

1

Θ = L i 2 + Ψ i (D.54)

0

2

0

2

1

E

(D.55)

m =

RµΦ

0

2

0

ZaleŜność (D.54) moŜe zostać równieŜ uogólniona do postaci jak jest uŜywana do opisu

energetycznego cewek nie zawierających w swym obwodzie magnetycznym magnesów trwałych

i

E

( )

(D.56)

0Θ = ∫ Ψ i di

0

przy czym Ψ( i) określa się uŜywając formuły (D.52).

Przedstawione wyprowadzenie moŜe zostać, więc rozszerzone i wykorzystane do opisu

energetycznego układów złoŜonych z większej liczby cewek sprzęŜonych, zawierających w swym

obwodzie magnetycznym magnesy trwałe.

D.7. ZaleŜności energetyczne dla układu cewek liniowych

W celu przeprowadzenia analiz zaleŜności energetycznych dla pola magnetycznego wzbudzanego

przez układ cewek podeprzemy się obwodem magnetycznym z dwoma cewkami z Rys. D.15.

lδ

l

S

S

Fe

R µδ

µ rFe → ∞

i 1

Θ =w i

2

2 2

w

Θ =w i

⇔

1

1 1

w

2

1

i 2

Φ

Φ

Rys. D.15. Układ dwóch cewek sprzęŜonych i odpowiadający im schemat zastępczy

Zakładając, Ŝe w przestrzeni rdzenia stalowego nie ma spadków napięć magnetycznych

( µ

), więc cała energia pola magnetycznego koncentrować się będzie w przestrzeni szczeliny

r Fe → ∞

powietrznej.

lδ

Fe

Fe

Φ

S

Rys. D.16. Przestrzeń szczeliny powietrznej

Ko-energię dla tego przypadku moŜna, zatem przedstawić, jako

E

(D.57)

0 = E 0

=

δ

∫ w 0δ d V

δ

V

PoniewaŜ indukcja w szczelinie Bδ = µ H

, więc gęstość ko-energii w szczelinie będzie

0

δ = B

równa równieŜ gęstości energii i przybiera formę

H

2

δ

B

2

1

1

w δ = ∫ δ

B dHδ = µ Hδ =

(D.58)

0

2

0

2 µ

0

0

ZaleŜności przedstawiająca funkcje ko-energii w tym przypadku będzie równieŜ toŜsama z funkcją

energii

2

2

2

2

B

B

B

E

E

B

V

(D.59)

0 =

0

= 1 ∫ 2 d =

V =

l S =

S

δ

δ

δ

R µδ

µ

2 0

µ

2

V

0

µ

2

2

δ

0

Wyznaczając strumień zgodnie z formułą (D.9), moŜna indukcje dla tego przypadku przedstawić

następująco

Φ Θ + Θ

w i + w i

1

2

1 1

2

2

B =

=

=

(D.60)

S

R

S

R

S

µδ

µδ

Po podstawieniu zaleŜności (D.60) do wzoru (D.59) i wykonaniu formalnych przekształceń,

otrzymujemy zaleŜność na ko-energię

2

2

w

w w

w

1

1

2

1

2

1

2

2

E =

( i ) +

( i i ) +

( i ) (D.61)

0

2

1

1 1

2

2

R

R

R

µ

µ

µ

w 2

w 2

w w

Definiując indukcyjność dla cewek, jako L

= 1 , L

, L

moŜna ko-energię

12 =

1

2

22 =

2

11

R µ

R µ

R µ

opisaną zaleŜnością (D.61), zapisać zgodnie z dobrze znaną klasyczną postacią energii dla dwóch

cewek linowych w następującej formie

2

2

1

1

E = L ( i ) + L ( i i ) + L ( i ) (D.62)

0

2

11

1

12

1 1

2

22

2

Zadania

D.1

Podać wzór na indukcyjność cewki nawiniętej (zgodnie z poniŜszym rysunkiem) na stalowym rdzeniu

o przekroju S. Jak zmieni się ta indukcyjność, jeŜeli zaniedbujemy spadki napięć magnetycznych w Ŝelazie ( µ

)? Jak wpływa powiększenie szczeliny powietrznej l na wartość indukcyjności?

r Fe → ∞

δ

Zapisać zaleŜność na ko-energie zgromadzona w układzie.

µ Fe

l

i

Fe

w

lδ

S

D.2

Cewka o w =500 zwojach przewodzi prąd i = I = 2A. Przekrój rdzenia wynosi S=0.8 10-4 m2 a średnia długość linii sił pola magnetycznego w stalowym rdzeniu o przenikalności względnej

µ

wynosi l =0.15 m. Wyznaczyć wartość indukcji w szczelinie powietrznej o długości

r Fe = 800

Fe

lδ =0.5 mm.

l

lδ

Fe

S

µ Fe

w

i

D.3

Dla cewki o w = 800 zwojach nawiniętej na stalowym rdzeniu o l =0.3 m i µ

r Fe = 1000

Fe

(przedstawionej na rysunku do zad. D.2), wyznaczyć wartość prądu potrzebnego do wytworzenia

indukcji w szczelinie powietrznej na poziomie 1 T, gdy efektywny przekrój szczeliny powietrznej

wynosi S=2500 mm2, a jej długość lδ =2 mm. Jak zmieniłyby się ten prąd, gdyby załoŜyć, Ŝe

µ

?

r Fe → ∞

D.4

Obwód magnetyczny z poniŜszego rysunku ma na środkowej części o przekroju S

800 mm2

1 =

nawiniętą cewkę o w =600 zwojach. Zakładając, Ŝe przekroje pozostałych gałęzi obwodu

magnetycznego maja przekroje S

500 mm2, a szczelina powietrzna wynosi l =1 mm, obliczyć

2 =

δ

prąd wymagany do wzbudzenia strumienia magnetycznego w szczelinie powietrznej o wartości Φ =1

Wb. ZałoŜyć µ

. Sprawdzić, jaki musiałby być ten prąd gdyby załoŜyć, Ŝe µ

.

r Fe → ∞

r Fe = 600

µ r Fe

l δ

S1

l 2

w

l 2

i

l 1

S

S

2

2

D.5

Dla cewki nawiniętej (jak na rysunku) na niemagnetycznym karkasie o wymiarach: d= 200 mm,

D=300 mm, h= 30 mm i 200 zwojach, obliczyć natęŜenie pola wewnątrz cewki, wartość indukcji oraz

strumień skojarzony z cewką, jeŜeli prąd cewki wynosi 5 A. Jak zmienią się te wielkości, jeŜeli karkas

zastąpimy rdzeniem stalowym o przenikalności względnej µ

.

r Fe = 400

D.6

Dla obwodu magnetycznego, w którym umieszczono magnes trwały typu NdFeB o parametrach

B r=1.2 T; H c=1000 kA/m, dobrać długości magnesu l m oraz szczeliny lδ (przy załoŜeniu jednorodnego przekroju dla szczeliny i magnesu Sδ=S m= S=2000 mm2) takie, aby indukcja w

szczelinie wynosiła 0.6 T. Podać wartość oraz kierunek przepływu cewki taki by doprowadzić do

całkowitego odmagnesowania magnesu trwałego ( µ

). Wyznaczyć ko-energie zgromadzoną w

r Fe → ∞

układzie oraz strumień skojarzony z cewką dla stanu bezprądowego.

l m

Φ

i

w

lδ

S

µ rFe → ∞

D.7

Wyznaczyć indukcyjności własne i wzajemne cewek nawiniętych (zgodnie z poniŜszym rysunkiem)

na stalowym rdzeniu o jednorodnym przekroju S w którym występują szczeliny powietrzne o

wymiarach lδ (zaniedbać spadki napięć magnetycznych w Ŝelazie µ

)

r Fe → ∞

l δ

l δ

S

µ

S

Fe → ∞

i

i

2

1

w

w

l

2

1

δ

S

µ Fe →∞

D.8

Wyznaczyć indukcyjności własne i wzajemne cewek nawiniętych na Ŝelaznym rdzeniu (zgodnie z

poniŜszym rysunkiem) o nieskończenie duŜej przenikalności magnetycznej ( µ

) w którym

r Fe → ∞

znajdują się trzy szczeliny o przekrojach S ,S ,S oraz długościach l , l , l wypełnione materiałami

1

2

3

1

2

3

o róŜnych przenikalnościach magnetycznych µ , µ , µ .

1

2

3

l 1

S1

µ1

i 1

w1

w

l

2

2

µ

S

µ

r Fe → ∞

2

2

µ rFe → ∞

i 2

w 3

l 3

S 3

µ3

i 3

D.9

Wyznaczyć funkcję indukcyjność cewki od połoŜenia x ruchomego rdzenia, jeŜeli cewka nawinięta jest (zgodnie z poniŜszym rysunkiem) na stalowym rdzeniu o nieskończonej przewodności

magnetycznej ( µ

).

r Fe → ∞

µ Fe >>µ0

i

lδ

w

x

µ Fe >>µ

h

0

lδ

d

2

S = d